TỔ TOÁN
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
HÌNH HỌC LỚP 10 ___ HỌC KỲ II
ELIP
2c
�
�
M
Trong mặt phẳng Oxy,cho hai điểm cố định F1 , F2 và độ dài a.Tìm tập hợp các điểm M thỏa MF1+ MF2 = 2a (a>c>0, với F1F2 = 2c )
F1
F2
I. ĐỊNH NGHĨA__ PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC
.1. ĐỊNH NGHĨA :
M ? (E ) ? MF1 + MF2 = 2a , (a > c> 0 )
�
�
?
F1
F2
M
2c
Trong maët phaúng, cho hai ñieåm F1,F2,vôùi F1F2 = 2c
Đường elip (elip) là tập hợp các điểm M thỏa :
MF1 + MF2 = 2a
(a > c > 0 )
�F1 , F2 : tiêu điểm
�F1F2 = 2c : tiêu cự
� MF1 , MF2 : bán kính qua tiêu
( M nằm trên elip )
M
F1
F2
2c
2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP :
�
�
F1
F2
y
x
Cho elip ( E ) là tập hợp các điểm M thỏa :MF1+MF2= 2a
a).Cách chọn hệ trục tọa độ:
(-c;o)
(c;o)
(với F1F2= 2c, a>c>0)
*Trục hoành x/Ox:
đường thẳng F1F2
(F2 nằm trên tia Ox)
*Trục tung y/Oy :
đường trung trực
của F1F2
* Gốc tọa độ O :trung điểm F1F2
x
y
F1
F2
O
-c
c
?
?
Ta có: F1(-c,0) ; F2(c,0)
Với mọi M(x,y)?(E), ta có
MF12 =
MF12 - MF22 =
MF12 + MF22 =
MF22 =
M
(x+c)2 + y2
(x-c)2 + y2
4cx ( 1 )
2(x2+y2+c2) ( 2 )
Từ ( 1 ) ta có : (MF1+MF2)( MF1- MF2 ) =
4cx
Suy ra :
b). Lập phương trình :
(Vì M(x,y)?(E) nên : MF1+ MF2 = 2a )
Do đó MF1 - MF2 =
Suy ra:
MF1 =
MF2 =
? 2a ( MF1- MF2 ) = 4cx
( A )
(MF1+ MF2 )(MF1- MF2 ) = 4cx
. . . . . . . .
x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)
?
Thế ( A ) vào ( 2 ) , ta được :
= 2 ( x2 + y2 +c2 )
Biến đổi , rút gọn , ta được
( chia 2 vế cho a2( a2 - c2 ) > 0 )
?
Đặt : b2 = a2- c2 (b > 0)
Phương trình trở thành:
Phương trình (*) là phương trình chính tắc của Elip (E)
(*)
TÓM TẮT
1) Định nghĩa:
F1, F2 ( cố định ): tiêu điểm
F1F2 = 2c : tiêu cự
2) Phương trình chính tắc (E) :
a > c > 0 , b > 0 ;
3) Bán kính qua tiêu : M(x,y)?(E):
MF1 =
; MF2 =
M ? (E ) ? MF1 + MF2 = 2a , a > c > 0
Trong mp Oxy cho (E) có phương trình :
Tiêu cự của (E) là :
4
2
8
16
ĐS:
a)
b)
c)
d)
3). VÍ DỤ 1 :
Trong mặt phẳng Oxy, cho Elip (E ) có tiêu cự là 10 và đi qua điểm M(0,2).
Phương trình chính tắc của (E) là :
ĐS:
a)
b)
c)
d)
4). VÍ DỤ 2 :
Trong mp Oxy cho (E):
Cho điểm M ? (E) có xM =
Độ dài MF1 - MF2 là :

ĐS:
2
4
3
8
a)
b)
c)
d)
5). VÍ DỤ 3 :
( tiêu điểm : F1, F2 )
EM ĐÃ CHỌN ĐÚNG !
3
2
1
EM ĐÃ CHỌN SAI !
2
3
1
Cho M0(x0, y0)
Đối xứng của M0 qua trục hoành là : M1( x0 , - y0 )
Đối xứng của M0 qua trục tung là : M2( - x0 , y0 )
Đối xứng của M0 qua gốc tọa độ là : M3(- x0 , - y0)
x
y
o
?
?
?
?
M0
M1
M3
M2
y0
-y0
x0
- x0
? ( E )
? ( E )
? ( E )
? ( E )
?
�
�
F1
F2
M
?
�
x
O
(-c;o)
(c;o)
y
( a> c > 0 , b2 = a2 - c2 , b > 0 )
Hai trục đối xứng : x’Ox , y’Oy
Tâm đối xứng : gốc toïa ñoä O
II). HÌNH DẠNG CỦA ELIP
Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip ( E ) có phương trình :
1). Tính đối xứng :
( E ) có :
* Các đỉnh :
�
�
F1
F2
M
?
�
O
(-c;o)
(c;o)
y
-a
a
-b
b
x
* Độ dài trục lớn :
A1A2 = 2a
* Độ dài trục nhỏ
B1B2 = 2b
2). Giao điểm với các trục :
* (E) cắt trục hoành tại A1(- a, 0) và A2( a, 0 )
* (E) cắt trục tung tại B1(0,-b ) và B2( 0, b )
*Trục lớn : A1A2
*Trục nhỏ: B1B2
�
�
F1
F2
M
?
�
O
(-c;o)
(c;o)
y
-a
a
-b
b
x
3). HÌNH CHÖÕ NHAÄT CÔ SÔÛ :
M(x,y)  (E)
(E) noäi tieáp trong
hình chöõ nhaät taâm O,
caùc caïnh naèm treân caùc ñöôøng thaúng :
x = a, x = -a,
y = b, y = -b
?
-a ? x ? a
-b ? y ? b
?
�
�
F1
F2
?
�
O
(-c;o)
(c,o)
y
-a
a
-b
b
x
CÁCH VẼ ELIP
Cho elip ( E ) :
( a > b > 0 )
1). Vẽ hệ trục tọa độ
2).Vẽ các đỉnh :
A1( -a,0 ) ; A2( a , 0 )
B1 (0, - b ) ; B2(0 ,b )
3).Vẽ hình chữ nhật
cơ sở
4).Vẽ elip (E) nội
tiếp trong hình
chữ nhật cơ sở
(4 tiếp điểm là 4 đỉnh )
5). Vẽ tiêu điểm F1,F2
nằm trên trục x/Ox sao
cho : B2F1 = B2F2 = a

