Ví dụ 1: Tổ chức cho HS lĩnh hội khái niệm: Giới hạn của dãy số
Bước 1: ĐNKN giới hạn 0 của dãy số bằng ngôn ngữ mô tả
Định nghĩa 1 : Ta nói dãy số (Un) có giới hạn bằng 0 khi n tăng lên vô cực nếu ?Un? càng nhỏ khi n càng lớn tức là nếu ?Un? có thể làm nhỏ bao nhiêu tuỳ ý miễn là chọn n đủ lớn.
Khi đó ta kí hiệu Un ? 0 khi n ? + ? hay
[29,tr.107].
Để HS hình dung được nội dung của khái niệm này, GV có thể sử dụng hình ảnh trực quan là hình biểu diễn các điểm Un của các dãy số trên trục, trong các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.1: Xét dãy số (Un) với
Hãy biểu diễn các số hạng Un với n = 1, 2, 3,... trên trục số.
b. Có nhận xét gì về vị trí của điểm Un so với điểm 0, và khoảng cách từ Un đến 0 khi n dần đến vô cực.
Các điểm Un được biểu diễn trên hình 1.1
Ví dụ 1.2: Tương tự như ví dụ 1 xét dãy số (Un) với
Các điểm Un được biểu diễn trên hình vẽ 1.2
Bước 2: ĐNKN giới hạn 0 của dãy số bằng ngôn ngữ kí hiệu
Định nghĩa 2 :
Ta nói dãy số (Un) có giới hạn bằng 0 khi n tăng tới vô cực nếu với mọi số dương cho trước ? (đọc là epxilon) ta có thể tìm được một chỉ số N sao cho với mọi n > N thì ?Un? < ?. [29, tr.107].
Để HS hình dung được nội dung của khái niệm này, GV có thể sử dụng hình ảnh trực quan là hình 1.1 và hình 1.2, và các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.3: Xét xem dãy số (Un) với
có giới hạn bằng 0
hay không? Tìm số n0 ? N sao cho với mọi n > n0
ta có ?Un? < 0,0001.

Ví dụ1. 4: Hỏi tương tự ví dụ 3 với dãy số (Un) có
.
và tìm n0? N để
Bước 3: ĐNKN giới hạn L của dãy số.
Ta nói dãy số (Un) có giới hạn bằng L, hay Un dần tới L khi n dần tới vô cực nếu
Định nghĩa 3 :
Lúc đó ta kí hiệu
hoặc Un ? L khi n ? ?
[29,tr.108].
Để HS hình dung được nội dung của khái niệm này, GV có thể sử dụng ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.5: Xét dãy số (Un) với
a. Tính Un với n = 1, 2, 3, 4... có nhận xét gì về các số hạng của dãy số (Un) khi n ? ?.
b. Tính (Un - 1) với n = 1, 2, 3, 4... từ đó suy ra
?
Để củng cố khắc sâu khái niệm này, GV có thể sử dụng các ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.6: Chứng minh rằng
Ví dụ 1.7: Tìm giới hạn của dãy số sau khi n dần đến vô cực:
Bài tập củng cố:
Bài tập 1 (L1 - B2): Xét xem trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn khi n dần đến vô cực, tìm giới hạn đó.

Bài tập 2 (L2 - B1): áp dụng định nghĩa, chứng minh rằng
Bài tập 3 (L2 - B2): Chứng minh rằng
a. Dãy (xn) với xn = không có giới hạn
b. Dãy (yn) với yn = không có giới hạn
Hướng dẫn: Xét xn và yn với n chẵn và n lẻ
Bài tập 4 (L1 - B2): Tìm giới hạn của các dãy số sau
1. (bài tập 1c [29,tr.114])
2. (bài tập 1a [29,tr.129])
3. (bài tập 3c [29,tr.114])
4. (bài tập 3d [29,tr.114]).
5. (bài tập 1b [29,tr.129])
Khi DH các định lí về giới hạn của dãy số, cần chọn xem trong các định lí này có định lí nào HS có thể áp dụng ĐNKN để chứng minh và hướng dẫn HS chứng minh các định lí này.
Chẳng hạn, định lí về điều kiện cần để dãy số có giới hạn: Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn, có thể hướng dẫn HS chứng minh như sau:
Gọi m và M lần lượt là số bé nhất và lớn nhất trong các số U1, U2, ...Un, a-?, a+?, hiển nhiên ta có: m ? Un ? M với ? n?N*. Vậy (Un) là dẫy bị chặn.
Để hình thành cho HS Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích , thương các hàm số, GV cho HS làm bài tập sau:
Bài tập 5 (L1 - B3): Xét dãy số (xn) và (yn) với
; so sánh
với tổng . Từ đó hãy khái quát thành mệnh đề tổng quát.
a. Tìm

. Từ đó hãy khái quát thành mệnh đề tổng quát.
b.Tìm
với thương
.
c. Tìm
Từ đó hãy khái quát thành mệnh đề tổng quát.
Với khái niệm dãy số dần tới vô cực, GV làm tương tự như đối với khái niệm giới hạn của dãy số để dẫn dắt HS đi đến định nghĩa:

Ta viết
Ta nói rằng dãy số (Un) gọi là dần tới vô cực nếu với mọi số dương M (lớn bao nhiêu tùy ý) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì ?Un? > M.
Để củng cố khắc sâu khái niệm này, GV cho HS làm các bài tập sau:
a. Chứng minh rằng:
b. Chứng minh rằng: nếu

Ngược lại, nếu
VD 2
VD 3