P
Ớ
L
Ả
C
G
N
Ừ
M
O
À
H
C
!
I
Ớ
M
C
Ọ
H
T
Ế
I
T
I
Ớ
V
ĐẾN

KHỞI ĐỘNG
Trong thực tế, ta quan sát thấy nhiều hình ảnh gợi nên những
đường thẳng song song với nhau. Chẳng hạn các cột treo cờ
của tổ chức và các nước thành viên ASEAN.
Hai đường thẳng song
song trong không gian
có tính chất gì?

BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG
SONG SONG TRONG
KHÔNG GIAN

I.

G
N
U
NỘI D
C
Ọ
H
BÀI

Vị trí tương đối
của hai đường
thẳng phân biệt

II. Tính chất

I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG PHÂN BIỆT
HĐ1
a) Hãy nêu các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.
b) Quan sát hai đường thẳng a và b trong Hình 31a, 31b và cho biết các
đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng không.

Giải
a) Trong một mặt phẳng, ta có các vị trí tương đối sau của hai đường thẳng:
 Hai đường thẳng cắt nhau;
 Hai đường thẳng song song với nhau;
 Hai đường thẳng trùng nhau.
b)

a và b nằm
trong cùng một
mặt phẳng và
cắt nhau.

a và b không
nằm trong cùng
một mặt phẳng.

NHẬN XÉT
Cho hai đường thẳng a và b phân biệt trong không gian. Khi đó
xảy ra một trong các trường hợp:
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b
đồng phẳng

Khi đó, có hai khả năng xảy ra:

 a và b có một điểm chung duy nhất
I, thì a cắt b tại I, kí hiệu a ∩ b = I.
 a và b không có điểm chung thì a
và b song song, kí hiệu a // b.
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó
a và b chéo nhau, hay a chéo b.

LƯU Ý:
Để xét vị trí tương
đối ta quan tâm đến

Thế nào là hai đường
thẳng song song?

KẾT LUẬN

tính đồng phẳng và

Hai đường thẳng song song là

số điểm chung của

hai đường thẳng cùng nằm

hai đưởng thẳng.

trong một mặt phẳng và không
có điểm chung.

Có bao nhiêu mặt phẳng

Chú ý

chứa được hai đường
thẳng song song?

Cho hai đường thẳng song
song a và b. Có duy nhất một
mặt phẳng chứa hai đường
thẳng đó, kí hiệu: mb(a,b).

Ví dụ 1

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành.
Hãy xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
AB và CD, SA và BC.
Giải

Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB
song song với CD.
Do bốn điểm S, A, B, C không cùng nằm
trên một mặt phẳng nên hai đường
thẳng SA và BC chéo nhau.

Quan sát một phần căn phòng (Hình 35), hãy cho biết vị
trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và
c.
Giải
 Hai đường thẳng a và b song song
với nhau.
 Hai đường thẳng a và c chéo nhau.
 Hai đường thẳng b và c cắt nhau.

II. TÍNH CHẤT
Thảo luận nhóm đôi
HĐ2

Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua
điểm M (Hình 36). Nêu dự đoán về số đường thẳng đi qua điểm
M và song song với đường thẳng d.
Dự đoán:
Trong không gian, qua điểm M ta vẽ
được một đường thẳng duy nhất song
song với đường thẳng d.

ĐỊNH LÍ 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên
đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng
song song với đường thẳng đã cho.

Chứng minh
 Trong không gian, giả sử M là điểm không nằm trên đường thẳng d.
 Khi đó điểm M và đường thẳng d xác định duy nhất một mặt phẳng (P). Trong
mặt phẳng (P), theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, có một đường
thẳng d' đi qua M và song song với đường thẳng d. Như vậy, trong không gian,
tồn tại đường thẳng d' đi qua M và song song với d.
 Trong không gian, giả sử d'' là một đường thẳng đi qua M và song song với d. Do
d'' // d nên d'' và d nằm trong cùng mặt phẳng (Q). Khi đó mặt phẳng (Q) cũng đi
qua điểm M và đường thẳng d (Q) (P) d' (P). Trong mặt phẳng (P), hai đường
thẳng d', d'' cùng đi qua M và song song với d nên d' và d'' trùng nhau. Vậy định lí
được chứng minh.

