Biên soạn : Phạm Quốc Khánh
Soạn theo ppct TOÁN hh11 thay sách 2008 - chế độ click dễ sử dụng.
I. HOÁN VỊ :
1. Định nghĩa :
Ví dụ 1 : Trong một trận bóng đá , sau 2 hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực hiện đá luân lưu 11 m . Một đội đã chọn 5 cầu thủ để thực hiện đá 5 quả 11 m . Hãy nêu 3 cách sắp xếp đá phạt .
Giải :
Gọi các cầu thủ được chọn là A , B , C , D , E
Gọi sự sắp xếp đá theo thứ tự : thứ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 : VD : CDBAE
Vậy có thể nêu 3 cách là : ABCDE ; BCAED ; CDBAE
Mỗi cách sắp xếp trên được gọi là một hoán vị tên các cầu thủ .
Định nghĩa :
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1)
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A , được gọi là một hoán vị của n phần tử đó .
Ví dụ : Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ các chữ số : 1 , 2 , 3 .
123 ; 132 ; 213 ; 231 ; 312 ; 321
Nhận xét : Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp
VD : abc và acb của 3 phần tử a , b , c là khác nhau
2. Số các hoán vị :
Ví dụ 2 : Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An , Bình , Chi , Dung ngồi vào một bàn học sinh có 4 chỗ ngồi ?
Giải :
Gọi tên các bạn là A , B , C , D
Cách thứ 1 : Liệt kê ABCD ABDC ACBD ADBC ADCB
BACD BADC BCAD BDAC BDCA
CBBD CBDA CABD CDBA CDAB
DBCA DBAC DCBA DABC DACB
Như vậy có 24 cách . Mỗi cách là 1 hoán vị tên của 4 bạn .
Cách thứ 2 : Dùng quy tắc nhân .
- Có 4 cách chọn 1 trong 4 bạn để xếp vào chỗ thứ nhất
- Sau khi chọn 1 bạn còn 3 bạn . Có 3 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ 2
- Sau khi chọn 2 bạn rồi còn 2 bạn . Có 2 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ 3
- Sau khi chọn 3 bạn rồi còn 1 bạn . Có 1 cách chọn 1 bạn vào chỗ thứ 4
Theo quy tắc nhân , ta có số cách xếp chỗ ngồi là : 4.3.2.1 = 24 (cách)
Ký hiệu Pn là số hoán vị của n phần tử . Ta có định lý sau :
Định lý :
Pn = n.(n – 1) (n – 2)……3.2.1
Chứng minh :
Có n phần tử , lập mọi hoán vị ta làm :
Chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất . Có n cách n.
Sau khi chọn 1 phần tử cho vị trí thứ nhất , có n – 1 cách chọn 1 phần tử cho vị trí thứ 2 . ….
Sau khi chọn n – 2 phần tử cho n – 2 vị trí đầu tiên , có 2 cách chọn 1 phần tử cho vị trí thứ n – 1 .
Phần tử sau cùng được xếp vào vị trí thứ n .
Như vậy theo quy tắc nhân có : n.(n – 1 )(n – 2 ) … 2.1 kết quả theo thứ tự n pt
Vậy có : n.(n – 1 ).(n – 2 )…2.1 = n!
Ví dụ : Trong giờ học môn GDCD quốc phòng , một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc . Hỏi có bao nhiêu cách xếp .
10. 9 . 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 10 !
II. CHỈNH HỢP :
1. Định nghĩa :
Ví dụ 3 : Một nhóm học tập có 5 bạn A,B,C,D,E . Hãy kể ra vài cách phân công 3 bạn làm trực nhật : Một bạn quét nhà , một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế .
Giải :
Ta có bảng phân công sau :
Quét nha
Lau bảng
Sắp bàn ghế
A
C
D
A
D
C
C
B
E
…
…
…
Mỗi cách phân công nêu trên cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử
Định nghĩa :
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1)
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một Chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho .
Một cách tổng quát có định nghĩa sau :
Ví dụ : Trong mặt phẳng cho 4 điểm phân biệt A , B , C , D . Liệt kê tất cả véctơ khác véctơ không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập hợp đã cho .
2. Số các chỉnh hợp :
Trở lại ví dụ 3 : Cách tính khác .
- Chọn một bạn từ 5 bạn để giao cho quét nhà . Có 5 cách .
- Khi chọn 1 bạn rồi , chọn tiếp một bạn từ 4 bạn còn lại giao lau bảng . Có 4 cách .
- Khi chọn 2 bạn rồi , chọn tiếp một bạn từ 3 bạn còn lại giao sắp ghế . Có 3 cách .
Theo quy tắc nhân , số cách phân công trực nhật là : 5. 4. 3 = 60 (cách)
Nói cách khác có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn .
Ký hiệu
là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử
Định lý :
Chứng minh :
Xem sách giáo khoa trang 50
Ví dụ 4 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1 , 2, 3 , 4 , … , 9 ?
Giải :
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ số khác nhau từ 9 chữ số` đã cho và sắp xếp theo thứ tự nhất định . Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9 . Vậy số các số đó là :
Chú ý :
a) Với quy ước 0 ! = 1 , ta có :
b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó , vì vậy :
Áp dụng trắc nghiệm :
Ví dụ : Giả sử có 7 bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm hoa vào 3 lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bông )
A
B
C
D
III. TỔ HỢP :
1. Định nghĩa :
Ví dụ 5 : Trên mặt phẳng cho 4 điểm phân biệt A , B, C, D sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng .Hỏi cò thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập 4 điểm đã cho .
Giải :
Mỗi tam giác ứng với một tập con gồm 3 điểm từ tập 4 điểm đã cho . Vậy ta có 4 tam giác là : ABC ; ABD ; ACD ; BCD .
Tổng quát có định nghĩa sau : :
Định nghĩa :
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1)
Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho .
Chú ý :
Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điềi kiện 1  k  n . Tuy vậy , tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng là tổ hợp chập 0 của n phần tử .
Ví dụ : Cho tập A = {1,2,3,4,5} . Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3 , chập 4 của 5 phần tử của A .
123 ; 124 ; 125 ; 134 ; 135 ; 145 ; 234 235 ; 345
1234 ; 1235 ; 1345 ; 2345
2. Số các tổ hợp :
Ký hiệu
là số các tổ hợp chập k của n phần tử ( 1  k  n)
Định lý :
Chứng minh :
Xem sách giáo khoa trang 52
Ví dụ 6 : Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu 5 người . Hỏi :
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập ?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu , trong đó có 3 nam và 2 nữ ?
Giải :
a) Mỗi đoàn đại biểu là một tổ hợp chập 5 của 10 (người) . Vậy số đoàn là :
b) Chọn 3 người từ 6 nam có :
cách chọn
Chọn 2 người từ 4 nam có :
cách chọn

Ví dụ : Có 16 đội tham gia thi đấu . Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kỳ đều gặp nhau đúng 1 lần ?
3. Tính chất của các số tổ hợp :
Từ định lý về công thức tính số các tổ hợp chập k của n phần tử . Ta có tính chất sau :
a) Tính chất 1 :
(1  k  n )
VD :
b) Tính chất 2 :(Công thức PasCan)
(1  k  n )
VD :
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng , với 2  k  n – 2 , ta có :
Giải :
Ta có :
Cộng 2 vế có đpcm .
Áp dụng trắc nghiệm :
Ví dụ 1 : Trong mặt phẳng cho 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng . Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho ?
A
D
C
B
Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 4 đường thẳng song song với nhau và 5 đường thẳng vuông góc với 4 đường thẳng song song đó ?
A
D
B
C
Bài Tập về nhà :
Bài : 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7 trang 54 ; 55 sách giáo khoa GT11