KIỂM TRA BÀI CŨ
Câu 1: Nêu công thức tính và các tính chất của
số tổ hợp chập k của n phần tử ( Ckn )?
Trả lời:

Công thức
Tính chất

n!
C 
k!(n-k)!
Cnk Cnn  k
k
n

Cnk11  Cnk 1 Cnk
Câu 2: Tính:

0
2

1
2

(0 k n)

0 k n 
1 k< n 

2
2

C =? C =? C = ?
C30 =? C13 =? C32 = ? C33 = ?

Trả lời:

C02 =1, C12 =2, C 22 =1
C30 =1 , C13 =3 , C32 =3, C33 =1

Với C 1 C 2 C 1 Và C 1 C
22

11

00

22

22

22

0

1

3

3

3

C 3 C 1
2

3

3

Viết công thức khai triển của các biểu thức sau

(a  b) = aC? a 2.ba.b C ba.b  C a .b
2 0

2

2

0

1

2

2

2

2

0

2
2

Ca2 a.bC22aa.b.bC1.2 ba 0 .b 2
= 1.
0

2

2

1

0

2

0

2

2

... a .b  C... a.b  C... a .b
Cb
?a a 
3a...
.Cb a.bb ...
C .ab 
.b3a...
(a  b) = C...
... a
=C
0

2

0

003

3

2 11

3

33

222

2

33

2

2

2

2

0

2

1

3

2 33

3

33

3

33

= 1.a .b  3a .b  3a.b  1.a .b
3
0
2
2
0
3
C a b3
C a2 .b2  ...
... a3 .4b  ...C2 a3 .b  ...
4= C
4
2 .b C
3 a.b C
C
(a  b) ==C...C?...aa...
C
...
a
.
b

...
a
...
...
b
C
C a .b  ...
C a.b  ...b
3

0

2

22

00

33

... a .b  ... a .b  ... a.b  ... a b
...
a

...
a
.
b

...
a
.
b

...
a
.
b

...
b
... a  ... a .b  ... a.b  ...b
1

00

33

(a  b)

n

33 0
00
4

11

1

3

3

n

1

2 3

2

44

n 1

2
n

a b

2

+…+C

4

4

3

n 2

4

333

3

4

3

1 n 1
?
Cn a +Cn a b + C
0

3

2

k
n

a b +…+C b
n k

n

k

n

n

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn

Chú ý:
+Vế phải của công thức (1) có n + 1 hạng tử
+Trong vế phải của công thức (1), tính từ trái sang
ũ củđaều
m
ố
s
ề
v
ì
g
t hạntừ
phải số mũ của a trong các hạng
tửnhgiảm
n
xédần
ccácha và
n
ậ
ử
t
ứ
g
h
ó
t
c
g
i
m
n
ỗ
EHệ shốảciủcaủma cô số mũ của
g và từ
pủa btử vtăng
ế,hạng
đến 0 số mũ của b trong các
0igở vế
tổầnudần
V
à
ố
u
c
c
n
a hai hạngao
tửnđhnigêtuử hởạvế phểảmi gì?
b
đến n nhưng tổng số mũ của
hạng
c đi
c hTạ(1mỗi
ặ
đ
cátrong
(b1t)arocvà
ó
c
nógcb
)
aC
tử luôn bằng n. (Quy ước a0tử
=pủ?habả0Ci=Tủ1)
(1)?
c
+Ở vế phải ,các hệ số của mỗi hạng tử cách
Cácđều
hệhai
số ởhạng
vế phải
củavà(1)
quathì
mỗi
số hạng
lần
tử
đầu
cuối
bằng
nhau
0
1
2
k
n 1
n
lượt là Cn , Cn , Cn ,..., Cn ,..., C nn n  1, Cn n

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn

Chú ý:

 

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn
Chú ý:
+ Số hạng thứ k+1 là

T k  1 = C kn a n  k b k , 0  k  n

(Hay còn gọi đó là số hạng tổng quát của khai triển)