�
�
�
(b2 = a2 - c2 ? c2 = a2 - b2 )
. Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau :
a/ Độ dài trục lớn bằng 6 , tiêu cự bằng 4 .
b/ Một tiêu điểm F1(-2;0) và độ dài trục lớn bằng 10.
4).VÍ DỤ :
HƯỚNG DẪN GIẢI :
a).
2a = 6
2c = 4
{
?
a = 3
c = 2
{
b2 = a2 - c2 = 9 - 4 = 5
Vậy : ( E ) :
. Viết phương trình chính tắc của elíp trong các trường hợp sau :
a/ Độ dài trục lớn bằng 6 , tiêu cự bằng 4 .
b/ Một tiêu điểm F1(-2;0) và độ dài trục lớn bằng 10.
4).VÍ DỤ :
HƯỚNG DẪN GIẢI :
b).
F1(- 2,0 ) ? c = 2
2a = 10 ? a = 5
b2 = a2 - c2 = 25 - 4 = 21

Vậy ( E ) :
TÓM TẮT V? ELIP
1) Phương trình chính tắc:
(a > c > 0 , b2 = a2 - c2, b? 0)
2) Bán kính qua tiêu
MF1 =
MF2 =
Trục đx:x’Ox , y’Oy
Tâm đx : gốc O
Các đỉnh :
= 2a là độ dài trục lớn.
B1B2 = 2b là độ dài trục nhỏ.
(E) :
M(x,y) ?(E)
* Tiêu điểm :
III). TÂM SAI CỦA ELIP
( a> c> 0, b>0 , b2 = a2 - c2 )
1). ĐỊNH NGHĨA:
CHÚ Ý:
Đường tròn
x
y
F1
F2
O
-c
c
?
?
M
Trong mặt phẳng Oxy , cho Elip (E)
có� phương trình:
Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn
2).VÍ DỤ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E)
có tâm sai e = 0,5 và độ dài trục lớn là 12.
Viết phương trình chính tắc của (E).
HÖÔÙNG DAÃN
Theo ñeà baøi :
2a = 12  a =6
e = 0,5  c = ae = 3
Do ñoù b2 = a2 – c2 = 36 – 9 = 27
Vaäy phöông trình cuûa (E) laø :
= 1
Tìm tâm sai của elip biết :
ñộ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ .
HƯỚNG DẪN GIẢI :
Ta có 2a = 2(2b) ? a = 2b
Mà : .Suy ra :
a2 = b2 + c2
Vậy :
3). VÍ DỤ 2:
4)VÍ DỤ 3 :
a). Tìm tâm sai của elíp biết :
Các đỉnh trên trục nhỏ nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới một góc vuông .
HƯỚNG DẪN GIẢI :
x
y
F1
F2
O
-c
c
?
?
Tam giác B2F1F2 vuông tại B2
Do đó : b = c
? 2OB2 = F1F2
b). Tìm tâm sai của elip biết :
Khoảng cách giữa hai đỉnh trên trục lớn và trên trục nhỏ bằng tiêu cự .
HƯỚNG DẪN GIẢI :
x
y
F1
F2
O
2c
?
?
vuông tại O
Ta có :
Theo đề bài : A2B2 = 2c
Thế (2) vào (1) ta được:
4c2 = ( a2 - c2 ) + a2
IV). LIÊN HỆ GIỮA ELIP VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1). ĐỊNH NGHĨA :
Trong mặt phẳng Oxy ,cho số thực k ( 0 < k <1 ).
Phép co về trục hoành x/ O x, hệ số co k
biến điểm M(x0 , y0 ) thành điểm M/( x0 , ky0 )
x
y
o
y/
x/
.M(x0, y0)
x0
y0
.M/(x0, ky0)
ky0
2). ĐỊNH LÝ :
Trong mặt phẳng Oxy, cho số thực k , a ( 0 < k < 1, a > 0 )
Phép co về trục hoành , theo hệ số co k
biến đường tròn (C) : x2 +y2 = a2
thành elip (E):
( với b = ka )
x/
x
o
y/
y
a
- a
a
- a
b
- b