CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

VIDEO 1

KHỞI ĐỘNG

KHỞI ĐỘNG
Nghịch lý Zeno
Achilles (nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả có thể chạy nhanh như
gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là
, cách vị trí xuất phát của rùa một quãng đường có chiều dài là a. Zeno lí luận
rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí trong khoảng thời gian này, rùa đã
di chuyển đến vị trí . Sau đó, Achilles phải đến được vị trí , lúc này rùa đã di chuyển
đến vị trí Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

VIDEO 2

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN.
HÀM SỐ LIÊN TỤC
BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

2

ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU
HẠN CỦA DÃY SỐ

3

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
LÙI VÔ HẠN

4

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

VIDEO 3

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

VIDEO 4

HĐ1
Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số với 
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Trả lời:
a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là
.
Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

𝑢1

−1

𝑢3𝑢5

0

𝑢4 𝑢2

1

HĐ1
Nhận biết dãy số có giới hạn là 0
Cho dãy số với 
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Trả lời:
b) Khoảng cách từ đến 0 là .
Ta có:
Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn
0,01.

VIDEO 5

KHÁI NIỆM

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới
dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số
dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở
đi, kí hiệu hay khi .

VÍ DỤ 1
Xét dãy số với .
Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0.

Giải:

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì có thể nhỏ hơn một số dương
bé tuỳ ý khi đủ lớn.
Chẳng hạn, để tức là , ta cần hay .
Như vậy các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn .

Chú ý
Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như
sau:
 với k là một số nguyên dương.
 nếu
 Nếu với mọi và thì .

LUYỆN TẬP 1
Chứng minh rằng

Giải:
Xét dãy số có
Ta có:
;
Do đó, .

HĐ2
Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn
Cho dãy số với  .
Xét dãy số xác định bởi .
Tính 

Giải:
Ta có:
Do đó

ĐỊNH NGHĨA

Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi
n dần tới dương vô cực nếu , kí hiệu hay
khi .

VÍ DỤ 2
Xét dãy số với Chứng minh rằng.

Giải:
Ta có khi
Do vậy.
Chú ý
 khi và chỉ khi
 Nếu (c là hằng số) thì

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

LUYỆN TẬP 2

Cho

dãy

số

với 

Chứng minh rằng 
Giải:
Ta có:
khi
Do vậy .

 

 .

TRÒ CHƠI
BÀN TRÒN
TRI THỨC

CÁCH THỰC HIỆN
Chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm 4 học sinh.
Các nhóm thảo luận và hoàn thành phiếu học tập (PHT).
Lượt 1:
Mỗi học sinh suy nghĩ cá nhân và ghi ý kiến ra giấy
trong 3 phút.
Lượt 2:
Các thành viên trong nhóm lần lượt trình bày ý kiến của
mình,
cùng trao đổi và thống nhất câu trả lời chung.
Hết thời gian, các nhóm trình bày kết quả, giáo viên
nhận xét và chốt đáp án.

HỘI NHÓM TRI THỨC
THỬ THÁCH
CÁ NHÂN TỎA SÁNG

HỘI NHÓM TRI THỨC
THỬ THÁCH
TINH THẦN ĐỒNG ĐỘI

CÔNG BỐ KẾT QUẢ

VẬN DỤNG 1
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn.
Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng  độ cao
trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc
với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử  là độ
cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ . Chứng
minh rằng dãy số có giới hạn là 0.

VẬN DỤNG 1
Giải:
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn
đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là
Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:
Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u2 xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:
Và cứ tiếp tục như vậy…
Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là
Ta có: , do đó,

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU
HẠN CỦA DÃY SỐ

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

HĐ3
Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số và với 
Tính và so sánh:  và
Trả lời:
 Ta có:
Lại có: khi
Do vậy,

HĐ3
Trả lời:
 Ta có: khi
Do vậy ,
Và khi
Do vậy,
Khi đó,
Vậy

Quy tắc tính giới hạn
a) Nếu và thì


 (nếu )

b) Nếu với mọi n và thì
và

VÍ DỤ 3
Tìm

Giải:
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

LUYỆN TẬP 3
Tìm

Giải:
Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
LÙI VÔ HẠN

HĐ4
Làm quen với việc tính tổng vô hạn
Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành
bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ
góc dưới
bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này
với hình vuông nhỏ góc trên bên phải.
Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn
lần. Gọi

lần lượt là độ dài cạnh của

các hình vuông được tô màu.

HĐ4
Giải:
a) Ta có: là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia
hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó .
Cứ tiếp tục như vậy, ta được:
,….
Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp
số nhân với số hạng đầu và công bội

HĐ4
Giải:
Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

b) Ta có:

KẾT LUẬN
 Cấp số nhân vô hạn có công bội với được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
 Cho cấp số nhân lùi vô hạn với công bội . Khi đó
Vì nên khi . Nên:
- Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn , và kí hiệu là:
Như vậy

VÍ DỤ 4
Tính

Giải:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và
Do đó

u1
S=
=
1 −q

1

2
=
3
1
1− −
2

( )

VÍ DỤ 5
Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số.

Giải:
Ta có

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
nên

LUYỆN TẬP 4
Tính tổng

Giải:
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và
Do đó

VẬN DỤNG 2
(Giải thích nghịch lí Zeno)
Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của
rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2,
từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...
b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường
A1A2, A2A3, ..., A­nAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp
rùa.
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

VẬN DỤNG 2
Giải:
Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .
a)
 Để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian
này, rùa đã chạy được quãng đường .
 Để chạy quãng đường đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này,
rùa đã chạy được quãng đường .
 Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời
gian .

VẬN DỤNG 2
Giải:
b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường tức là thời gian cần
thiết để Achilles đuổi kịp rùa là
(h)
Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có và .
Ta có: (giờ)
c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các
quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là
khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.