Thảo luận nhóm đôi
Cho
ba
mặt
phẳng
(P),
(Q),
(R)
đôi
một
cắt
nhau
theo
ba
giao
tuyến
HĐ3
phân biệt a, b, c, trong đó a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q).
 Nếu hai đường thẳng a và b cắt
nhau tại điểm M thì đường
thẳng c có đi qua điểm M hay
không (Hình 38a)?
 Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a có song
song với đường thẳng c hay không (Hình 38b)?

Giải

Ta có: a ∩ b = {M}
Mà a ⊂ (P); b ⊂ (Q)
Nên M ∈ (P) và M ∈ (Q). Do đó M là
giao điểm của (P) và (Q).
Mà (P) ∩ (Q) = c, suy ra M ∈ c.
Vậy đường thẳng c đi qua điểm M.

Giả sử trong mặt phẳng (P) có a ∩ c = {N}.
Khi đó N ∈ a mà a ⊂ (R) nên N ∈ (R)
N ∈ c mà c ⊂ (Q) nên N ∈ (Q)
Do đó N là giao điểm của (R) và (Q).
Mà (Q) ∩ (R) = b N ∈ b.
Vì thế a và b có điểm chung là N (mâu thuẫn với giả thiết a và b song
song).
Vậy nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a và
b song song với đường thẳng c.

ĐỊNH LÍ 2
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao
tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy
hoặc đôi một song song với nhau.

HỆ QUẢ
Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì
giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó
hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB //
CD. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) với (SCD).

Giải
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm
chung là S và lần lượt chứa hai đường
thẳng AB và CD song song với nhau.
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB)
và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và
song song với AB và CD.

Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SD và P là một điểm nằm
trên cạnh AB (P khác A và B). Đường thẳng CD cắt mặt phẳng
(MNP) tại các điểm Q. Chứng minh rằng đường thẳng MN song
song với đường thẳng PQ.

Giải
Ba mặt phẳng (SAD), (ABCD), (MNP) đôi một
cắt nhau theo các giao tuyến AD, MN, PQ.
Trong SAD có MN là đường trung bình nên
MN // AD. Do đó, theo định lí 2 ta suy ra AD,
MN, PQ đôi một song song. Vậy MN // PQ.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và
(SCD); (SAD) và (SBC).
Giải
Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là
giao điểm của (SAB) và (SCD).
Mà AB // CD; AB ⊂ (SAB); CD ⊂ (SCD).
Do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là
đường thẳng n đi qua S và song song với
AB và CD.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và
(SCD); (SAD) và (SBC).
Giải
Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là
giao điểm của (SAD) và (SBC).
Mà AD // BC; AD ⊂ (SAD); BC ⊂ (SBC).
Do đó giao tuyến của (SAD) và (SBC) là
đường thẳng p đi qua S và song song với
AD và BC.

HĐ4

Trong mặt phẳng, hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng
phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba.
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

ĐỊNH LÍ 3
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song
với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Kí hiệu: a//b//c.

Ví dụ 4

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng:

a) MP // QN và MP = QN;
b) Các đoạn thẳng MN, PQ, RS cùng đi qua trung điểm G của mỗi đoạn.
Giải
a) Trong ABC, MP là đường trung bình nên MP // AC và
MP = AC (1)
Trong ACD, QN là đường trung bình nên QN // AC và QN = AC
(2)
Từ (1) và (2) MP // QN và MP = QN.

Ví dụ 4

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng:

a) MP // QN và MP = QN;
b) Các đoạn thẳng MN, PQ, RS cùng đi qua trung điểm G của mỗi đoạn.
Giải
b) Từ kết quả câu a, ta có tứ giác MPNQ là hình bình hành
nên MN, PQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn.
Lập luận tương tự, ta cũng có tứ giác MSNR là hình bình
hành nên MN, RS cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đoạn.
Vậy MN, PQ, RS cùng đi qua trung điểm G của mỗi đoạn.

Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các
đoạn thẳng AB, BC sao cho = = . Chứng minh rằng MN song
song với PQ.

Giải

• Xét tam giác SAC, có:
M là trung điểm SA, N là trung điểm của SC MN là
đường trung bình của SAC MN // AC (1)
• Xét tam giác ABC, có .
Suy ra PQ // AC (định lí Thales đảo) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ.

