KHỞI ĐỘNG
Bài toán cổ:
Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm trái thừa năm trái
Mỗi người sáu trái một người không
Hỡi người bạn trẻ đang dừng bước
Có mấy em thơ, mấy trái hồng?
Làm thế nào để tính được số em nhỏ (em thơ) và số trái hồng?

Bài 2:
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Để chuyển đổi từ độ F (kí hiệu x) sang độ C (kí hiệu y), ta dùng công thức:
5
y   x  32 
9

a) Biến đổi công thức trên về dạng x – 1,8y = 32. (1)
b) Hỏi 20°C tương ứng với bao nhiêu độ F?
c) Hỏi 98,6°F tương ứng với bao nhiêu độ C?
Giải
5
b) Thay y = 20 và công thức (1) ta được:
a) Ta có: y   x  32 
9
x – 1,8 . 20 = 32
9
y x  32
x = 68
5
Vậy 20oC tương ứng với 68oF.
1,8 y x  32
c) Thay x = 98,6 và công thức (1) ta được:
Hay x – 1,8y = 32
(1)
98,6 – 1,8y = 32
y 37
được gọi là phương trình
o
o
Vậy
98,6
F
tương
ứng
với
37
C.
bậc nhất hai ẩn.

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng ax + by = c,
trong đó a, b, c là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời bằng 0.
Nếu giá trị của vế trái tại x = x0 và y = y0 bằng vế phải thì cặp số (x0; y0) được gọi
là một nghiệm của phương trình.
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất
hai ẩn? Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc nhất hai ẩn đó.
a) 3x + 5y = –3
b) 0x – 2y = 7
c) –4x + 0y = 5
d) 0x + 0y = 8
Giải
a) 3x + 5y = –3 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 3, b = 5, c = –3.
b) 0x – 2y = 7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0, b = –2, c = 7.
c) –4x + 0y = 5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = –4, b = 0, c = 5.
d) 0x + 0y = 8 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn vì a = b = 0.

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2: Cho phương trình 3x – y = 1. Trong hai cặp số (1; 2) và (1; –2). Cặp số
nào là nghiệm của phương trình đã cho?
Giải
Cặp số (1; 2) là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.1 – 2 = 1.
Cặp số (1; –2) không là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.1 – (–2) = 5 1.

*Chú ý:
a) Mỗi nghiệm (x0; y0) của phương trình ax+ by = c được biểu diễn bởi
điểm có tọa độ (x0; y0) trên mặt phẳng Oxy.
b) Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tất
cả các nghiệm của phương trình đó được biểu diễn bởi một đường thẳng.

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 3: Biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng tọa
độ Oxy.
a) –3x + y = 2;
b) 0x + y = –2;
c) 2x + 0y = 3
Giải
a) Viết lại phương trình thành y = 3x + 2.
Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho
được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 3x + 2.
b) Viết lại phương trình thành y = –2.
Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được
biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Oy tại điểm
M(0; –2).
b) Viết lại phương trình thành x = 1,5.
Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được biểu
diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Ox tại điểm N(1,5; 0).

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
Thực hành 1: Xác định hệ số a, b, c của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
a ) x  5 y  4;
3
c)0 x  y 6;
2

b) 3 x  y 0;

d )2 x  0 y  1,5

Giải
a) x + 5y = –4 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 5, c = –4.
b) 3x  y 0 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 3 , b = 1, c = 0.
c)

3
0 x  y 6
2

là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0, b

3
= 2,

c = 6.

d) 2x + 0y = –1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 0, c = –1,5 .

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Thực hành 2: Cho phương trình 3x + 2y = 4. (1)
a) Trong hai cặp số (1; 2) và (2; –1), cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?
b) Tìm y0 để cặp số (4; y0) là nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm thêm hai nghiệm của phương trình (1).
d) Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Giải
a) Cặp số (1; 2) không là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.1 + 2.2 = 7 2.
Cặp số (2; –1) là nghiệm của phương trình đã cho vì 3.2 + 2. (–1) = 4.
b) Thay x = 4, y = y0 vào phương trình (1), ta được: 3.4 + 2y0 = 4
2y0 = –8 hay y0 = –4.
c) Hai nghiệm của phương trình (1) có thể là: (–2;5); (0; 2)
d) Viết lại phương trình thành y 

