CHƯƠNG 4: (sách thầy Lộc)
GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI
Câu 1: Các nhà toán học đã giải quyết vấn đề
cơ sở của giải tích toán học như thế nào?
Trả lời
Ngay từ thế kỉ thứ XVIII các nhà toán học đã bắt đầu báo động sự khủng hoảng về cơ sở của giải tích.
Năm 1754, D’ Alembert đã nhận thấy được rằng phải đạt tới lý thuyết các giới hạn.
Năm 1797, Lagrange đã nổ lực làm cho giải tích chặt chẽ hơn trong tác phẩm “ the1orie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul differential” ( lý thuyết các hàm giải tích có chứa đựng các nguyên lý của phép tính vi phân) của mình.Tư tưởng chủ yếu ở đây là biểu thị một hàm f(x) bằng một chuỗi Taylor. Tuy nhiên ông lại không chú ý đầy đủ đến tính hội tụ và phân kỳ.
 
Weierstrass rất chú tâm đến vấn đề logic của giải tích. Tại thời gian này, có nhiều định nghĩa không rõ ràng về các cơ sở của giải tích, và một số định lý quan trọng không thể được chứng minh một cách chặt chẽ. Trong khi Bernard đã đưa ra một định nghĩa có tính nghiêm ngặc của giới hạn vào đầu năm 1817 (hoặc sớm hơn) nhưng nó vẫn không được cộng đồng toán học chú ý đến trong nhiều năm sau, do vậy đã có rất nhiều định nghĩa mơ hồ về giới hạn và tính liên tục của hàm số.
 
Khi đó f(x) là một hàm liên tục tại số vô tỉ nhưng gián đoạn tại số hữu tỉ.
Từ đó người ta thấy rằng lý thuyết giới hạn, tính liên tục và tính khả vi lại phụ thuôc vào những tính chất khó hiểu của hệ thống số thực. Do đó, Weierstrass ủng hộ và cùng với học trò của mình hoàn thành tột đẹp chương trình “ số học hóa giải tích” trong đó bản thân hệ thống số thực phải làm cho chặt chẽ rồi sau đó tất cả các khái niệm cơ bản sẽ được rút ra từ hệ thống số này. Ngày nay mọi thứ trong giải tích điều có thể rút ra từ tập hợp tiên đề đặc trưng cho hệ thống số thực.
Câu 2: Nêu các sự kiện trong lịch sử toán học liên quan đến tiên đề V( tiên đề song song) của Euclid?
Tiên đề 5: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo nên những góc cùng phía có tổng nhỏ hơn 180o, thì hai đường thẳng này kéo dài sẽ cắt nhau ở phía có hai góc trong có tổng nhỏ hơn 180o.
Trong khi Euclide chủ yếu sử dụng 4 tiên đề đầu tiên trong các chứng minh thì tiên đề 5 không hề được sử dụng trong bất kỳ chứng minh nào.

Điều đó cho thấy ngay rằng các định lý của ông vẫn có giá trị nếu tiên đề 5 bị loại bỏ hoặc thay thế bằng một tiên đề khác phù hợp với 4 tiên đề kia. Ngay cả cách phát biểu của tiên đề 5 cũng thật là lủng củng trong khi 4 tiên đề kia đều ngắn gọn súc tích và rõ ràng thì tiên đề 5 quá dài dòng.

Đối với nhiều người, tiên đề 5 có vẻ như là một định lý phải được chứng minh thay vì một sự thật hiển nhiên.
Tiên đề 5 có một số cách phát biểu tương đương.
Một là tiên đề Playfair

“John Playfair (1748 - 1819), nhà Toán học người Scotland. Cách phát biểu tiên đề của ông trở thành phổ biến và hiện nay được hầu hết sách giáo khoa hình học trên thế giới sử dụng, kể cả Việt Nam. Từ đó tiên đề 5 của Euclide thường được đồng nhất với tên gọi Tiên đề đường thẳng song song.”

Tiên đề Playfair nói rằng qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Cách phát biểu khác tương đương với tiên đề 5 là tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180o. Cách phát biểu này là một hệ quả của tiên đề 5 và là cách phát biểu dễ nhớ nhất.

Nasiraddin biên soạn một dị bản các công trình của Euclide bằng tiếng Ả Rập và một luận đề về các tiên đề của Euclide. Giống như các nhà Toán học cổ điển tiền bối cũng như hai nhà Toán học Ả Rập trước ông, ông cũng nghi ngờ tiên đề 5 của Euclide.

Nasiraddin là học giả đầu tiên nhận thấy tầm quan trọng của một tiên đề khác tương đương với tiên đề 5 của Euclide: tổng các góc trong một tam giác bằng 180 độ. Như những người đi trước, Nasiraddin cố gắng chứng minh tiên đề 5 rắc rối của Euclide chỉ là hệ quả của bốn tiên đề trước nó. Và cũng như những người đi trước, Nasiraddin thất bại.