VIỆT NAM VÔ ĐỊCH
EM TẬP LÀM THỦ MÔN

Câu 1: Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến d 1, d2,
d3 trong đó d1 song song với d2. Khi đó vị trí tương đối của d2 và d3 là?
A. Song song

B. Chéo nhau

C. Cắt nhau

D. Trùng nhau

Câu 2: Cho hình tứ diện ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB và CD cắt nhau

B. AB và CD chéo nhau

C. AB và CD song song

D. Tồn tại một mặt phẳng chứa AB và
CD

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, AD = 2BC. Gọi
G và G' lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAD. GG' song song với đường thẳng

A. AB

B. AC

C. SC

D. BD

Câu 4: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a song song
với b. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Nếu b song song với c thì a song song
với c.

B. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa
cả hai đường thẳng a và b.

C. Nếu c cắt a thì c cắt b.

D. Nếu A a và B b thì a, b và AB cùng ở
trên một mặt phẳng.

Câu 5: Cho tứ diện ABCD. P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD. Điểm R nằm trên
cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và AD. Khi đó

A. SA = 3SD

B. SA = 2SD

C. SA = SD

D. 2SA = 3SD

LUYỆN TẬP
Bài 1 (SGK - tr.100) Quan sát
phòng học của lớp và nêu lên
hình ảnh của hai đường
thẳng song song, cắt nhau,
chéo nhau.

Giải
 Một số hình ảnh hai đường thẳng song song: Hai rìa mép thước thẳng, hai
đường viền bàn đối nhau, đường viền chân tường và đường viền trần nhà
(trong cùng một bức tường), hai đường viền bảng đối nhau, ...
 Một số hình ảnh về hai đường thẳng cắt nhau: Hai rìa mép thước kề nhau,
hai đường viền bảng kề nhau, đường góc tường và đường chân tường (trong
cùng một bức tường), ...
 Một số hình ảnh về hai đường thẳng chéo nhau: Đường chéo của bàn học
với đường góc tường, đường chéo của bảng và đường viền chân tường
trong bức tường kề với bức tường chứa bảng,...

Bài 2 (SGK - tr.100)
Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí
tương đối của hai trong ba cột
tuabin gió có trong hình.
Song song

Bài 3 (SGK - tr.100) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, SD. Xác định giao
tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC); (MNP) và (ABCD).
Giải
• Ta có: ABCD là hình bình hành nên AD // BC
Mà AB ⊂ (SAB);
BC ⊂ (SBC);
S ∈ (SAB) và S ∈ (SBC).
Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và
(SBC) là đường thẳng d đi qua S và song song
với AD và BC.

Bài 3 (SGK - tr.100) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, SD. Xác định giao
tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC); (MNP) và (ABCD).
Giải

• Trong tam giác SAD, có: M, P lần lượt là
trung điểm của SA, SD
Do đó MP là đường trung bình nên MP // AD.
Mà MP ⊂ (MNP); AD ⊂ (ABCD);
      N ∈ (MNP) và N ∈ (ABCD).
Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và
(ABCD) là đường thẳng NQ.

i
ọ
G
.
D
C
B
A
n
iệ
d
ứ
t
o
h
C
)
0
0
1
.
r
t
Bài 4 (SGK
c
iá
g
m
ta
c
á
c
a
ủ
c
m
â
t
g
n
ọ
tr
là
t
ợ
lư
G1 ,G2 lần
g
n
ẳ
h
t
g
n
ờ
ư
đ
g
n
ằ
r
h
in
m
g
n
ứ
h
C
.
D
AB C , A B
.
D
C
g
n
ẳ
h
t
g
n
ờ
ư
đ
i
ớ
v
g
n
o
s
g
n
o
s
G
G
1

2

Giải
+) Trong mp(ABC), kẻ đường trung tuyến AM (M ∈
BC).
Do G1 là trọng tâm của tam giác ABC nên 
+) Trong mp(ABD), kẻ đường trung tuyến AN (N ∈
BD).
Do G2 là trọng tâm của ABD nên
+) Xét AMN, có  nên G1G2 // MN (định lí Thalès đảo).
+) Xét BCD, có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD
MN là đường trung bình của BCD MN // CD.
Mà G1G2 // MN (chứng minh trên) nên G1G2 // CD.

