CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI
TIẾT HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
SEA Games 30 đã đi vào lịch sử của Thể thao Việt Nam. Lần đầu tiên, Việt Nam
cùng được Huy chương Vàng cả bóng đá nam và bóng đá nữ.
Đặc biệt, số bàn thắng trung bình của đội
tuyển bóng đá nam U22 Việt Nam trong
mỗi trận đấu là 3,43.
Số bàn thắng trung bình mỗi trận đấu được
tính như thế nào?

CHƯƠNG VI: MỘT sỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ
VÀ XÁC XUẤT
BÀI 2: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG
TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM

NỘI DUNG BÀI HỌC
01 Số trung bình cộng (số trung bình)
02 Trung vị
03 Tứ phân vị
04 Mốt
05 Tính hợp lí của số liệu thống kê

01
SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
(SỐ TRUNG BÌNH)

1. Định nghĩa
HĐ1: Kết quả đo chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của 5 bạn nam tổ I là:
165

172

172

171

Tính trung bình cộng của 5 số trên.
Giải
Trung bình cộng của 5 số trên là:

170

KẾT LUẬN
Số trung bình cộng của một mẫu n số liệu thống kê bằng tổng của
các số liệu chia cho số các số liệu đó. Số trung bình cộng của mẫu
số liệu x1, x2,…,xn là:
 

Ví dụ 1 (SGK – tr27)
Kết quả 4 lần kiểm tra môn Toán của bạn Hoa là: 7
Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên.
Giải
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

9

8

9

• Nhận xét
* Bảng phân bố tần số:

Ta có thể tính số trung bình cộng theo các công thức sau:
• Số trung bình cộng của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố
tần số là:

* Bảng phân bố tần số tương đối:

• Số trung bình cộng của mẫu số liệu thống kê trong bảng phân bố
tần số tương đối là:
Trong đó f1 = , f2 = ,…, fk = , với n = n1 + n2 + … + nk.

LUYỆN TẬP 1
Quan sát Bảng 1 và giải thích tại sao số bàn thắng trung bình của đội
tuyển bóng đá nam U22 Việt Nam trong mỗi trận đấu là 3,43.
Giải
Số bàn thắng trung bình trong mỗi trận đấu
được tính bằng tổng cộng số bàn thắng của
tất cả các trận đấu rồi chia cho số trận đấu.
Số bàn thắng trung bình trong mỗi trận đấu

6+6 +2+1+ 2+4 +3
¿
=3 , 43
7

2. Ý nghĩa
Khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình
cộng, ta có thể giải quyết được vấn đề trên bằng
cách lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu
số liệu này.

02

TRUNG VỊ

1. Định nghĩa
HĐ 2:
Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 9 học sinh như sau:
1

1

3

6

7

8

8

9

10

Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên và nêu nhận xét.
Giải
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:
Quan sát mẫu số liệu ta thấy nhiều số liệu có sự chênh lệch lớn so với số
trung bình cộng.

1. Định nghĩa
HĐ 2:
Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm gồm 9 học sinh như sau:
1

1

3

6

7

8

8

9

10

Tính số trung bình cộng của mẫu số liệu trên và nêu nhận xét.
Giải
Vì vậy, ta không thể lấy số trung bình cộng làm đại diện cho mẫu số liệu
mà ta phải chọn số đặc trưng khác thích hợp hơn.
Cụ thể, ta chọn số đứng chính giữa mẫu số liệu, tức là số 7 làm đại diện
cho mẫu số liệu đó.

KẾT LUẬN
Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không
giảm (hoặc không tăng).
• Nếu n là số lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ (số đứng chính
giữa) gọi là trung vị.
• Nếu n là số chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu
đứng ở vị trí thứ và + 1 gọi là trung vị.
Trung vị kí hiệu là Me.

Ví dụ 2 (SGK – tr29)
Thời gian (tính theo phút) mà 10 người đợi ở bến xe buýt là:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Giải
Bước 1. Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm:

Ví dụ 2 (SGK – tr29)
Thời gian (tính theo phút) mà 10 người đợi ở bến xe buýt là:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Giải
Bước 2. Xác định xem số các số liệu là số chẵn hay số lẻ để tìm trung vị:
Mẫu số liệu trên có 10 số. Số thứ năm và số thứ sáu lần lượt là 2,5 và 2,8.
Vì vậy (phút).

LUYỆN TẬP 2
Nhiệt độ buổi tối ở Hà Nội ngày 21/11/2021 lúc 20 giờ, 21 giờ, 22 giờ,
23 giờ lần lượt là 26, 25, 23, 23 (đơn vị: °C). 
(Nguồn: https://accuweather.com)
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Giải
• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 23, 23, 25, 26
• Mẫu số liệu có 4 số liệu nên trung vị của mẫu số liệu là:
Me =

• Nhận xét
- Trung vị không nhất thiết là một số trong mẫu số liệu và dễ tính toán.
- Khi các số liệu trong mẫu không có sự chênh lệch lớn thì số
trung bình cộng và trung vị xấp xỉ nhau.

