Chương IV: GIỚI HẠN

Tiết 49-50-51-52

§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Ví dụ1: Cho dãy số ( un ) với

un

1

n

a/ Viết dãy số dưới dạng khai triển :

1 1 1 1
1
1
1
1, , , , ,..., ,...,
,
,...
2 3 4 5
10
2022 2023

b/ Biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:
- Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100;
u2008; … đến 0
- Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi
n trở nên rất lớn ?

Câu hỏi: So sánh số hạng thứ n (Khi n đủ lớn) so với 0?

Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng
cách này tiến dần đến 0, hay ta nói rằng un
dần đến 0.
Ta ký hiệu: un
0
n

 1
un  2
ĐỊNH NGHĨA 1: ( SGK )
n
VÝ dô 1: Cho d·y sè (ulim
) víi u n 0
n
n

n
1
Chøng minh r»ng  1
un  2  2
n
n

ĐỊNH NGHĨA 2 (SGK)

6n  1
un 
Ví dụ 2: Cho dãy số ( un) với
3n  2
Chứng minh rằng
6n  1
lim
2
n   3n  2
Một vài giới hạn đặc biệt:

1
1
a ) lim 0; lim k 0.(k  Z )
n   n
n   n
b) lim q n 0.( q  1)
n  

c) lim c c.(c=const)
n  

II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
 ĐINH LÝ 1:

a ) NÕu lim un  a vµ lim vn  b thi:
 / lim(un  vn )  a  b
 / lim(un  vn ) a  b
 / lim(un .vn ) a.b
 / lim

un
a
 ( NÕu b 0 )
vn
b

b) NÕu u n 0 víi mäi n vµ lim u n a thi a 0
vµ lim u n  a

C¸c vÝ dô:
Ví dụ 3: Tìm:

3n 2  n
lim
1  n2

Lời giải: Chia cả 2 vế cho n2 ta có:

3

1
n

3n 2  n

2
1
1 n
1
2
n

 1

1

Ta có lim  3-  3 và lim  2  1 1
n

 n
1

li
m
3



2
3n

n
3
n


Vậy
lim

 3
2
1 n
 1
 1
lim  2  1
n


C¸c vÝ dô:
VÝ dô 4:
T×m

1  4n
lim
1  2n

2

Ta cã lim

lim

1  4n 2
lim
1 - 2n

n

1
4
2
2
n

 1
1
 2
 2
n


n


1
4
2
n
1

 2
n


Bài tập vận

3 n  5. 4 n
Bài tập 2: Tìm
lim n n
dụng
4 2

1
n

 Bài tập 1: Biết dãy số (un) thoả
un  1 mãn:
 3 ; n  N *
Chứng minh rằng : lim un = 1
1
Lời giải:
§ Æt v n un  1 vµ w n  2 .
n
1
Ta cã v n  un  1 , limw n lim 2 0
n
Do đó |Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể
 uđó
1
w n(1)
 wn
(2)
từ một số hạngv nnào
đi.
n trở
Mặt khác theo giả thiết
Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0. Vậy lim un = 1 (đpcm)

III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

 1) Kh¸i niÖm: H·y nª u nhËn xÐt vÒ cÊp sè sau :
1 1 1
1
, , ,..., n ,...
2 4 8
2
*/ D·y sè lµ mét cÊp sè nh©n. V× sao?
*/ C«ng béi lµ q = 1/ 2, q < 1
*/ D·y sè lµ cÊp sè nh©n v« h¹n.
CÊp sè nh©n lïi v« h¹n lµ cÊp sè nh©n v« h¹n
cã c«ng béi q víi / q / < 1

III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

D·y sè sau ®©y cã ph¶i lµ cÊp sè nh©n lïi v« h¹n kh«ng?
NÕu ph¶i h·y chØ ra c«ng béi cña cÊp sè ®ã?

1 1 1
 1
1,- , ,
,...,   
3 9 27
 3

n 1

,...

Hãy nêu công thức tính tổng Sn của cấp số nhân
lùi vô hạn biết u1 và Công bội q, với /q/ < 1.
Tìm giới hạn của tổng Sn khi n —> +∞ ?

Lêi gi¶i:

Sn u1  u2  ...  un 

u1 1  q

 u1
Suy ra lim S n lim 

n 
n  1  q

n

Do lim q 0
n 

1 q

n



u1


1 q

 u1  n 

q 
 1 q  

u1
 lim S n 
n 
1 q

Vậy: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là
u1
Sn u1  u2  ...  un 
1 q

 u1  n

q
 1 q 

C¸c vÝ dô:
 VÝ dô 5: TÝnh tæng cña c¸c cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
(un), sau:
1
1/ Víi u n  n
3

§¸p sè: S = 1/ 2

1 1 1
 1
2/ Víi 1, , , ,...    
2 4 8
 2

§¸p sè: S = 2/ 3

n 1

 ...

IV/ Giíi h¹n v« cùc

1) §Þnh nghÜa
 Nghiên cứu bài 2/117
§Þnh nghÜa vÒ giíi h¹n v« cùc: ( SGK )
KÝ hiÖu: limun= +∞ hay un—>+∞ khi n—>+∞
limun =-∞ hay un—>-∞ khi n—>+∞
NhËn xÐt: limun=+∞ <=> lim(-un) = -∞

2/ Mét vµi giíi h¹n ®Æc biÖt:
 2.1) Lim nk = +∞ với k nguyên dương
 2.2) Lim qn = +∞ nếu q>1

3/ §Þnh lý:

§Þnh lý 2:

un
a) NÕu limu n a vµ limv n  thi lim
0
vn
b) NÕu limu n a  0 vµ limv n 0 víi n thi
un
lim

vn
c) NÕu limu n  vµ limv n a  0 thi limu n vn 