TOÁN ĐẠI SỐ 9
ÔN TẬP KIẾN THỨC
Giải toán bằng cách lập hệ pt
Hệ hai pt bậc nhất hai ẩn
Khái niệm:
Dạng
Phương pháp giải:
Phương pháp thế
Phương pháp cộng đại số
?
Cách giải:
Các dạng:
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết
Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Giải hệ hai phương trình nói trên
Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Các dạng toán lập hệ phương trình thường gặp
Tìm số
Chuyển động
Làm chung, riêng
Phần trăm
Lưu ý quan trọng:
Lưu ý quan trọng:
Lưu ý quan trọng:
Lưu ý quan trọng:
ab = 10a + b
x ngày làm xong công việc
=> 1 ngày làm được (cv)
Đợt I làm được x (sản phẩm)
Đợt II vượt a% tức đợt II làm được:
x + a%.x = (100+a)%.x (sản phẩm)
Các dạng khác
Đưa về cùng đơn vị
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3: Cho các hệ PT sau.
Khẳng định nào đúng nhất ?
Hệ (I) vô nghiệm
B. Hệ (II) có nghiệm duy nhất
C. Hệ (III) có vô số nghiệm
D. Cả A, B, C đều đúng
Bước 1
Bước 2
Bước 3
Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Giải hệ hai phương trình nói trên
Trả lời: Kiểm tra xem giá trị của các ẩn tìm được trong nghiệm của hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không rồi trả lời bài toán.
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PT
BT1: Tuổi của hai anh em cộng lại là 26. Trước đây 4 năm, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em. Tính tuổi mỗi người hiện nay ?
?
Bài toán 1:
Tuổi của hai anh em cộng lại là 26. Trước đây 4 năm, tuổi của anh gấp đôi tuổi của em. Tính tuổi mỗi người hiện nay ?
Bảng phân tích các đại lượng:
x
y
x - 4
y - 4
x + y = 26
x – 4 = 2(y - 4)
bt
x – 4 = 2(y - 4)
Giải:
Gọi số tuổi hiện tại của người anh và người em lần lượt là x (tuổi) và y (tuổi); ĐK:
x + y = 26 (1)
x – 4 = 2(y - 4) (2)
Vì tổng số tuổi hiện tại của hai anh em là 26 tuổi nên ta có phương trình:
Vì trước đây 4 năm thì số tuổi của người anh gấp đôi số tuổi của người em nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Ta có:
Vậy, hiện tại người anh 16 tuổi và người em 10 tuổi.
Bài toán thực tế: Điều 6 Nghị định 171/2013/NĐ-CP quy định về xử phạt vi phạm hành chính trong lĩnh vực giao thông đường bộ như sau:
“ Đối với người điều khiển xe ô tô:
1- Phạt tiền từ 6 trăm ngàn đồng đến 8 trăm ngàn đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định từ 5km/h đến dưới 10 km/h.
2- Phạt tiền từ 2 triệu đồng đến 3 triệu đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định từ 10 km/h đến 20 km/h.
3- Phạt tiền từ 4 triệu đồng đến 6 triệu đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định từ trên 20 km/h đến 35 km/h.
4- Phạt tiền từ 7 triệu đồng đến 8 triệu đồng nếu điều khiển xe chạy quá tốc độ quy định trên 35 km/h; điều khiển xe đi ngược chiều trên đường cao tốc, trừ các xe ưu tiên đang đi làm nhiệm vụ khẩn cấp theo quy định… “

