Tiết 68-69: HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Bài toán: Cho hàm số (hình vẽ)
Tính f(1)
Tính
So sánh:
với f(1)
Giải:
Định nghĩa: (SGK)
H1: Xét tính liên tục của hàm số f(x)=|x| tại điểm x=0.
Giải:
* f (0)=0
Vậy, hàm số f(x)=|x| liên tục tại điểm x = 0.

H2: Xét tính liên tục của hàm số:
tại điểm x = 1
Giải:
f(1)=1+1=2
Định nghĩa: (SGK)
Ví dụ:
Xét tính liên tục của hàm số
trên đoạn [-1 ; 1]
Giải:
Vậy, hàm số đã cho liên tục trên đoạn [-1 ; 1]
Chú ý: Tính liên tục của hàm số trên các nửa khoảng được định nghĩa tương tự như tính liên tục của hàm số trên một đoạn.
Giải:
(1)
(2)
Từ (1), (2) suy ra đpcm.
Nhận xét: hàm số liên tục trên một đoạn hoặc một khoảng có đồ thị là một đường “liền nét”.
Nhận xét:
1)
2)
3)
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
Ví dụ 2: Cho hàm số
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Giải:
Nếu x=1 thì f(1)=5 và:
Định lý 1: Các hàm số lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
Ví dụ: Giải thích vì sao:
Giá trị của a để f(x) liên tục tại x = 1 là :
CỦNG CỐ
A. a = 4
B. a = 3
C. a = 1
D. a = 0
3. Tính chất của hàm số liên tục:
Định lý 2:
Ý nghĩa hình học của định lý:
Giải:
Vì f là hàm số phân thức nên nó liên tục trên
nên nó liên tục trên đoạn [0 ; 2]
f(0) = -1; f(2) = 2 và -1 < -0,8 < 2 nên theo
định lý về giá trị trung gian, ta suy ra đpcm.
Hệ quả:
Ý nghĩa hình học của hệ quả:
Ví dụ: Chứng minh phương trình:
x3 + 2x – 5 = 0
có ít nhất một nghiệm.
Giải:
Bài tập 49: Chứng minh rằng phương trình
Hướng dẫn:
Bài tập 53: Chứng minh rằng phương trình
x3 + x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
Hướng dẫn:
Ví dụ: Chứng minh phương trình:
2x3 –10x – 7 = 0
có ít nhất hai nghiệm.
Hướng dẫn:
Ví dụ: Chứng minh phương trình sau luôn có
nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
(1– m2) x5 –3x – 1 = 0
Hướng dẫn:
1) Hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] , có nghiệm trên khoảng (a ; b) thì không suy ra được f(a).f(b) < 0.
2) Hàm số f xác định trên đoạn [a ; b], có f(a).f(b) < 0 thì không suy ra được phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a ; b) .
Giải thích: Vì thiếu giả thiết f liên tục trên đoạn [a ; b]
Ví dụ: (Bài tập 54)
Chứng tỏ f(-1).f(2) < 0
Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 2).
Cho phương trình: 2x4 – 5x2 + x + 1 = 0 (1)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Pt (1) không có nghiệm trong khoảng (-1;1)
B. Pt (1) không có nghiệm trong khoảng (-2;0)
C. Pt (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2;1)
D. Pt (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng
(0;2)
CỦNG CỐ