1. Kiến thức đã học trong chương IV
2. Dạng bài tập 1
3. Quy tắc so sánh nghiệm
4. Bài tập 2 và bài 9
5. So sánh một số với các nghiệm
6. So sánh hai số với các nghiệm
7. Bài tập 8 - đáp số.
8. Bài tập tham khảo 2
9. Bài tập tham khảo 1
10. Định lí đảo và hệ quả
+
Chương IV: Phương trình và bất phương trình bậc hai
1
Phương trình bậc hai
2
Hệ phương trình bậc hai
3
Bất phương trình bậc hai
4
Hệ bất phương trình bậc hai
5
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
6
Phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Định lí đảo...-ứng dụng
So sánh nghiệm...
.
Định lí. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0) và một số thực ?. Nếu af(?) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x1 < ? < x2.
Hệ quả 1. Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ? 0) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) là tồn tại số ? sao cho af(?) < 0.
Hệ quả 2. Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0) và hai số ?, ? sao cho ? < ?. Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng (? ; ?) nghiệm kia nằm ngoài đoạn [? ; ?] là: f(? ).f(?) < 0.
.
Dạng 1: Chứng minh phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ? 0) có nghiệm.
Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ? 0) có 2 nghiệm phân biệt là (một trong các điều kiện sau):
1. ? = b2 - 4ac > 0
2. ? ? ? R : af(?) < 0
3. ? ?, ? ? R, (?Bài tập1: Chứng minh phương trình:
(x - 1)(x - 2) + (x - 2)(x - 3) + (x - 3)(x - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
.
Dạng 2: So sánh số thực ? với các nghiệm của tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0).
Cách giải:
af(?)
(-)
(0)
(+)
x1 < ? < x2
? là một nghiệm
? > 0
? ? [x1 ; x2]
(-)
(+)
x1 < x2 < ?
? < x1 < x2
.
(? = 0 so sánh ? với -b/2a)
Bài tập2: Không giải phương trình, hãy so sánh số -1 và 3 với các nghiệm của phương trình sau:
2x2 - 9x + 6 = 0
.
b). Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1
c). Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 1) còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1 ; 1]
Bài 9 (Sgk trang 129): Cho phương trình:
(m + 1)x2 + 2(m - 2)x + 2m - 12 = 0
Xác định m để:
a). Phương trình có hai nghiệm trái dấu
.
Bài 8 (Sgk trang 129): So sánh số - 3 với các nghiệm của phương trình: (m2 + 1)x2 - 2(m + 2)x - 2 = 0
Đáp số:
f(x) = (m2 + 1)x2 - 2(m + 2)x - 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và: -3 < x1 < x2
> 0, ? m
> 0, ? m
> 0, ? m
> 0, ? m
* a = m2 + 1
* f(-3) = 9m2 + 6m + 19
* ?` = 3m2 + 4m + 6
Bài tập. Tìm m để phương trình: x4 - 5x2 + 3m - 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt ?
.
Bài tập tham khảo: Tìm các giá trị của m để bất phương trình:
3x2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m < 0
thoả mãn với mọi x ? [1 ; 3]
Cách giải:
- Xét tam thức f(x) = 3x2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m.
Để bất phương trình 3x2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m < 0 thoả mãn với mọi x ? [1 ; 3]
? tam thức f(x) = 3x2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m âm với mọi x ? [1 ; 3] .
Gọi ? là biệt số của tam thức.
+ Nếu ? ? 0 thì f(x) ? 0, ?x ? R ? ? ? 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu ? > 0 khi đó f(x) có hai nghiệm x1, x2 và f(x) < 0, ?x ?(x1 ; x2).
Vậy để f(x) < 0, ?x ? [1 ; 3] ? x1 < 1 < 3 < x2
.
Tr. hợp
Vị trí ? so với nghiệm
Điều kiện
1
x1 < ? < x2
af( ?) < 0
2
? = x1 < x2
3
x1 < x2 = ?
4
? < x1 < x2
5
x1 < x2 < ?
So sánh số ? với nghiệm tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0)
.
Tr. hợp
Vị trí ?, ? so với nghiệm
Điều kiện
1
x1 < ? < ? < x2
2
3
4
So sánh 2 số ?, ? (? < ?) với nghiệm tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ? 0)
? < x1 < ? < x2
x1 < ? < x2 < ?
? < x1 < x2 < ?
.