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b 

n

0
n

n

1
n

= C a + C a

n -1

k
n

b + ...+ C a

n -k

k

b + ...+ C

n -1
n

a b

n -1

 C b (1)
n
n

n

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu - tơn
Hệ quả
1. Với a = b = 1 thì (1) ta có

2n Cn 0  Cn1  ...  Cn k  ...  Cn n  1  Cn n
2. Với a = 1, b = - 1 thì (1) ta có

0 Cn  Cn  ...  ( 1) Cn  ...  ( 1) Cn  ( 1) Cn
0

1

k

k

n 1

n 1

n

n

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

Ví dụ. Cho biểu thức

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

 x  1

5

a. Viết khai triển biểu thức trên theo công thức nhị thức Niu - tơn
b. Số hạng chứa x2 là số hạng thứ mấy?
Giải
a. Theo công thức (1), ta có a = x, b = - 1, n = 5

x - 15 =
5

C50 x 5 + C15 x 4 (-1) + C52 x 3 (  1) 2 + C35 x 2 (  1)3 + C 54 x(-1) 4 +C55 ( 1)5

= x5 - 5x4 + 10x3 - 10x2 + 5x - 1
b. Số hạng chứa x2 là số hạng thứ 4

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

+Số hạng thứ k+1 là

k
n

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

n k k

T k 1 = C a b , 0  k  n

VD2: Cho biểu thức khai triển ( x - 1)1000 . Số hạng chứa x99 là số
hạng thứ mấy?
Giải

Áp dụng CT số hạng thứ k+1, với a = x, b = -1, n =1000
Ta có
k 1000  k
k
k
k 1000  k

Tk 1 C1000 x

( 1) ( 1) C1000 x

Số hạng chứa x99 thì 1000 – k = 99  k = 901
Vậy số hạng chứa x99 là số hạng thứ 902

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

+Số hạng thứ k+1 là

k
n

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

n k k

T k 1 = C a b , 0  k  n

VD3: Cho biểu thức ( x + 1)14. Tìm số hạng chính giữa của biểu
thức khai triển?
Giải
Số hạng chính giữa của biểu thức khai triển là số hạng thứ 8
Suy ra k = 7
Số hạng đó là

T8 C14 7 x 717 3432 x 7

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN

a + b  = C
n

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

Hệ quả

Cn 0  Cn1  ...  Cn k  ...  Cn n  1  Cn n 2 n
Cn 0  Cn1  ...  ( 1) k Cn k  ...  ( 1) nn11Cnnnn11  ( 1) nn Cnnnn 0
0
1
2
3
4
5
6
VD4: Tổng S C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 bằng?

A. 0

6
2
B.

C. n

D. Kết quả khác

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN
0
n
1
n -1
k
n -k
k
a
+
b
=
C
C
a
+
a
b
+
...+
C
a
b
+ ...+ C
  n
n
n
n

n -1
n

a b n - 1  C nn b n (1)

Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu - tơn
0
1
2
3
4
5
6
VD4: Tổng S C6  C6  C6  C6  C6  C6  C6 bằng?

A. 0
VD5: Tổng
A. 0

2

B.

6

C. n

S C5 0  C51  C5 2  C53  C5 4  C55

2

55

B.

C. n

D. Kết quả khác
bằng?
D. Kết quả khác

Tõ c«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n

a + b  = C
n

n=0
n=1
n=2
n=3
n=4

0
n

a n + C 1n a n - 1 b + . . . + C

; (a+b)0 =
; (a+b)1 =
; (a+b)2 =
; (a+b)3 =
; (a+b)4 =

k
n

a n -k b k + . . . + C

n -1
n

a b n -1  C

1
1a + b1
2
2
a
+
2ab
+
b
2
1
1
a13 + 3a32b + 3ab
3 2 + b13
4 3b + 6a62b2 + 4ab
4 3 + b14
a14 + 4a

n
n

bn

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN:
II.TAM GIÁC PA-XCAN

n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7

Cnk11  Cnk 1 Cnk

1
1
2
2
1a + b1
C

C

C
8
8
9
2
2
a
+
2ab
+
b
1 + 2 + 1
3 2 ++ b13
a13 ++3a32b ++ 3ab
4 3 + b14
a14 + 4a43b + 6a62b2 + 4ab
1? ?5
?
10
?
10
5? ?1
?
?
?6
?
?
6? ?1
1
20
15
15