Đầu thế kỷ 19, Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), một thiên tài người Đức đã có những đóng góp phi thường cho khoa học, là gương mặt tiêu biểu của thế giới Toán học. Gauss đã dành hàng chục năm để ngẫm nghĩ suy tưởng vấn đề tiên đề 5 của Euclide. Gauss viết rất nhiều công trình quan trọng, nhưng lại công bố rất ít về bài toàn thách đố của Euclide, mặc dù ông đã tốn rất nhiều thì giờ và sức lực cho nó – chúng ta chỉ biết tư tưởng của ông về hình học thông qua các thư từ trao đổi mà thôi. Qua những thư từ này ta biết rằng Gauss hiểu rõ việc đảo ngược 5 sẽ dẫn đến những hình học phi-Euclide.

Năm 1820, Janos Bolyai đi đến một kết luận đáng kinh ngạc. Thay vì có thể chứng minh như một hệ quả của phần còn lại của hình học Euclide, tiên đề 5 là cánh cổng dẫn tới một khu vườn kỳ diệu: một Khoa học Tuyệt đối về Không gian, như Bolyai gọi nó, trong đó hình học Euclide chỉ là một trường hợp đặc biệt.

Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793 - 1856) hoàn toàn độc lập với Bolyai, hình học Lobachevsky cũng xuất phát từ việc loại bỏ tiên đề đường song song, tạo nên một cuộc cách mạng đối với hình học.
 
Đầu những năm 1800, khi các công trình của Bolyai, Lobachevsky và Gauss đã được mọi người biếat đến, một số nhà Toán học đã gọi hình học mới phi-Euclide này là astral geometry – hình học của những ngôi sao, mặc dù không rõ tại sao lại có cái tên như thế.

Trong hình học Bolyai-Lobachevsky-Gauss, tổng ba góc trong tam gia không bằng 180 độ. Và một vòng tròn trong hình học này không phải là một vòng tròn thông thường (mang tính Euclide) trong cuộc sống hằng ngày: ở đây, tỉ lệ giữa chu vi của vòng tròn với đường kính của nó không còn là số Pi nữa.
Câu 3: Chứng tỏ rằng toán học trong thế kỉ XIX và XX có khuynh hướng trừu tượng hóa rất cao?
Trong thế kỉ XIX, các ngành khoa học cao cấp cổ điển vẫn tiếp tục phát triển. Sự tiến hóa từ trực giác sang tính chặt chẽ đã có những thành tựu đáng kể, toán học dần dần được giải phóng khỏi những ràng buộc truyền thống và sự khái quát và sự trừu tượng trở thành một trong những khuynh hướng chính của thời đại.
Ba sự kiện nổi bật thế kỉ XIX thể hiện rõ khuynh hướng trừu tượng hóa rất cao là: một trong những lĩnh vực hình học, một trong những lĩnh vực đại số học, và một trong những lĩnh vực giải tích.
-Sự kiện hình học là sự kiện xảy ra đầu tiên trong các sự kiện nêu trên, đó là sự khám phá ra môn hình học phi mâu thuẫn và tự nhất quán với hình học Euclit: Hình học phi Euclit vào năm 1829. ba nhà toán học Lobachevsky, Bolyai, Gauss đã thay tiên đề V của Euclit “ từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể dựng duy nhất một đương thẳng song song với đường thẳng ấy” bởi tiên đề “ Từ một điểm nằm ngoài đường thẳng ta dựng được ít nhất hai đường thẳng song song với đường thẳng ấy”, và như vậy một lĩnh vực hình học mới ra đời. Sự ra đời của hình học phi Euclit có ý nghĩa quan trọng là hình học được giải phóng khỏi quan điểm cổ truyền tồn tại ở thế kỉ trước đó; chỉ có một thứ hình học duy nhất là hình học Euclit.
Như vậy, từ nay con đường thênh thang rộng mở cho hình học là có thể sáng tạo ra hiều hình học khác nhau. Vì có khả năng sáng tạo ra nhiều hình học “nhân tạo” nên hình học không còn nhất thiết phải gắng bó với không gian vật lý của thế giới thực tại. Đối với các nhà toán học, họ không còn lo lắng cho các tiên đề của mình đưa ra có phù hợp với không gian vật lý hay không hoặc đúng sai ra sao mà từ lúc này họ có quyền tự do dưa ra tiên đề của mình miễn là nhất quán với nhau là được.
-Sự kiền thứ hai trong ba sự kiện trên đã xảy ra trong đại số học là sự sáng tạo ra một đại số không giao hoán vào năm 1843. Đầu thế kỉ XIX, Peacook, Morgan là những người đầu tiên chú ý sự tồn tại cấu trúc đại số. Năm 1843, Hamilton thông qua nghiên cứu vật lý, đã phát hiện ra đại số quaternionntrong đó luật giao hoán không còn đúng nữa. Một năm sau, Gausmann đã cho xuất bản đầu tiên cuốn Audehnungslehre nổi tiếng của mình trong đó đã phát triển toàn bộ các lớp cấu trúc đại số có cấu trúc khác nhau với cấu trúc của số học.
Năm 1857, Caylay đã nghĩ ra đại số ma trận và đay cũng là loại đại số không giao hoán. Bằng cách thay thế những tiên đề khác nhau của đại số thông thường bằng những tiên đề nhất quán với những tiên đề còn lại ta có thể có hệ thống đại số khác nhau cần được nghiên cứu. Như vậy, các công trình về các hệ thống đại số khác nhau phản ánh ý thức về sự khái quát hóa trừu tượng hóa cao độ.
-Sự kiện thứ ba là sự kiện toán học sâu sắc của thế kỉ XIX đã xảy ra trong lĩnh vực giải tích toán học là việc số học hóa giải tích. Năm 1821, Cauchy đã đạt một bước tiến khổng lồ khi thực hieenjt hành công gợi ý của D’Alembert bằng cách phát triển lý thuyết giới hạn chấp nhận đươc rồi sau đó định nghĩa sự hội tụ, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định bằng lý thuyết về giới hạn. Năm 1874, Weierstrass đưa ra một ví dụ về hàm liên tục mà không có đạo hàm. Riemann thì đưa ra hàm liên tục tại số vô tỉ nhưng gián đoạn tại số hữu tỉ
. vào cuối thế kỉ XIX, Dedekind, Cantor, Peano thiết lập cơ sỡ cho giải tích trên hệ thống các số tự nhiên đơn giản và cơ bản hơn nhiều so với cơ sỡ hệ thống số thực. Cantor đã xây dựng thành công lý thuyết tập hợp hầu như mọi ngành toán học đều bị ảnh hưởng bởi lý thuyết này. Người ta đã tái xác nhận các thủ tục tiên đề trong toán học và rất nhiều không gian trừu tượng ra đời, các lý thuyết tổng quát về thứ nguyên và độ đo đã được tạo ra và xuất hiện một ngành toán học mới là Topo học.

