CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY.

T OÁ N 8

Mở đầu
Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh
dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéotheo
đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được
một tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA =
OB thì tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?

BÀI 14:HÌNH THOI VÀ
HÌNH VUÔNG

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

Hình thoi

2

Hình vuông

1.Hình thoi:
1.1. Khái niệm và tính chất của hình thoi
 Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn
cạnh bằng nhau.
Tứ giác ABCD có AB = BC = CD = DA,
nó là một hình thoi.
Hình thoi là hình bình hành vì có hai cạnh đối bằng nhau.
Hình
thoi
có phải là hình bình hành
tính chất của
hình
thoi
không?
Nếu
từ tính
chất đã biết
- Hình thoi có
hai góc
đốicó,
bằng
nhau.
hìnhcặp
bình
hành,
ra những
- Hình thoi của
có các
cạnh
đối hãy
songsuy
song.
tínhhai
chất
tươngchéo
ứng cắt
của nhau
hình thoi.
- Hình thoi có
đường
tại trung điểm của
mỗi đường.

HĐ1 Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt
nhau tại O (H.3.48).
a) ∆ABD có cân tại A không?
b) AC có vuông góc với BD không
và AC có là đường phân giác của
góc A không? Vì sao?
Giải
a,Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = AD.
Suy ra ∆ABD có cân tại A.
b,Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Xét ∆ABC và ∆ADC có:
AB = AD (chứng minh trên)
BC = CD (chứng minh trên)
Cạnh AC chung.

Do đó ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)
Suy ra ˆA1=ˆA2 (hai góc tương ứng)
Hay AC là đường phân giác của góc A.
Tam giác ABD cân tại A có AO là đường phân giác của
góc A (vì AC là đường phân giác góc A) nên AO cũng là
đường cao.
Khi đó AO ⊥ BD hay AC ⊥ BD.
Vậy AC vuông góc với BD và AC là đường phân giác của
góc A.
Định lí 1: Trong hình thoi:
a,Hai đường chéo vuông góc với nhau;
b,Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong
hình thoi.
Ví dụ 1. Hai đường tròn tâm A và C có cùng bán kính ,cắt
nhau tại B,D

a, Hỏi tứ giác ABCD là hình gì ?Tại sao?
b, Chứng minh AC vuông góc với BD
Giải
a,Tứ giác ABCD là một hình thoi.
vì hai đường tròn tâm A và C có cùng bán kính cắt nhau tại
B, D nên AB = CB và AD = CD.
Vậy theo định nghĩa tứ giác ABCD là một hình thoi.
b, từ câu a, theo định lí 1 ta có: AC ⊥ BD.
Dấu hiệu nhận biết hình thoi
Định lí 2:
a,Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
b,Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là
hình thoi.
c,Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của
một góc là hình thoi.

Hãy viết giả thiết, kết luận của câu c trong Định lí 2.
Giải

Ví dụ 2. Trong các hình dưới đây, hình nào là hình thoi?

Giải
+Tứ giác ABCD có các góc đối bằng nhau nên là hình bình
hành mà hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên
tứ giác ABCD là hình thoi.
+ Tứ giác MNPQ không là hình thoi vì bốn cạnh không bằng
nhau.

Luyện tập 1: Trong Hình 3.51, hình nào là hình thoi? Vì sao?

Giải
Hình 3.51a,Tứ giác đã cho có hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đường và chúng vuông góc với nhau nên
tứ giác đó là hình thoi.
• Gọi tứ giác trong Hình 3.51b, là tứ giác ABCD.
Vì ˆB1=ˆD1 mà hai góc này ở vị trí so le trong
nên AB // CD.
Mà AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình
hành.

Mặt khác, ˆD1=ˆD2 hay DB là tia phân giác của ˆADC .
Khi đó, hình bình hành ABCD có DB là tia phân giác
của ˆADC .
Do đó tứ giác ABCD là hình thoi.
Tứ giác trong Hình 3.51c, không phải là hình thoi vì các cạnh
của tứ giác không bằng nhau.
Vậy Hình 3.51a và Hình 3.51b là hình thoi.
2.Hình vuông:
2.1. Khái niệm hình vuông và tính chất của nó
+ Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và
bốn cạnh bằng nhau.
HĐ2: Hãy giải thích tại sao hai đường
chéo của hình vuông bằng nhau
và vuông góc với nhau.

Giải
Vì hình vuông có bốn góc vuông nên hình vuông cũng là hình
chữ nhật nên có hai đường chéo bằng nhau.
Vì hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên hình vuông cũng là
hình thoi nên có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Định lí 3:

Trong một hình vuông, hai đường chéo bằng nhau, vuông
góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và là các
đường phân giác của các góc của hình vuông.
Chú ý: Hình vuông cũng là hình chữ nhật, hình thoi nên nó
có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết hình vuông
Định lí 4:
a,Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
b,Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình
vuông.
c, Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác
của một góc là hình vuông.
Hãy viết giả thiết, kết luận của câu a trong Định lí 4.

Chú ý:
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví dụ 3: Tìm hình vuông trong các hình dưới đây:

Giải
+ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông, mặt
khác hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau nên
ABCD là hình vuông.
+ Tứ giác MNPQ không phải là hình chữ nhật vì hai đường
chéo không bằng nhau nên nó cũng không phải là hình
vuông.