Giải bài toán sau và áp dụng quy định trên:
Đường cao tốc Hà Nội – Hải Phòng dài 105 km. Trên đường này tốc độ tối đa cho phép của xe ô tô là 120km/h. Hai xe ô tô của chú An và chú Bình bắt đầu chạy vào đường cao tốc tại hai phía Hà Nội và Hải Phòng tại cùng một thời điểm. Biết rằng sau 30’ hai xe gặp nhau và xe của chú An chạy chậm hơn xe của chú Bình là 40km/h. Giả sử vận tốc của hai xe không đổi trên đường cao tốc.
Hỏi có xe nào vi phạm về tốc độ hay không? Nếu vi phạm thì mức phạt tiền là bao nhiêu?
Phân tích:
Vì xe của chú An chạy chậm hơn xe chú Bình 40km/h nên:
Vì tổng quãng đường cả hai xe đi bằng quãng đường Hà Nội – Hải Phòng nên:
x
y
Gọi vận tốc xe của chú An là x (km/h) và vận tốc xe của chú Bình là y(km/h) đk: y> x > 0
Kết hợp với (1) ta có hpt:
Vậy xe của chú An chạy với vận tốc 85 km/h ( không vi phạm)
xe của chú Bình chạy với vận tốc 125km/h (vượt quá tốc độ cho phép 5km/h).
Do đó mức xử phạt là: 600.000đ đến 800.000đ
Bài làm
- Vì xe của chú An chạy chậm hơn xe của chú Bình là 40 km/h, nên ta có pt: y – x = 40  – x+ y = 40 (1)
- Vì hai xe xuất phát cùng một lúc, chạy ngược chiều nhau và gặp nhau sau 30’, nên ta có pt:
Xác định m nguyên để hệ phương trình
có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
Bài 3
Phân tích
Cần tìm m nguyên thỏa mãn 3 điều kiện:
1 - Hpt có nghiệm duy nhất
2 - Tìm x, y theo m
3 - x, y tìm được là số nguyên
=>Hpt có nghiệm duy nhất
* Xét hpt:
* Từ (1) => y = 2 – x (3)
Thay (3) vào (2), ta được: 2x – (2 – x) = m – 1
Thay x vào (1), ta được:
=> Hpt có nghiệm duy nhất là:
Vậy: Với m = 2 thì hpt đã cho có nghiệm nguyên duy nhất.
1) Tính chất :
*Với a > 0 , hàm số đồng biến khi .........., nghịch biến khi ........... .
Khi x = 0 thì y = 0 là giá trị .................
2) Đồ thị: Đồ thị của hàm số là một ................ (Parabol), nhận trục ............................và nằm phía bên trên trục hoành nếu ....... , nằm phía bên dưới trục hoành nếu ........
* Với a < 0 , hàm số đồng biến khi .......... , nghịch biến khi ......... . Khi x = 0 thì y = 0 là giá trị .............
x > 0
Nhỏ nhất
x < 0
x < 0
x > 0.
Lớn nhất
đường cong
Oy làm trục đối xứng
a > 0
a < 0
Lí thuyết
II. HÀM SỐ y = ax2 ( a ≠ 0 ).
Bài 1: Cho hàm số y = 0,5x2 . Trong các câu sau câu nào sai ?
Hàm số xác định với mọi giá trị của x, có hệ số a = 0,5
B. Hàm số đồng biến khi x > 0 , nghịch biến khi x < 0
C. Đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng và nằm phía trên trục hoành .
D. Hàm số có giá trị lớn nhất là y = 0 khi x = 0 và không có giá trị nhỏ nhất
Bài tập
Em hãy chọn đáp án đúng
Bài tập 2 : Cho hàm số y = -2x2.
Kết luận nào sau đây là đúng :

A/ Hàm số trờn luụn luụn đồng biến

B/ Hàm số trờn luụn luụn nghịch biến

C/ Hàm số trờn đồng biến khi x > 0
và nghịch biến khi x < 0

D/ Hàm số trờn đồng biến khi x < 0
và nghịch biến khi x > 0
Bài tập 3 : Chọn câu sai trong các câu sau:

A: Hàm số y = -2x2 có đồ thị là 1 parabol quay bề lõm xuống dưới.

B: Hàm số y = -2x2 đồng biến khi x< 0, nghịch biến khi x> 0.

C: Hàm số y = 5x2 đồng biến khi x> 0, nghịch biến khi x< 0.

D: Hàm số y = 5x2 có đồ thị là 1 parabol quay bề lõm lên trên.

E: Đồ thị hàm số y = ax2 là parabol có đỉnh tại O, nhận Ox làm trục đối xứng.
Công thức nghiệm tổng quát : ? = b2 - 4ac
+ N?u ? < 0 thỡ phuong trỡnh.
+ N?u ? = 0 thỡ phuong trỡnh cú .
+ N?u ? > 0 thỡ phuong trỡnh cú.
2. Cụng th?c nghi?m thu g?n : b = 2b` , ?` = (b`)2 - ac
+ N?u ?` < 0 thỡ phuong trỡnh.
+ N?u ?` = 0 thỡ phuong trỡnh cú
+ N?u ?` > 0 thỡ phuong trỡnh cú
3. N?u ac < 0 thỡ phuong trỡnh ax2 + bx + c = 0 cú hai nghi?m..
vô nghiệm
nghiệm kép
hai nghiệm phân biệt
vô nghiệm
phân biệt
nghiệm kép
hai nghiệm phân biệt
III. Phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0 ( m là tham số ) . Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi m nhận giá trị bằng :
A. 1
D. - 2
C. 2
B. - 1
Bài 3: Cho phương trình x2 + 3x - 5 = 0 .
A. Phương trình vô nghiệm
B. Phương trình có nghiệm kép
D. Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
C. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
BÀI TẬP
’= (-1)2 – ( m -1) = 1 – m +1 = 2 – m
Phương trình có nghiệm kép khi ’= 0
<=> 2 – m =0 => m = 2
= 9 – 4m. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi  > 0 <=> 9 – 4m > 0
<=> 4m < 9 => m < 9/4
Hệ thức Vi-ét : Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0), ta có : …. và…
Áp dụng :
+Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)
có nghiệm
+N?u a - b + c = 0 thỡ phuong trỡnh ax2 + bx + c = 0 ( a ? 0)
cú nghi?m.
2. Hai số có tổng bằng S và tích bằng P là nghiệm của phương trình…