3
x2
2

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Một ô tô từ A đến B, cùng lúc đó một xe máy đi từ B về A. Gọi x (km/h) là tốc độ của ô
2 tô, y (km/h) là tốc độ của xe máy (x > 0, y > 0). Biết rằng:
(1) Tốc độ của ô tô hơn tốc độ xe máy 15 km/h;
(2) Quãng đường AB dài 210 km và hai xe gặp nhau sau 2 giờ.
a) Ta có x – y = 15
b) Ta có 2x + 2y = 210 hay x + y = 105.
c) Khi tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h thì ta thấy
x – y = 60 – 45 = 15
và x + y = 60 + 45 = 105.
Vậy ta có thể dùng hai phương trình lập được để kiểm tra khẳng định của bạn An
và ta thấy khẳng định của bạn An là đúng.
a) Từ dữ kiện (1), hãy lập một phương
trình hai ẩn x, y?
x  y 15
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
b) Từ dữ kiện (2), hãy lập thêm một phương trình hai ẩn x, y?
 x  y 105
c) Bạn An khẳng định rằng tốc độ của ô tô và xe máy lần lượt là 60 km/h và 45 km/h. Có thể
dùng hai phương trình lập được để kiểm tra khẳng định của bạn An là đúng hay sai không?

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:
ax  by c
(I ) 
a ' x  b ' y c'

(1)
(2)

Trong đó a, b, c, a', b', c' là các số đã biết (gọi là hệ số), a và b không đồng thời
bằng 0, a'và b' không đồng thời bằng 0.
Nếu (x0; y0) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2) thì (x0; y0) được gọi
là một nghiệm của hệ (I).
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 4: Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ hai phương trình
bậc nhất hai ẩn? Xác định hệ số của mỗi hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn đó.
 x  3 y 3
a) 
2 x  y  4

0 x  0 y  5
b) 
2 x  7 y 3

2 x  0 y 0
c) 
0 x  3 y 1

Giải
 x  3 y 3
a) Hệ 2 x  y  4 là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 1, b = 3, c = 3 và

a' = 2, b' = 1, c' = –4.
0 x  0 y  5
b) Hệ 2 x  7 y 3 không là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.


2 x  0 y 0
c) Hệ 
là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 0, c = 0 và
0 x  3 y 1

a' = 0, b' = –3, c' = 1.

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

2 x  3 y 7

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình 
 x  3 y  1

Trong hai cặp số (2; 1) và (–1; 3), cặp nào là nghiệm của hệ phương trình đã cho?

Giải
 2.2  31 7
Cặp số (2; 1) là nghiệm của hệ phương trình vì 2  3.1  1

 2.( 1)  3.3 7
Cặp số (–1; 3) không là nghiệm của hệ phương trình vì  1  3.3  10( 1)


VUI ĐỂ HỌC TỐT

1 chất
2
Phẩm
Năng
lực
3 4

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. 0x + 0y = 9
B. 3x + 5x2 = –3
C. x – 2y = 7z
D. –7x + 0y = 5.

Câu 2: Phương trình nào dưới đây không phải phương
trình bậc nhất hai ẩn?

A. 0,4x + 0y = –2,45.
B. 4x + 9y = –2.
C. 0x – 0y = 0
3
D. 0 x  y  3
9

Câu 3: Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình
nào không là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?

 x  3 y 0
A. 
4 x  3 y  4
 3x  0 y  5

B. 
4
0 x  y 3
5

7 x  2 y  5
C. 
0 x  0 y 9

Câu 4: Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình
 x  5 y 10

2 x  y  13

A. (0; 2)
B. (–5; 3)
C. (2; 0)
D. (3; –5)

VẬN DỤNG

Bài toán cổ:
Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm trái thừa năm trái
Mỗi người sáu trái một người không
Hỡi người bạn trẻ đang dừng bước
Có mấy em thơ, mấy trái hồng?
Làm thế nào để tính được số em nhỏ (em thơ) và số trái hồng?
Giải
Gọi x là số em nhỏ, y là số quả hồng (x, y ∈ ℕ*).
Câu “Mỗi người năm trái thừa năm trái” nên ta có 5x = y – 5 hay 5x – y = 5.          (1)
Câu “Mỗi người sáu trái một người không” nên ta có 6(x – 1) = y hay 6x – y = 6.    (2)
5 x  y 5
Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
6 x  y 6