VẬN DỤNG
Bài 5 (SGK - tr.100) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình thang với AB là đáy lớn và AB = 2CD. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB.
Chứng minh rằng đường thẳng NC song song với
đường thẳng MD.

Giải
Trong mặt phẳng (SAB), có: M, N lần lượt là
trung điểm của SA và SB.
Do đó MN là đường trung bình của tam giác
MN // AB và
Lại có: AB // CD (do ABCD là hình thang) và
AB = 2CD hay
MN // CD và MN = CD.
MNCD là hình bình hành MD // NC.

Bài 6 (SGK - tr.100) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ.
a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác
IJKL là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng IK // BC.
c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Giải
a) Trong tam giác SMN, có: IJ // MN (tính chất
đường trung bình) và
Trong tam giác SQP, có: LK // QP (tính chất đường
trung bình) và
Mà QP // AC // MN (tính chất đường trung bình) và

Do đó IJ // LK  và IJ = LK. Vậy I, J, K, L đồng phẳng.
Xét tứ giác IJKL có IJ // LK và IJ = LK nên IJKL là hình bình hành.

b) Trong SMP có: IK // MP (tính chất đường trung bình
SMP).
Mà MP // AD // BC (tính chất đường trung bình của
hình thang)
Suy ra IK // BC.
c) Ta có: J ∈ SN mà SN ⊂ (SBC) nên J ∈ (SBC)
Lại có J ∈ (IJKL)
Do đó J là giao điểm của (IJKL) và (SBC).
Mặt khác: IK // BC (chứng minh trên); IK ⊂ (IJKL); BC ⊂ (SBC).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) là đường thẳng đi qua J song song với
BC cắt SB, SC lần lượt tại B' và C', hay giao tuyến là đường thẳng B'C'.

n
lầ
J
I,
i
ọ
G
.
D
C
B
A
n
iệ
d
ứ
t
o
h
C
)
0
0
.1
r
t
K
Bài 7 (SG
h
n
ạ
c
n
ê
r
T
.
D
C
,
C
B
h
n
ạ
c
c
á
c
a
ủ
c
m
iể
đ
g
n
u
r
lượt là t
N
I,
A
à
v
K
B
a
ủ
c
m
iể
đ
o
ia
g
là
M
i
ọ
G
.
K
m
iể
AC lấy đ
g
n
ờ
ư
đ
g
n
ằ
r
h
in
m
g
n
ứ
h
C
.
J
A
à
v
K
D
a
ủ
c
là giao điểm
 
.
D
B
g
n
ẳ
h
t
g
n
ờ
ư
đ
i
ớ
v
g
n
o
s
g
n
o
s
N
M
g
n
ẳ
h
t

Giải
+) Ta có: B ∈ (BDK) và B ∈ (BCD) nên B là giao điểm
của (BDK) và (BCD).
             D ∈ (BDK) và D ∈ (BCD) nên D là giao điểm
của (BDK) và (BCD).
Do đó (BDK) ∩ (BCD) = BD.
+) Ta có: M ∈ BK mà BK ⊂ (BDK) nên M ∈ (BDK); 
             M ∈ AI mà AI ⊂ (AIJ) nên M ∈ (AIIJ)
Do đó M là giao điểm của (BDK) và (AIJ)
Tương tự ta cũng có N là giao điểm của (BDK) và (AIJ)
Suy ra MN là giao tuyến của (BDK) và (AJII).

+) Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD)
Lại có I ∈ (AIJ) nên I là giao điểm của (BCD) và (AIJ)
Tương tự ta cũng có J là giao điểm của (BCD) và
(AIJ)
Suy ra IJ là giao tuyến của (BCD) và (AIJ).
+) Xét DBCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC,
CD nên IJ là đường trung bình của tam giác
Do đó IJ // BD.
+) Ta có: (BDK) ∩ (BCD) = BD; (BDK) ∩ (AIJ) = MN;
(BCD) ∩ (AIJ) = IJ; IJ // BD.
Suy ra MN // BD.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
01

02

03

Ôn tập kiến

Hoàn thành bài

Đọc và chuẩn bị

thức đã học

tập trong SBT

bài sau - Bài 3