KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
• Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng:
ax + by = c

(1)

Trong đó a, b và c là các số đã biết (a  0 hoặc b  0)
• Nếu tại là một khẳng định đúng thì cặp số được gọi là một nghiệm của
phương trình (1).
• Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn đều có vô số nghiệm.

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c
được gọi là một hệ hai phương trình bật nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương
trình đó dưới dạng:
(*)
2. Mỗi cặp số được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó đồng thời là nghiệm của
cả hai phương trình của hệ (*)

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:

Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào
phương trình còn lại của hệ được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ
đã cho.

KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào
đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của phương trình trong hệ để được phương trình
chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ
đã cho.

7

Lời giải:
a)• Thay x = 2; y = 0 vào phương trình (1), ta có:
–2x + 5y = (–2) . 2 + 5 . 0 = (−4) + 0 = −4 ≠ 7
Nên (2; 0) không phải là nghiệm của phương trình (1).
• Thay x = 1; y = –1 vào phương trình (1), ta có:
–2x + 5y = (–2) . 1 + 5 . (–1) = (–2) – 5 = –7 ≠ 7
Nên (1; –1) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = –1; y = 1 vào phương trình (1), ta có:
–2x + 5y = (–2) . (–1) + 5 . 1 = 2 + 5 = 7
Nên (–1; 1) là nghiệm của phương trình (1).
• Thay x = –1; y = 6 vào phương trình (1), ta có:
–2x + 5y = (–2) . (–1) + 5 . 6 = 2 + 30 = 32 ≠ 7
Nên (–1; 6) không phải là nghiệm của phương trình (1).

• Thay x = 4; y = 3 vào phương trình (1), ta có:
–2x + 5y = (–2) . 4 + 5 . 3 = –8 + 15 = 7
Nên (4; 3) là nghiệm của phương trình (1).
• Thay x = –2; y = –5 vào phương trình (1), ta có:
–2x + 5y = (–2) . (–2) + 5 . (–5) = 4 – 25 = –21 ≠ 7
Nên (–2; –5) không phải là nghiệm của phương trình (1).
Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (1) là (–1; 1) và (4; 3).

b)• Thay x = 2; y = 0 vào phương trình (2), ta có:
4x − 3y = 4 . 2 − 3 . 0 = 8 − 0 = 8 ≠ 7
Nên (2; 0) không phải là nghiệm của phương trình (2).
• Thay x = 1; y = −1 vào phương trình (2), ta có:
4x − 3y = 4 . 1 − 3 . (−1) = 4 + 3 = 7
Nên (1; −1) là nghiệm của phương trình (2).

• Thay x = –1; y = 1 vào phương trình (2), ta có:
4x − 3y = 4 . (–1) − 3 . 1 = −4 − 3 = −7 ≠ 7
Nên (−1; 1) không phải là nghiệm của phương trình (2).
• Thay x = −1; y = 6 vào phương trình (2), ta có:
4x − 3y = 4 . (−1) − 3 . 6 = −4 – 18 = –22 ≠ 7
Nên (–1; 6) không phải là nghiệm của phương trình (2).

• Thay x = 4; y = 3 vào phương trình (2), ta có:
4x − 3y = 4 . 4 − 3 . 3 = 16 – 9 = 7
Nên (4; 3) là nghiệm của phương trình (2).
• Thay x = –2; y = –5 vào phương trình (2), ta có:
4x − 3y = 4 . (–2) − 3 . (–5) = –8 + 15 = 7
Nên (–2; –5) là nghiệm của phương trình (2).
Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (2) là (1; −1), (4; 3) và (–2; –5).

c) Ta thấy cặp số (4; 3) là nghiệm chung của phương trình (1) và phương trình
(2).
Do đó, nghiệm của hệ gồm phương trình (1) và phương trình (2) là cặp số (4;
3).

Lời giải:
a¿

{

2 x − y =1 (1 )
x − 2 y =− 1 (2 )

Từ phương trình (1) ta có: y = 2x – 1.

Thế y = 2x – 1 vào phương trình (2), ta được:
x – 2(2x – 1) = –1
x – 4x + 2 = –1
– 3x = – 1 – 2
– 3x = –3
x = 1.

Từ đó y = 2 . 1 – 1 = 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có
nghiệm là (1; 1).

{

b ¿ 0,5 x − 0,5 y =0,5 (1)
1,2 x − 1,2 y =1,2 (2 )

Chia hai vế của phương trình (1) cho 0,5 và chia hai vế của phương trình (2)
cho 1,2 ta được:
Từ phương trình (3) ta có:

y = x – 1      (5)

Thế vào phương trình (4), ta được:
x – (x – 1) = 1
x–x+1=1
0x = 1 – 1
0x = 0   (6)
Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn hệ thức (6).
Với mọi giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi (5).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; x – 1) với x ∈ ℝ tùy ý.

c¿

{

x + 3 y=− 2 (1 )
5 x − 4 y =28 (2 )

Từ phương trình (1) ta có: x = –3y – 2
Thế vào phương trình (2), ta được:
5(–3y – 2) – 4y = 28
–15y – 10 – 4y = 28
–19y = 28 +10
–19y = 38

y = –2.
Từ đó x = (–3) . (–2) – 2 = 4
Vậy hệ phương trình đã cho có
nghiệm là (4; –2).

Lời giải:
a)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và nhân hai vế của phương trình (2) với
5, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta được:
11y = 22
y=2

Thế y = 2 vào phương trình (2), ta có:
3x + 2 . 2 = –5
3x = – 5 – 4
3x = – 9
x = –3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–3; 2).

b)
Chia hai vế của phương trình (2) cho 0,4 ta được:
Cộng từng vế hai phương trình (3) và (4), ta được: 0x + 0y = 13,5.     (5)
Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức (5) nên hệ phương trình đã
cho vô nghiệm.

c¿

{

4 x − 3 y= 6(1)
0,4 x +0,2 y =0,8 (2)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 10, ta được:
Trừ từng vế phương trình (1) và (3), ta được:
– 5y = –2

2
¿
5

2
Thế  y = 5 vào phương trình (1), ta có:  
36
x=
:4
5
9
x=
5
Vậy hệ phương trình đã cho có

( )

9 2
nghiệm là  5 ; 5

29

Lời giải:
Vì số nguyên tử Al và O ở cả hai vế của phương trình phản ứng bằng nhau nên
ta có hệ phương trình 
Từ phương trình (1) ta có:

Thế y = 2 vào phương trình (2) ta được:
2x = 3 . 2
2x = 6
x=3
Vậy các hệ số x, y cần tìm là x = 3; y = 2.

Lời giải:
Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; –2) nên ta có:
 Suy ra

32

Ta được: 
Hay
Cộng từng vế phương trình (1) và (2), ta được:
2a = 8
a=4

Thế a = 4 vào phương trình (1), ta có:
4 – 2b = 1
– 2b = 1 –
4
– 2b = – 33

¿

2
34

CHÚC CÁC CON HỌC TẬP
TỐT
CHĂM NGOAN, HỌC GIỎI
CHÀO TẠM BIỆT
HẸN GẶP LẠI TIẾT SAU