- Aristotle (348 – 322 TCN) là nhà triết học và nhà bách khoa của cổ Hy Lạp, những công trình của ông bao gồm nhiều lĩnh vực cơ học, vật lý học, toán học, logic học, tâm lý học, sinh vật học, đạo đức học, văn học, kinh tế…Mặc dù Aristotle không có một công trình nào đáng kể về toán học, nhưng các quan điểm của ông về bản chất toán học và sự liên hệ của nó với thế giới vật chất có giá trị cao.
Câu 6: Hãy nêu sự khác nhau giữa Aristotle và
Cantor trong lý luận về khái niệm “vô hạn”.
Trả lời
Aristotle cũng có lý luận vô hạn.
Ông phân biệt hai loại vô hạn:
Vô hạn tìm năng và vô hạn thực tại. Theo ông chỉ có vô hạn tiềm năng tồn tại.
Ví dụ như các số nguyên dương là vô hạn tiềm năng vì ta có thể cộng 1 vào bất kỳ số nào ta cũng được một số mới tiếp theo, nhưng tập hợp tất cả các số nguyên dương (vô hạn thực tại) là không tồn tại.
- Cũng có những lý luận về khái niệm vô hạn, nhưng trong lý luận của Cantor thì có khá nhiều điểm khác với lý luận của Aristotle.
- Cantor (Georg Cantor, 1845-1918) là nhà toán học vĩ đại Đan Mạch, sinh tại Nga và hấu hết cuộc đời làm việt tại trường đại học Đức. Ông đã sử dụng khái niệm “vô hạn hiện thực” lần đầu tiên trong lịch sử. Công nhận vô hạn hiện thực là một vấn đề quan trọng của cơ sở toán học. Giá trị của nó có thể thấy được ở vai trò của lý thuyết tập hợp hiện nay trong toán học.
 