2. Ý nghĩa
Nếu những số liệu trong mẫu có sự chênh lệch lớn thì
ta nên chọn thêm trung vị làm đại diện cho mẫu số liệu
đó nhằm điều chỉnh một số hạn chế khi sử dụng số
trung bình cộng.

03

TỨ PHÂN VỊ

1. Định nghĩa
HĐ 3:
Xét mẫu số liệu được xếp theo thứ tự tăng dần:
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.
Giải
Trung vị của mẫu số liệu trên là Me = 6.

KẾT LUẬN
Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm.
Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị: tứ phân vị thứ
nhất, tứ phân vị thứ hai và tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia
mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau.
• Tứ phân vị thứ hai Q2 bằng trung vị.

• Nếu n là số chẵn thì tứ phân vị thứ nhất Q1 bằng trung vị của nửa
dãy phía dưới và tứ phân vị thứ ba Q3 bằng trung vị của nửa dãy
phía trên.
• Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất Q1 bằng trung vị của nửa dãy
phía dưới (không bao gồm Q2) và tứ phân vị thứ ba Q3 bằng trung
vị của nửa dãy phía trên (không bao gồm Q2).
Minh họa tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm 11 số liệu trên trục số:

Ví dụ 3 (SGK – tr31)
Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:
Biểu diễn tứ phân vị trên trục số.
Giải
Mẫu số liệu trên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần như sau:
Trung vị của mẫu số liệu trên là: .
Trung vị của dãy là: .

Giải
Trung vị của dãy là: .
Vậy .

Tứ phân vị đó được biểu diễn trên trục số như sau:

Minh họa tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm 6 số liệu
trên trục số:

LUYỆN TẬP 3
Giải

Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:
Biểu diễn tứ phân vị trên trục số.

- Biểu diễn tứ phân vị trên trục số:

LUYỆN TẬP 3
Giải

Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu:
Biểu diễn tứ phân vị trên trục số.

- Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm:
11 48 62 81 93 99 127
- Trung vị của mẫu số liệu là: Q2 = 81
- Trung vị của dãy 11, 48, 62 là: Q1 = 48
- Trung vị của dãy 93, 99, 127 là: Q3 = 99

2. Ý nghĩa
Trong thực tiễn, bằng cách lấy thêm trung vị của từng dãy số
liệu tách ra bởi trung vị của mẫu số liệu mà nhiều số liệu
trong mẫu có sự chênh lệch lớn so với trung vị, ta nhận được
tứ phân vị đại diện cho mẫu số liệu đó.

04

MỐT

HĐ 4:

1. Định nghĩa

Bác Tâm khai trương của hàng bán áo sơ mi nam. Số áo cửa hàng đã bán ra trong
tháng đầu tiên được thống kê trong bảng tần số sau:

Cỡ áo nào cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng đầu tiên?
Giải
Cỡ áo mà cửa hàng bác Tâm bán được nhiều nhất trong tháng
đầu tiên là cỡ áo: 40.

KẾT LUẬN
Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng
phân bố tần số và kí hiệu là Mo.

• Chú ý:
Một mẫu số liệu có thể có một hoặc nhiều mốt.

Ví dụ 4 (SGK – tr32)
Mốt trong bảng tần số thống kê số áo bán ra trong tháng đầu tiên của cửa hàng
ở Hoạt động 4 là bao nhiêu?
Giải
Vì tần số lớn nhất là 81 và 81 tương ứng với cỗ áo 40 nên mốt
của bảng trên là 40.

LUYỆN TẬP 4
Kết quả thi thử môn Toán của lớp như sau:

a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
b) Tính tỉ lệ số học sinh lớp đạt điểm từ 8 trở lên. Tỉ lệ đó phản ánh
điều gì?

Giải
a) Ta lập bảng tần số:
Điểm

4

5

6

7

8

9

10

Tần số

5

13

5

5

5

5

2

Từ bảng tần số ta thấy mốt của mẫu số liệu trên là: Mo = 5.
b) Tỉ lệ số học sinh lớp 10A đạt điểm từ 8 trở lên là:
5+5+240 = 0,3 = 30%
Tỉ lệ này cho thấy số học sinh đạt điểm giỏi của lớp 10A là 30%.

2. Ý nghĩa
Mốt của một mẫu số liệu đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại
nhiều nhất tại một vị trí của mẫu số liệu đó. Dựa vào mốt, ta
có thể đưa ra những kết luận (có ích) về đối tượng thống kê.

05
TÍNH HỢP LÍ CỦA
SỐ LIÊỤ THỐNG KÊ

HĐ 5:
Đọc kĩ các nội dung sau:
Sau khi thu thập, tổ chức, phân loại và biểu diễn số liệu bằng bảng hoặc biểu
đồ, ta cần phân tích và xử lí các số liệu đó để xem xét tính hợp lí của số liệu
thống kê, đặc biệt chỉ ra được những số liệu bất thường (hay còn gọi là dị
biệt, trong tiếng Anh là Outliers). Ta có thể sử dụng các số liệu đặc trưng đo
xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm để thực hiện điều đó.