1

7

21

35

35

21

7

1

56
28 8 1
n=8
1
8 28 56 70
7
7
6
5 2
4 3
3 4
2 5
6
7
7
avào
 7tam
(a +?b)Dựa
a b giác
 21aPa-xcan,
b  35ahãy
b viết
 35khai
a b triển
 21a (ab +b)7a b  b

§3: NHỊ THỨC NIU-TƠN
I. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU –TƠN:
II.TAM GIÁC PA-XCAN

n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8

1
1a + b1
2
2
a
+
2ab
+
b
2 + 1
1
a13 + 3a32b ++ 3ab
3 2 + b13
4 3 + b14
a14 + 4a43b ++ 6a62b2 + 4ab
1 5 + 10
10
5 1
1
6 + 15
20
15
6 1

1
1

7 + 21 35
35
21 7 1
8 28 56 70 56 28 8 1

Dùng tam giác pa-xcan,cmr : a ) 1  2  3  4 C52
b) 1  2  ...  7 C82

Bài tập

1. Điền vào chỗ “…” để được khẳng định đúng.

a

+ b

n

n

0
n

= C

an+ C

1
n

a

n -1

b + ...+ C

k
n

a

n -k

b k + ...+ C

n -1
n

a b

n -1

 C

n
n

b

n

(1)

Trong biểu thức ở vế phải của CT (1):
a) Số các hạng tử là: ………
b) Tính từ trái sang phải, các hạng tử có số mũ của a ….. …….từ n đến 0
số mũ của b ….. …….từ ……đến……
Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng …….
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì ……
0
1
2
n
2. Tổng Sn Cn  Cn  Cn  ...  Cn
A. 0
2B.n

2

có giá trị bằng?
C. n

D. Kết quả khác

3. Tổng Sn Cn 0  Cn1  Cn 2  ...  ( 1)n Cnnn có giá trị bằng?

2B.n

A. 0

C.5 n

D. Kết quả khác

1

x
4. Hệ số của x trong khai triển 
 là:
x

3

A. 1

B. -5

C. 10

D. 0

Bài tập

1. Điền vào chỗ “…” để được khẳng định đúng.

a

+ b

n

n

= C

0
n

an+ C

1
n

a

n -1

b + ...+ C

k
n

a

n -k

b k + ...+ C

n -1
n

a b

n -1

 C

n
n

b

n

(1)

Trong biểu thức ở vế phải của CT (1):
a) Số các hạng tử là: ………
n+1
dần n đến 0
b) Tính từ trái sang phải, các hạng tử có số mũ của a giảm
….. …….từ
dần
n
số mũ của b tăng
….. …….từ
……đến……
0
n
Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng …….
c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng
…… nhau
0
1
2
n
2. Tổng Sn Cn  Cn  Cn  ...  Cn
có giá trị bằng?
A. 0
B.n
C. n
D. Kết quả khác

2

3. Tổng Sn Cn 0  Cn1  Cn 2  ...  ( 1)n Cn n có giá trị bằng?
A. 0
C. n
D. Kết quả khác
2B.n
3. Tổng Sn Cn 0  2Cn1  22 Cn 2  ...  2 n Cnnn có giá trị bằng?
n
3C.
2B.n
A. 0
D. Kết quả khác
5


1

4. Hệ số của x3 trong khai triển  x -  là:
x

A. 1
B. -5
C. 10

D. 0

10
10

 1
 
5. Tìm số hạng không chứa x trong khai
 xtriển
 x
 2
x 
6. Tìm số hạng thứ năm trong khai triển
 x

12

Kết quả
5. Số hạng không chứa xClà
10

5

252
4

 2
4
4 8 1
T5 C12 x    ( 2) C12 x 4 7920 x 4
6. Số hạng thứ 5 là
x
 x
4

8

Xin chân thành cảm ơn các các thầy cô
giáo và các em học sinh.