x1 + x2 = - b/a
x1x2 = c/a
x1 = 1 và x2 = c/a
x1 = -1 và x2 = - c/a
x2 - Sx + P = 0
( Điều kiện để có hai số : S2 - 4P ? 0 )
IV. HỆ THỨC VI-ÉT
Bài 1: Tập nghiệm của phương trình 2x2 + 5x – 7 = 0 là:
A. {1 ; 3,5}
B. {1 ; -3,5}
C. {-1 ; 3,5}
D. {-1 ; -3,5}
Bài 2: Tập nghiệm của phương trình x2 + 3x + 2 = 0 là:
A. {1 ; 2}
B. {1 ; -2}
C. {-1 ; 2}
D. {-1 ; -2}
Bài 3: Hai số có tổng bằng 12 và tích bằng - 45 là nghiệm của phương trình:
A. x2 - 12x + 45 = 0
C. x2 + 12x + 45 = 0
D. x2 + 12x - 45 = 0
B. x2 - 12x - 45 = 0
Bài tập
c) Tỡm m d? (P): y = x2 v� du?ng th?ng (d`): y = mx - 1 ti?p xỳc nhau.
B�i l�m
Bài 1
Cho hai hàm số y = x2 (P) và y = x+ 2 (d)
a) Vẽ đồ thị hàm số y = x2 (P).
b) Bằng phép tính tìm giao điểm của (d) và (P)
BÀI TẬP TỔNG HỢP
a. Vẽ đồ thị hàm số y=x2 trên một hệ trục toạ độ.
4
1
1
0
Đồ thị hàm số y=x2 là một đường cong Parabol đi qua các điểm A( -2;4) , B(-1;1)
A’(2;4), B’(1;1)
4
b. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = x2 và y = x+ 2 trên là nghiệm của phương trình:
x2 = x+2
 x2 - x - 2 = 0
Ph­ương trình x2 - x - 2 = 0 (a =1, b = - 1, c = - 2)
Ta có a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 0
Vậy ph­ương trình có hai nghiệm:
Vậy tọa độ giao diểm của P và d là B(-1;1) và A’(2;4),
* Hoành độ giao điểm của (P): y = x2 và (d’); y = mx - 1 là nghiệm của ptrình: x2 = mx - 1
c. Tìm m để (P): y = x2 và đường thẳng (d’): y = mx - 1 tiếp xúc nhau
 x2 - mx + 1 = 0
* (P): y = x2 và (d’); y = mx - 2 tiếp xúc nhau
Phương trình x2 - mx + 1 = 0 có nghiệm kép.
Ta có:
Bài 2: Cho phương trình x2 + mx + m -1 = 0 (m là tham số).
a/ Tìm m để phương trình có nghiệm.
b/ Trong trường hợp có nghiệm x1, x2. Tính : x12 + x22 theo m.
a/ Ta có:  = b2 - 4ac = m2 - 4.1.(m -1)
= m2 - 4m + 4 = (m -2)2 ≥ 0 với mọi m.
Vậy pt luôn có nghiệm với mọi m.
Bài làm
Bài 3: Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số).
a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình.
b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2.
1. Tìm m để A = 8.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Giải
Xét pt: x2 - mx + m - 1 = 0 (a = 1; b = - m; c = m – 1)
Ta có:
với mọi m
Vậy: Phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
* Phương trình có nghiệm kép
Khi m = 2 pt có nghiệm kép là:
b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2. Tìm m để A = 8.
Giải
Vì: Phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m nên theo Vi-ét ta có:
Ta có: A = x12 + x22 - 6x1x2 = (x1 + x2 ) 2 - 8x1x2
Hay: A = m2 – 8(m – 1) = m2 – 8m +8
Mà: A = 8 => m2 – 8m + 8 = 8
Vậy: A = 8 <=> m = 0 ; m = 8
Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 (m là tham số).
b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Giải
Ta đã có: A = m2 – 8m +8
= m2 – 2.m.4 +16 – 8
= (m - 4)2 – 8
với mọi m.
Dấu “ = “ xảy ra m – 4 = 0 m = 4
Vậy: A đạt GTNN bằng – 8 m = 4