I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Trường hợp 1: a và b đồng phẳng
Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b bất kì. Có 2 trường hợp:
Trường hợp 2: a và b không đồng phẳng
a, b chéo nhau
Ví dụ
Câu hỏi 1: Cho tứ diện ABCD, chứng minh AB và CD chéo nhau. Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau khác.
Hướng dẫn
Giả sử AB và CD không chéo nhau
AB và CD song song, hoặc trùng nhau
AB và CD cắt nhau tại I
AB và CD đồng phẳng
?AB cắt (BCD) tại 2 điểm B và I phân biệt ? vô lý
Vậy AB và CD chéo nhau
Tương tự AD và BC; AC và BD là các cặp đường thẳng chéo nhau
Nhận xét:
Phân biệt 2 đường thẳng song song và 2 đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
+ Giống: Không có điểm chung
+ Khác: Hai đường thẳng song song đồng phẳng, hai đường thẳng chéo nhau không đồng phẳng
Hai đường thẳng song song a, b xác định một mặt phẳng (a,b)
II. Tính chất
Định lý 1: Trong không gian, cho trước đường thẳng b và điểm A không thuộc b. Có một và chỉ một đường thẳng a qua A và song song với b
Câu hỏi 2: Cho hai mp (P) và (Q). Một mp (R) cắt (P) và (Q) theo hai giao tuyến lần lượt là a, b. Chứng minh rằng khi a và b cắt nhau tại I thì I là điểm chung của (P) và (Q)
b
a
d
Q
P
I
R
Hướng dẫn
II. Tính chất
Định lý 1: Trong không gian, cho trước điểm A, và đường thẳng b. Có một và chỉ một đường thẳng a qua A và song song với b
Định lý 2: Nếu 3 mp (P), (Q), (R) đôi một giao nhau theo 3 giao tuyến a, b, c. Thì hoặc a, b, c đồng quy hoặc a, b, c đôi một song song.
c
b
a
Q
P
O
R
a
c
Q
P
b
R
II. Tính chất
Định lý 1: Trong không gian, cho trước điểm A, và đường thẳng b. Có một và chỉ một đường thẳng a qua A và song song với b
Định lý 2: Nếu 3 mp (P), (Q), (R) đôi một giao nhau theo 3 giao tuyến a, b, c. Thì hoặc a, b, c đồng quy hoặc a, b, c đôi một song song.
Hệ quả: Nếu 2 mp (P), (Q) phân biệt, lần lượt chứa hai đường thẳng song song a, b. Thì giao tuyến (nếu có ) của (P) và (Q) hoặc song song với a và b, hoặc trùng với một trong a và b.
d
b
a
a
b
d
b
d
a
áp dụng
Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng, thiết diện của hình chóp
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt chứa 2 đường thẳng a, b song song. Để xác định giao tuyến của (P) và (Q) ta làm như sau:
+ Xác định một điểm chung M của (P) và (Q)
+ Giao tuyến là đường thẳng qua M và song song với a, b
Các ví dụ
1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của của (SAD) và (SBC)
Hướng dẫn
D
Ta có:
AD//BC
Các ví dụ
1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Xác định giao tuyến của của (SAD) và (SBC)
Hướng dẫn
2. Cho tứ diên ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD. (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC tại M
a. Xác định giao tuyến của (P) và (ACD)
b. Xác định thiết diện của (P) và tứ diện. Thiết diện là hình gì?
D
a. Ta có:
IJ//CD (gt)
qua M và // CD
Trong (ACD), d cắt AD tại N
b. Ta có:
Thiết diện là tứ giác IJNM.
MN// CD ==> Thiết diện là hình thang
II. Tính chất
Định lý 1: Trong không gian, cho trước điểm A, và đường thẳng b. Có một và chỉ một đường thẳng a qua A và song song với b
Định lý 2: Nếu 3 mp (P), (Q), (R) đôi một giao nhau theo 3 giao tuyến a, b, c. Thì hoặc a, b, c đồng quy hoặc a, b, c đôi một song song.
Hệ quả: Nếu 2 mp (P), (Q) phân biệt, lần lượt chứa hai đường thẳng song song a, b. Thì giao tuyến (nếu có ) của (P) và (Q) hoặc song song với a và b, hoặc trùng với một trong a và b.
Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt a, b cùng song song với đường thẳng c thì a, b, c song song với nhau. a//b//c
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, AB, CD, AD và BC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn
Hướng dẫn
PR//SQ//BD ;
==> PRQS là hình bình hành
==>PQ và RS cắt nhau tại trung điểm O mỗi đường
Tương tự, PMQN là hình bình hành
==> MN và PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
==> ĐPCM
Bài tập
Bài 3 tr 60 (SGK)
Xác định A?:
Chứng minh B, M?, A? thẳng hàng:
Trong (ABN), AG cắt BN tại A?
Suy ra B, M?, A? thẳng hàng:
Trong tg ABA?, MM? qua trung điểm M của AB, song song với AA?. Suy ra M?B=M?A?