Kiểm tra bài cũ
Câu hỏi: Nêu quy tắc cộng, quy tắc nhân?
Áp dụng thực hiện bài tập sau:
Các thành phố A, B, C, D, E được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ sau:






Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến E qua thành phố B, C, D chỉ một lần?
A
E
D
C
B
Ngày soạn : 25/10/2009
Tiết 24: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP- TỔ HỢP
I. Hoán vị
1.Định nghĩa
Ví dụ1: Bài tập 3 (tiết trước) Có 3 học sinh A, B, C ngồi vào 3 ghế có đánh số 1, 2, 3 cố định. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 3 người vào 3 ghế đó?
Có 6 cách xếp sau:
Ta thấy mỗi cách xếp là kết quả của một sự hoán đổi vị trí của 3 phần tử A, B, C
Ví dụ2: Trong 1 trận bóng đá, sau 2 hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải đá luân lưu 11m. Mỗi đội chọn ra 5 cầu thủ để đá 5 quả luân lưu. Hãy nêu ra 3 cách đá phạt.
Giải: Gọi tên 5 cầu thủ là 5 phần tử A, B, C, D, E. để đá luân lưu HLV phân công người đá quả thứ nhất, thứ 2, thứ 3, thứ 4, thứ 5.
Có thể nêu 3 cách là:
Nhận xét: Mỗi cách sắp xếp thứ tự 5 cầu thủ là một sự hoán đổi thứ tự đá của 5 phần tử là 5 cầu thủ A, B, C, D, E
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
C1. Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.
Kết quả:
Các số có 3 chữ số khác nhau lập được từ các chữ số 1, 2, 3 là:
123; 132; 213; 231; 312; 321.
Ta thấy số 123 và số 132 chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp thứ tự các các phần tử
Nhận xét: 2 hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
2. Số các hoán vị
VD3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào 1 bàn học có 4 chỗ?
Giải: Gọi tắt tên 4 bạn là A. B, C, D.
Cách 1: Liệt kê:
Cách2:
Có 4 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ nhất
Có 3 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ hai
Có 2 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ ba
Có 1 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ tư
Theo quy tắc nhân sẽ có 4.3.2.1 = 24 cách
Nếu đem cả lớp 11A5 ra xếp hàng hỏi có bao nhiêu cách xếp thứ tự?
Nếu tập A có n phần tử thì sẽ có bao nhiêu cách xếp thứ tự?
n phần tử có n chỗ.
Chỗ thứ 1 có n cách chọn.
Chỗ thứ 2 có n - 1 cách chọn.
Chỗ thứ 3 có n - 2 cách chọn.
……………………………………..
Chỗ thứ 10 có n – 9 cách chọn.
……………………………………….
Chỗ thứ k có n – k +1 cách chọn.
…………………………………………
Chỗ thứ n-1 có 2 cách chọn.
Chỗ thứ n có 1 cách chọn.
Vậy với n phần tử sẽ có:
n.(n-1).(n-2)……(n-k+1)….2.1 cách sắp xếp (cách hoán vị).
Định lý:
Gọi Pn là số các hoán vị của n phần tử thì:
Pn = n.(n-1).(n-2)……2.1
Chú ý: Kí hiệu n.(n-1).(n-2)…….2.1 = n! thì ta có Pn = n! (quy ước 0! = 1).
C2. Trong giờ học môn GDQP 1 tiểu đội học sinh gồm 10 người xếp thành 1 hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải:
Số cách xếp 10 người thành 1 hàng dọc = số hoán vị của 10 phần tử vậy có 10! = 3.628.800 cách xếp
II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
VD4. Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra một số cách phân công 3 bạn làm trực nhật: 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.
Giải:
Có thể có 1 số cách sau:
Mỗi cách lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử như trên gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).
Kết quả của việc lấy ra k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử
C3. Trên mặt phẳng lấy 4 điểm phân biệt A, B, C, D. Liệt kê tất cả các véc tơ khác véc tơ 0 mà có điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập hợp 4 điểm đã cho
2. Số các chỉnh hợp
VD4. Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra một số cách phân công 3 bạn làm trực nhật: 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.
Giải:
Chọn bạn quét nhà có 5 cách.
Chọn bạn lau bảng có 4 cách.
Chọn bạn kê bàn ghế có 3 cách.
Theo quy tắc nhân sẽ có 5.4.3 = 60 cách chọn
Mỗi cách là 1 chỉnh hợp vậy có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
Nếu tập A có n phần tử và lấy ra k phần tử rồi sắp xếp theo 1 thứ tự thì sẽ có bao nhiêu cách?
Vị trí thứ 1 có n cách
Vị trí thứ 2 có n - 1 cách
Vị trí thứ 3 có n - 2 cách
…………………………….
Vị trí thứ k có n - k + 1 cách
Theo quy tắc nhân sẽ có
n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1) cách
Định lý
Gọi Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử thì:
Akn = n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1)
Nhận xét:
a) Ann = n.(n-1).(n-2)…..2.1 = Pn
b) Có
n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)(n-k).(n-k-1)...2.1
(n – k)! = (n-k).(n-k-1) ….. 2.1
n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)(n-k).(n-k-1)...2.1
(n – k)! (n-k).(n-k-1) ….. 2.1
= n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1) = Ann

=> Ann =

BÀI TẬP VỀ NHÀ :
Bài tập1:
Có bao nhiêu cách lấy 5 học sinh của lớp 11A5 ra xếp hàng tập nghi thức?
Bài tập2:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.