Đối với bài toán trên, nếu gọi x là số em nhỏ, y là số quả hồng
thì ta nhận được hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

LUYỆN TẬP

BÀI 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất
hai ẩn? Xác định hệ số a, b, c của phương trình bậc nhất hai ẩn đó.
a )2 x  5 y  7;
5
c)0 x  y 3;
4

b)0 x  0 y 5
d )0,2 x  0 y  1,5

Giải
a) 2x + 5y = –7 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = 5, c = –7.
b) 0x – 0y = 5 không là phương trình bậc nhất hai ẩn.
5
5
c) 0 x  y 3 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0, b =  , c = 3.
4
4

d) 0,2 x  0 y  1,5 là phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 0,2, b = 0, c = –1,5.

BÀI 2: Trong các cặp số (1; 1), (–2; 5), (0; 2), cặp số nào là nghiệm của mỗi
phương trình sau?
a) 4x + 3y = 7;
b) 3x – 4y = –1.
Giải

a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . 1 + 3 . 1 = 4 + 3 = 7.
Cặp số (–2; 5) là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . (–2) + 3 . 5 = –8 + 15 = 7.
Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 4x + 3y = 7 vì 4 . 0 + 3 . 2 = 6 ≠ 7.
Vậy trong các cặp số đã cho thì có hai cặp số (1; 1) và (–2; 5) là nghiệm của phương
trình 4x + 3y = 7.
b) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 . 1 – 4 . 1 = 3 – 4 = –1.
Cặp số (–2; 5) không phải là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 . (–2) – 4 . 5 = 6
– 20 = –26 ≠ –1.
Cặp số (0; 2) không phải là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –1 vì 3 . 0 – 4 . 2 = 0 – 8
= –8 ≠ –1.
Vậy trong các cặp số đã cho thì có cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 3x – 4y = –
1.

BÀI 3: Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
a) 2x + y = 3;
b) 0x – y = 3;
c) –3x + 0y = 2;
d) –2x + y = 0.

Giải
a) Viết lại phương trình thành y = –2x + 3.
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được
biểu diễn bởi đường thẳng d: y = –2x + 3 (như hình vẽ).

b) Viết lại phương trình thành y = –3.
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho được
biểu diễn bởi đường thẳng d vuông góc với Oy tại điểm
M(0; –3).

BÀI 3: Hãy biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
a) 2x + y = 3;
b) 0x – y = 3;
c) –3x + 0y = 2;
d) –2x + y = 0.
thành x 

2
3.

Giải

c) Viết lại phương trình
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã
cho được biểu diễn bởi đường thẳng d vuông
góc với Ox tại điểm  N   2 ;0 
 3



d) Viết lại phương trình thành y = 2x.
Từ đó, tất cả các nghiệm của phương trình đã cho
được biểu diễn bởi đường thẳng d: y = 2x
Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và điểm A(1;
0).

4 x  y 2
Bài 4: Cho hệ phương trình  x  3 y 7


Cặp số nào dưới đây là nghiệm của hệ phương trình đã cho?
a) (2; 2)
b) (1; 2)
c) (–1; –2).
Giải

4.2  2 6 7
Cặp số (2; 2) không là nghiệm của hệ phương trình vì 
2  3.2 8 7
4.1  2 2
Cặp số (1; 2) là nghiệm của hệ phương trình vì 1  3.2 7

4.(  1)  (  2)  2 7
Cặp số (–1; –2) không là nghiệm của hệ phương trình vì  1  3.( 2)  7 7


1
Bài 5: Cho hai đường thẳng y  x  2 và y= –2x – 1
2

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Xác định tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.
 x  2 y 4
c) Tọa độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình 
không? Vì sao?
2 x  y  1

Giải

a) Bảng giá trị:

x
1
y  x  2
2

0

4

2

0

x

0

y= –2x – 1

–1

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên là A(–2; 3).

1
2
0

1
Bài 5: Cho hai đường thẳng y  x  2 và y= –2x – 1
2

a) Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Xác định tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng trên.
 x  2 y 4
c) Tọa độ của điểm A có là nghiệm của hệ phương trình 
không? Vì sao?

Giải

2 x  y  1

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên là A(–2; 3).

  2  2.3 4
c) Tọa độ A(–2; 3) là nghiệm của hệ phương trình vì 
 2.( 2)  3  1