- Nếu A và B hữu hạn thì chúng có cùng một yếu tố. Nếu A và B vô hạn thì ta nói chúng có cùng lục lượng. Ở ví dụ trên, N và N* đều có lực lượng điếm được, tức là có cùng lực lượng với dãy số tự nhiên. Cũng từ đấy, Cantor nêu định ngĩa về tập hợp vô hạn: “Tập hợp vô hạn là tập hợp tương đương với tập hợp con thực sự của nó”. Như vậy, Cantor đã giải quyết được nghịch lí Galilê.
Câu 7: Về cơ sở toán học, giữa Hilbert và Godel đã có vấn đề gì khác nhau?
Ta đã biết rằng, thế kỷ XIX là một thế kỷ phát triển khá rực rỡ của toán học, nhưng đồng thời toán học cũng đã lấm sâu vào một thời kì khủng hoảng về cơ sở.
Trong khi giải tích toán học và nhiều ngành liên quan đạt được nhiều kết quả phong phú và sâu sắc, thì cơ sở của các ngành toán học lại gần như trống rỗng, thậm chí đối với nhiều khái niệm nền móng như thế nào là số thực, là giới hạn, là liên tục,… cũng chưa có được những định nghĩa thỏa đáng.
Vào những năm đó, David Hilbert đã quan tâm đến
việc tìm cơ sở cho toán học.
Để chứng minh tính nhất quán thì có một phương pháp chung là quy dẫn tính nhất quán của một hệ này (S) về tính nhất quán của một hệ khác (S’) bằng cách tìm trong lý thuyết S’ một mô hình cho S. Nhưng con đường quy dẫn rồi cũng cần có điểm dừng.
Dựa trên công trình “Cơ bản” của Euclid, ông đã xây dựng, bổ sung và hoàn chỉnh một hệ tiên đề trọn vẹn cho hình học, và đề xuất việc xây dựng hệ tiên đề cho các lý thuyết toán học.
Vì vậy năm 1990 ở Paris, tại Đại hội toán học lần thứ hai, trong bài phát biểu đề xuất 23 bài toán nổi tiếng cho toán học thế kỷ XX.
Hilbert đã nghiên cứu, và đến năm 1921 đã đề xuất một cách giải trực tiếp bài toán đó mà không viện đến phương pháp quy dẫn nói trên, đề xuất này về sau được gọi là chương trình Hilbert.
Chương trình Hilbert bao gồm: việc hình thức hóa hệ tiên đề số học, biến việc làm toán trong một hệ tiên đề hóa thành một kỷ thuật chuyển đổi đơn thuần các dãy hữu hạn các ký hiệu hình thức hóa theo một quy tắc định trước, và chuyển việc nghiên cứu các hệ toán học hình thức háo vào trong một siêu toán, làm việc với một dãy hữu hạn ký hiệu hình thức hóa.
Để tránh những ý kiến phản bác của trường phái trực giác đối với cơ sở toán học, Hilbert đề nghị phát triển một siêu toán hoàn toàn nằm trong khuôn khổ của “hữu hạn luận”, và trong một siêu toán như vậy, tính nhất quán của số học hình thức hóa S được hiểu là “không thể suy diễn từ hệ thức S hai công thức A và ~A”.
Như vậy, chương trình Hilbert đã mở ra một con đường để chứng minh tính nhất quán của số học hình thức hóa nói riêng và của toán học hình thức nói chung, giải quyết một vấn đề rất cơ bản của toán học. Trong thập niên 1920 cùng với Hilbert nhiều nhà toán học lỗi lạc như: Bernays, John von Neumann,… đã thử thực hiện chương trình Hilbert và có lúc tưởng như đã thành công.
Năm 1931, Godel đã làm vỡ mộng của cả một thế hệ toán học khi công bố hai định lý về tính không đầy đủ của mình, vì theo các định lý đó, số học hình thức hóa, nếu nhất quán thì không đầy đủ và không tự chứng minh được tính nhất quán của mình!
Các định lý Godel đã làm thất bại chương trình Hilbert, đồng thời cũng là một sự thức tỉnh: không thể đi tìm tính chân lý của toán học bên trong cấu trúc hình thức của bản thân toán học hay của khoa học đó, cái đúng của toán học phải tìm ngoài toán học.
Đây là bài học không chỉ đối với các nhà toán học của thế kỉ Godel, mà cùng còn đối với bất kì ai về sau khi học tập và nghiên cứu về cơ sở toán học.
Năm 1940 ông công bố một công trình có ý nghĩa rất quan trọng đối với lý thuyết Cantor về tập hợp, đó là việc chứng minh tính nhất quán của giả thuyết liên tục và của tiên đề chịn với các tiên đề lý thuyết tập hợp, cho lời giải mỹ mãn đối với bài toán số 1 trong số 23 bài toán do Hilbert đề xuất năm 1900. Cùng với thành tựu quan trọng đó, trong những năm còn lại ở Princeton, Godel tiếp tục dành sự quan tâm của mình cho triết học và vật lý và cũng có kết quả sâu sắc.
Sau các định lý nổi tiếng đó, Godel vẫn tiếp tục nghiên cứu về cơ sở toán biệt là trong thời gian làm việc tại Princeton.