Mặt cầu
A.Mục tiêu:
1. Về kiến thức :
Học sinh nắm được định nghĩa mặt cầu : là tập hợp tất cả những điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng bằng r .Từ đó nắm được các khái niệm tâm ,bán kính ,dây cung ,đường kính ,điểm trong ,điểm ngoài của mặt cầu .
Biết tính diện tích mặt cầu theo công thức s=4*pi*r*r
2.Về kĩ năng :
Biết cách vẽ hình biểu diễn mặt caaufqua phép chiếu vuông góc cùng với các đường kinh tuyến ,vĩ tuyến trên mặt cầu đó .
Biết cách xác đinh giao của mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng .
3.Về tư duy:
Xem mặt cầu là một loại mặt tròn xoay và từ định nghĩa mặt cầu dẫn đến các khái niềm về kinh tuyến ,vĩ tuyến ccuar mặt cầu .nếu cho trước một mặt cầu ,thì mặt cầu đố có thể nhận bất cứ đường kính nào làm trục xoay và khi đó sẽ có một hệ kinh tuyến ,vĩ tuyến của mặt cầu đối với trục quay này.
4.Về thái độ :
Học sinh cần có thái độ cẩn thận, nghiêm túc và chính xác.
B. Phương tiện dạy học :
Sách giáo khoa ,sách giáo viên ,các câu hỏi gợi mở
C.Phương pháp dạy học :
Chủ yếu dung các câu hỏi gợi mở giải quyết vấn đề
D . Tiến trình lên lớp .
Kiểm tra bài cũ :
Nêu khái niệm đường tròn trong mặt phẳng , khái niệm tâm và bán kính của đường tròn , vị trí tương đối của đường tròn với một điểm trong mặt phẳng ?
Trả lời : Đường tròn là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm O cố định cho trước một khoảng không đổi
M là một điểm trên đường tròn khi đó OM gọi là bán kính của đường tròn
.
M
r
O
Cho M là một điểm trong mặt phẳng khi đó giữa M và đường tròn có 3 vị trí tương đối xảy ra :
nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn
Nếu OM=r thì M nằm trên đường tròn
Nếu OM< r thì M nằm trong đường tròn
M2
M1
Bây giờ chúng ta mở rộng khái niệm đường tròn vào không gian chúng ta sẽ được điều gì chúng ta vào bài mới .
Chúng ta quan sát một số hình ảnh sau :
Hình ảnh trái đất
Hình ảnh một hành tinh
Hình ảnh một trái bóng
Tất cả những hình ảnh trên là hình ảnh của một mặt cầu
Mặt cầu
I.Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu :
Mặt cầu :
? Thông qua những hình ảnh đã quan sát một người nêu khái niệm về mặt cầu ?
Định nghĩa : Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r ( r > 0 ) được gọi là mặt cầu tâm O bán kính r
M
O
Kí hiệu : S ( O ; r) hay viết tắt ( S ) .Như vậy ta có S(O;r) = { M / OM =r}
Nếu hai điểm C,D nằm trên mặt cầu S(O;r) thì đoạn thẳng CD được gọi là dây cung của mặt cầu đó .
Dây cung AB đi qua tâm của mặt cầu được gọi là bán kính của mặt cầu .
C
D
B
A
2.Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu .Khối cầu .
Cho mặt cầu tâm O bán kính r và A là điểm bất kì trong không gian
? Giữa điểm A và mặt cầu có mấy vị trí tương đối xảy ra ?
Nếu OA = r thì ta nói điểm A nằm trên mặt cầu S( O ; r)
nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O;r)
Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S( O;r) .
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S (O;r ) cùng với các điểm nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính r .
3. Biểu diễn khối cầu :
? Khi chiếu vuông góc khối cầu lên một mặt phẳng chúng ta được một hình gì ?
Vì vậy khi biểu diễn một khối cầu trên mặt phẳng thì hình biểu diễn của khối cầu là một hình tròn .
Muốn cho hình biểu diễn của mặt cầu trực quan hơn người ta vẽ thêm hình biểu diễn của một số đường tròn nằm trên mặt cầu đó .
4.Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu :
Kinh tuyến
Vĩ tuyến
Ta có thể xem mặt cầu là một mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn xoay quanh trục chứa đường kính của nửa đường tròn đó .Khi đó giao của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của nửa mặt cầu được gọi là kinh tuyến của mặt cầu .giao tuyến (nếu có ) của mặt cầu với mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu đó .Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.
Chúng ta đã được biết khái niệm về đường kinh tuyến và vĩ tuyến của trái đất
?Tương tự như vậy chúng ta nêu khái niệm về đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu ?
Củng cố : Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm cố định A,B cho trước
Lựa chọn các phương án đúng :
Là một đường thẳng vuông góc với đoạn AB
Là một đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB
Là mặt phẳng vuông góc với AB và đi qua trung điểm của AB
b
c
a
II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng .
Cho mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (P) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng ( P ) . Khi đó h=OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) .
? Một người cho biết giữa mặt cầu và mặt phẳng có thể có những vị trí tương đối nào xảy ra ?
Trường hợp 1: h> r
Nếu M là một điểm thuộc (P) thì OM> OH . Từ đó suy ra OM > r . Vậy mọi điểm M trên mặt phẳng đều nằm ngoài mặt cầu . Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung
2. Trường hợp 2: h= r .
Trong trường hợp này H thuộc S(O;r) . Khi đó mọi điểm M thuộc (P) không trùng H thì OM>OH =r nên OM>r .
Như vậy H là điểm chung duy nhất của mặt cầu S (O;r) và mặt phẳng (P) khi đó ta nói mặt cầu và mặt phẳng tiếp xúc nhau tại H . H gọi là tiếp điểm ,(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu .
Vậy chúng ta có điều kiện cần và đủ để mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là gì ?
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính OH tại tiếp điểm H đó .
3.Trường hợp 3 : hTrong trường hợp này mặt phẳng cắt mặt cầu theo
đường tròn tâm H , bán kính r’= r -h
Thật vậy : ta gọi M là một điểm thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu (S) . Xét tam giác vuông OMH ta có MH= r -h
Do đó M thuộc đường tròn tâm H bán kính r’ nằm trong mặt phẳng (P) .
Đặc biệt : khi h= 0 thì tâm của mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) . Ta có giao tuyến của (P) và mặt cầu (S) là đường tròn tâm O bán kính r .Đường tròn này gọi là đường tròn lớn
.O
Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng kính của mặt cầu S(O;r)
r
M
Bài tập củng cố :
a. Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O;r ) và mặt phẳng (P) biết khoảng cách từ tâm O đến (P) bằng r/2
Đáp án :
b. Cho mặt cầu S(O;r) ,hai mặt phẳng (P) và (Q ) có khoảng cách đến tâm O của mặt cầu đã cho lần lượt là a và b ( 0Trả lời :
Mặt phẳng (P) tạo ra đường tròn có bán kính lớn hơn
Hai mặt phẳng tạo ra hai đường tròn có bán kính bằng nhau
Mặt phẳng (Q) tạo ra đường tròn có bán kính lớn hơn
Câu trả lời đúng
Vì O cách đều hai điểm A và B nên O nằm trên mặt phẳng cách đều A và B đó là mặt phẳng trung trực của AB
A
B