Vận dụng:
Trở lại tình huống mở đầu:
 Lấy một tờ giấy, gấp làm tư tạo ra một góc vuông O, đánh
dấu hai điểm A, B trên hai cạnh góc vuông rồi cắt chéotheo
đoạn thẳng AB (H.3.46a). Sau khi mở tờ giấy ra, ta được một
tứ giác. Tứ giác đó là hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB thì
tứ giác nhận được là hình gì (H.3.46b)?
Hãy giải thích tại sao?
Trong trường hợp hình a, ta
được hình thoi?
Trong trường hợp hình b, ta
được hình vuông ?

Giải
a, Tứ giác nhận được có các cạnh bằng nhau và bằng
đoạn thẳng AB nên nó là hình thoi
b, Nếu OA = OB thì hai đường chéo của hình thoi bằng
nhau nên theo chú ý nó là hình vuông

LUYỆN TẬP
TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
B.
B Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau và bằng
nhau là hình thoi.
C. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác
của một góc là hình thoi.
D. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là
hình thoi.

Câu 2. Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?
A. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
B. Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc
của hình thoi.
C. Hai đường chéo vuông góc với nhau.
D. Hai đường chéo bằng nhau.
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến AM. Gọi
D là trung điểm của AB và MD // AC, M' là điểm đối xứng
với M qua D. Tứ giác AMBM' là hình gì?
A.
A Hình thoi.
B. Hình bình hành.
C. Hình chữ nhật.
D. Hình thang.

Câu 4. Các dấu hiệu nhận biết sau, dấu hiệu nào không
đủ để kết luận một hình vuông?
A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
B. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.
C. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác
của một góc là hình vuông.
D Hình thoi có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
D.

Câu 5. Để chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông, dấu
hiệu nào sau đây là sai?
A. Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
B. Tứ giác ABCD là hình thoi có một góc vuông.
C. Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo vuông góc.
C Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.
D.

Bài 3.29: Tìm hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.
Tứ giác ABCD là
hình bình hành

Tứ giác MNPQ
là hình vuông

Tứ giác EFGH
là hình thoi

Tứ giác RSUT
là hình cái diều

Bài 3.30: Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và
C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng
cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.
a, Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b, Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên
cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?
c,Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình
gì?
d, Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào
trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Giải
a,Tứ giác AEDF là hình bình hành. vì
có AE // DF; AF // DE (giả thiết).
b Hình bình hành AEDF là hình thoi khi
AD là tia phân giác của góc A.
Mà tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác AD đồng
thời là đường trung tuyến
Do đó D là trung điểm của BC.
Ngược lại, nếu D là trung điểm của cạnh BC của tam giác
ABC cân tại A thì hình bình hành AEDF có đường chéo AD
là đường phân giác của góc A nên AEDF là hình thoi.
c, Nếu ΔABC vuông tại A thì AEDF là hình chữ nhật (vì
hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật).
d,Tam giác ABC vuông tại A và D là trung điểm cạnh BC thì
ADEF là hình vuông ( vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

VẬN DỤNG
Bài 3.31: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh
trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.
Giải
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD =
BC.
H là trung điểm của AD nên AH = DH
=  AD ;
F là trung điểm của BC nên BF = CF = 
BC
Do đó AH = DH = BF = CF.

Xét ΔAHE và ΔBFE có:
ˆHAE = ˆFBE = 90°;
AE = BE (do E là trung điểm của AB);
AH = BF (chứng minh trên).
Do đó ΔAHE = ΔBFE (hai cạnh góc vuông)
Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).
Tương tự, ta cũng có:
• ΔBEF = ΔCGF (hai cạnh góc vuông), suy ra EF = GF (hai
cạnh tương ứng).
• ΔCGF = ΔDGH (hai cạnh góc vuông), suy ra GF = GH
(hai cạnh tương ứng).
Từ đó ta có EF = FG = GH = HE
Do đó tứ giác EFHG là hình thoi.

Bài 3.32 : Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh
trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.
Giải
Giả sử có hình thoi ABCD. Gọi
E, F, G, H lần lượt là trung điểm
của AB, BC, CD, DA.
Ta cần chứng minh EFGH là hình chữ nhật.
Thật vậy:
Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Do E, H lần lượt là trung điểm của AB, AD nên AH = DH = AE
= BE.
Tam giác AHE có AH = AE nên là tam giác cân tại A, suy
ra ˆAHE=ˆAEH .
Mà ˆHAE+ˆAHE+ˆAEH=180°

Suy ra ˆAHE =
Tương tự, ta có tam giác DHG cân tại D
nên ˆDHG =
Mặt khác, do ABCD là hình thoi nên AB // CD, suy
ra ˆHAE+ˆHDG=180°
Khi đó ˆAHE+ˆDHG = +
=
=
=
=90°

Mà ˆAHE +ˆDHG +ˆEHG = 180°
Suy ra ˆEHG =180°−(ˆAHE +ˆDHG) =180°− 90° = 90°
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có ˆHEF = ˆEFG =
ˆFGH = 90°.
Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
01

02

03

ghi nhớ kiến
thức trong bài

Hoàn thành bài
tập trong SBT.

Chuẩn bị bài
mới.Luyện tập
chung

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE
BÀI HỌC!