P.E Onimusha - Thân tặng !
Trang bìa
Trang bìa:
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP TRẦN ĐỨC VINH - 0988254588 http://ducvinhtran.googlepages.com Đợt tập huấn tại ĐH Sài Gòn Một số ví dụ thực tế
Quỹ đạo của các hành tinh: Quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời
Bóng của một số vật: Bóng của một số vật hình tròn
Định nghĩa
Cách vẽ đường elip: Quan sát vết do chuyển động của bút chì để lại trên mặt bảng gỗ
Vết do chuyển động của bút chì để lại trên mặt bảng gỗ được gọi là đường Elip Định nghĩa: Định nghĩa
Nhận xét gì về tổng latex(MF_1+ MF_2)? latex(MF_1 + MF_2 = 2a) ( không đổi ) Định nghĩa: Cho hai điểm cố định latex(F_1, F_2) và một độ dài không đổi 2a lớn hơnlatex(F_1F_2) Đường elip (elip) là tập hợp các điểm M sao cho latex(MF_1+ MF_2) = 2a Hai điểm latex(F_1 và F_2) gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip Ptrình chính tắc của elip
Bài tập lý thuyết: Bài tập lý thuyết
Cho elip (E) như trong định nghĩa trên. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của đoạn thẳnglatex(F_1F_2). Trục Oy là đường trung trực của latex(F_1F_2)vàlatex(F_2)nằm trên tia Ox. ?1: Xác định toạ độ hai tiêu điểmlatex(F_1, F_2)? latex(F_1=(-c;0) và F_2=(c;0) ?2: Giả sử điểm M(x, y) nằm trên elip (E). Tính: latex(MF_1^2 - MF_2^2) = ? latex(MF_1^2 - MF_2^2) =latex( 4cx) ?3: Biết: latex(MF_1 + MF_2) = 2a CMR: latex(MF_1 = a + (cx)/a); latex(MF_2 = a - (cx)/a Hướng dẫn: Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết
?1: Theo định nghĩa đường elip: latex(F_1F_2) = 2c Có latex(OF_1) = latex(OF_2) = c Mà latex(F_1, F_2) latex(in) Ox nên toạ độ hai điểm latex(F_1, F_2) là: latex(F_1) = (-c; 0) và latex(F_2) = (c;0) ?2: latex(MF_1^2 = (-c -x)^2 + (0 - y)^2 = c^2 + 2cx + x^2 + y^2) latex(MF_2^2 = (c -x)^2 + (0 - y)^2 = c^2 - 2cx + x^2 + y^2) latex(MF_1^2 - MF_2^2 = 4cx ?3: Có latex(MF_1 + MF_2) = 2a (1) latex(MF_1^2 - MF_2^2 = (MF_1 + MF_2)(MF_1 - MF_2)) latex(4cx = 2a.(MF_1 - MF_2) nên (MF_1 - MF_2) = (2cx)/a (2) Từ (1) và (2) suy ra: latex(MF_1 = a + (cx)/a); latex(MF_2 = a - (cx)/a Dẫn dắt:
Có latex(MF_1 = a + (cx)/a = sqrt((x + c)^2 + y^2)) latex((a + (cx)/a)^2 = (x + c)^2 + y^2) Rút gọn đẳng thức trên ta có: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(a^2 - c^2) = 1 latex(a^2 - c^2 > 0) nên đặt : latex(a^2 - c^2 = b^2, b > 0). Ta có: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0) (1) Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip Phương trình chính tắc của elip: Phương trình chính tắc của elip
Phương trình chính tắc của elip: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0)) Trong đó: - latex(F_1 và F_2) : tiêu điểm của elip. - Khoảng cách latex(F_1F_2) = 2c : tiêu cự của elip. VÍ DỤ 1: VÍ DỤ 1
Mỗi câu sau đúng hay sai:
Đường elip latex((x^2)/5+(y^2)/4=1) có tiêu cự bằng latex(sqrt(2))
Đường elip latex((x^2)/9+(y^2)/6=1) có một tiêu điểm là latex((-sqrt(3); 0)
Đường elip latex((x^2)/25+(y^2)/16=1) có hai tiêu điểm latex(F_1(-3;0) và F_2(3;0)
Đường elip latex((x^2)/169+(y^2)/144=1) có tiêu cự là 50
VÍ DỤ 2: VÍ DỤ 2
Ghép mỗi phương trình chính tắc của (E) ở bên phải vào các phương án để được mệnh đề đúng
Elip có tiêu cự là latex(8)
Elip có một tiêu điểm là latex((-sqrt(3);0))
Elip có tiêu cự là latex(sqrt(3)/2)
Elip có tiêu một tiêu điểm latex((sqrt(5);0))

Hình dạng của elip
Hình dạng của elip: Hình dạng của elip
Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E) nên các điểm: latex(M_1(-x; y), latex(M_2(x; -y), latex(M_3(-x; -y)) cũng thuộc (E). Vậy (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O. Đối với elip có phương trình chính tắc: latex((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1) (E) cắt trục Ox tại hai điểm latex(A_1(-a, 0) và A_2(a, 0) (E) cắt trục Oy tại hai điểm latex(B_1(0, -b) và B_2(0, b) - latex(A_1, A_2, B_1, B_2) là các đỉnh của elip (E). - Đoạn thẳng latex(A_1A_2) là trục lớn của elip (E). - Đoạn thẳng latex(B_1B_2) là trục nhỏ của elip (E). - Hình chữ nhật PQRS là hình chữ nhật cơ sở của elip (E). VÍ DỤ 1:
Cho elip (E) có phương trình: latex((x^2)/4 + (y^2)/1 = 1). Xác định các tiêu điểm, tiêu cự, các đỉnh, trục lớn, trục nhỏ, và vẽ Elip đó. - Elip (E) có: a = 2; b =1, tiêu điểm latex(F_1(-sqrt(3); 0)) và latex(F_2(sqrt(3); 0) - Tiêu cự: Latex(F_1F_2 = 2c = 2 sqrt(3) - Tọa độ các đỉnh: cắt Ox tại hai điểm: latex(A_1(-2; 0), A_2(2; 0)) và cắt Oy tại hai điểm: latex(B_1(0;-1), B_2(0;1). - Độ dài trục lớn: Latex(A_1A_2=2a=2*2=4) - Độ dài trục bé: latex(B_1B_2=2*b=2*1=2) - Elip cần vẽ là đường cong đi qua bốn điểm latex(A_1, A_2, B_1, B_2) * Hình chữ nhật cơ sở QMNP: Q(-2; 1), M(2; 1), N(2; -1), P(-2; -1) VÍ DỤ 2: VÍ DỤ 2
Ghép mỗi phương trình chính tắc của (E) ở bên phải vào các phương án để được mệnh đề đúng
Elip có trục lớn bằng 6 là:
Elip có trục bé bằng latex(6 sqrt(3)) là:
Elip có một đỉnh là latex(A_1(-5;0))
Elip có một đỉnh là latex(A_1(-6;0) ) và trục bé là latex(6 sqrt(2))


VÍ DỤ 3 :
HÃY ĐIỀN VÀO CHỔ KHUYẾT
Cho Elíp có phương trình chính tắc: latex((x^2)/(25)+(y^2)/9=1) + Có độ dài trục lớn là ||10|| và độ dài trục bé nhỏ là ||6||. + Có tiêu cự là ||8|| và hai tiêu điểm lần lượt là latex(F_1(||-4|| ; ||0||) và latex(F_2(||4|| ; ||0||). HÃY CHỌN PHƯƠNG TRÌNH ĐỂ ĐIỀN VÀO CHỔ KHUYẾT
+ Elíp có trục lớn bằng 8 và trục bé bằng 6. Có phương trình chính tắc là: ||latex((x^2)/16+(y^2)/9 = 1)|| + Elíp có trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6. Có phương trình chính tắc là: ||latex((x^2)/25+(y^2)/16 = 1)|| Liên hệ giữa đường tròn và elip
Đường tròn và elip: Liên hệ giữa đường tròn và elip
Ta có: latex(b^2 = a^2 - c^2) Như vậy tiêu cự của elip càng nhỏ (c càng nhỏ) thì b càng gần bằng a (trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn). Khi đó elíp có dạng gần như đường tròn. Mô tả: Giãn elip thành hình tròn Mô tả: Co hình tròn thành elip Liên hệ: Phép co
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phương trình đường tròn (C): latex(x^2+y^2=a^2) Với điểm M(x;y) thuộc (C) ta xét điểm M`(x`;y`) sao cho: x` = x và y` = latex(b/ay) Thì tập hợp các điểm M` có tọa độ thỏa mãn phương trình: latex((x`^2)/(a^2) + (y`^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0)) Đây là một phương trình Elíp. Khi đó ta nói đường tròn (C) co thành Elip (E). Khi giá trị b gần tới giá trị a: Khi giá trị b gần tới giá trị a
Củng cố
Củng cố lí thuyết:
Các điểm F1(-c;0) và F2(c;0) được gọi là gì của Elíp?
Độ dài F1F2 = 2c được gọi là gì của Elíp?
Các điểm có tọa A1(-a;0); A2(a;0); B1(-b;0); và B2(b;0) được gọi là gì của Elíp?
Đoạn thẳng A1A2 = 2a được gọi là gì của Elíp?
Đoạn thẳng B1B2 = 2b được gọi là gì của Elíp?
latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0)) Cho phương trình chính tắc của elip: Tổng kết: Củng cố
Phương trình chính tắc của elip: latex((x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0)) Trong đó: - latex(a^2- b^2 = c^2) (c latex(>) 0) - latex(F_1(-c;0) và F_2(c;0)) : Tiêu điểm của elip. - Khoảng cách latex(F_1F_2) = 2c : Tiêu cự của elip. - Các đỉnh: latex(A_1(-a, 0) và A_2(a, 0) latex(B_1(0, -b) và B_2(0, b) - Các trục: Lớn: latex(A_1A_2 = 2a) Nhỏ: latex(B_1B_2 = 2b)