Ví dụ 5 (SGK – tr33)
Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của 40 bạn học sinh lớp 10 của một

45 45 (đơn
45 vị:47ki-lô-gam):
48 44
trường trung30
học 32
phổ thông

44
49 49 52 51 50 50 53 55 54
54 56 57 57 58 58,5 68,5 60 60
60 63,5 63 62 69 58,5 88 85 72

49
54
60
71

a) Xác định trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Từ kết quả câu a), bước đầu xác định những số liệu bất thường
trong mẫu số liệu trên.

Giải

30 32
44 sắp45xếp 45theo 45thứ tự
47 tăng
48 49
a) Mẫu số liệu
trên44được
dần như sau:

•

49 49 50 50 51 52 53 54 54 54
55 56 57 57 58 58,5 58,5 60 60 60
60 62 63 63,5 68,5 69 71 72 85 88
54+55
=54,5
Trung vị của mẫu số liệu trên là:
2

• Trung vị của nửa dãy phía dưới

49+ 49
=49
là:
2

• Trung vị của nửa dãy phía trên

là:

60+60
=60
2

Vậy .
b) Dựa vào trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho, bước đầu ta có thể
thấy những số liệu bất thường trong mẫu số liệu đó là:
Chú ý: Trong thực tiễn, những số liệu bất thường của mẫu số liệu được
xác định bằng những công cụ toán học sâu sắc hơn.

LUYỆN TẬP

Bài 1
Chiều cao (đơn vị: xăng-ti-mét) của các bạn tổ I ở lớp 10A lần lượt là:
165

155

171

167

159

175

165

160

Đối với mẫu số liệu trên, hãy tìm:
a) Số trung bình cộng;

b) Trung vị;

c) Mốt;

d) Tứ phân vị.
Giải

a) Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là:

158

b) Mẫu số liệu theo thứ tự không giảm là:
155, 158, 159, 160, 165, 165, 167, 171, 175
Mẫu số liệu trên có 9 số liệu nên số trung vị là Me = 165.
c) Ta có bảng tần số:
155 158 159 160 165 167 171 175
1

1

1

1

2

1

1

1

Vậy mốt của mẫu số liệu là: Mo = 165
d) Trung vị của dãy số 155, 158, 159, 160 là: Q1 = 158+1592 = 158,5
Trung vị của dãy số 165, 167, 171, 175 là: Q3 = 167+1712 = 169
Vậy Q1 = 158,5; Q2 = 165; Q3 = 169.

Bài 2

Số đôi giày bán ra trong Quý IV năm 2020 của một
cửa hàng được thống kê trong bảng tần số sau:

a) Mốt của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?
b) Cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày nào để bán trong tháng tiếp theo?
Giải
a) Ta thấy tần số lớn nhất là 70 và 70 ứng với cỡ giày 40 nên mốt của mẫu số
liệu là: Mo = 40.
b) Do mốt là 40 nên cửa hàng đó nên nhập về nhiều hơn cỡ giày 40 để bán trong
tháng tiếp theo.

Bài 3
Bảng 2 cho biết nhiệt độ trung bình các tháng trong năm ở Hà Nội.

a) Nhiệt độ trung bình trong năm ở Hà Nội là bao nhiêu?
b) Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị thấp nhất là bao nhiêu
độ C? Cao nhất là bao nhiêu độ C?

Giải
a) Nhiệt độ trung bình trong năm ở Hà Nội là:

b) Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị thấp nhất là: 16,4 (oC)
Nhiệt độ trung bình của tháng có giá trị cao nhất là: 28,9 (oC).

Bài 4

Bảng 3 cho biết tổng diện tích rừng từ năm 2008 đến năm 2019 ở nước ta.

a) Diện tích rừng trung bình của nước ta từ năm 2008 đến năm 2019 là bao nhiêu?
b) Từ năm 2008 đến năm 2019, diện tích rừng của năm có giá trị thấp nhất là
bao nhiêu triệu héc-ta? Cao nhất là bao nhiêu triệu héc-ta?
c) So với năm 2008, tỉ lệ tổng diện tích rừng của nước ta năm 2019 tăng lên được
bao nhiêu phần trăm? Theo em, tỉ lệ tăng đó là cao hay thấp?
d) Hãy tìm hiểu số liệu về tổng diện tích rừng của tỉnh em đang sống trong một số
năm gần đây.

Giải
a) Diện tích rừng trung bình của nước ta từ năm 2008 đến năm 2019 là:

b) Từ năm 2008 đến năm 2019, diện tích rừng của năm có giá trị thấp nhất là:
13,1 (ha).
Từ năm 2008 đến năm 2019, diện tích rừng của năm có giá trị cao nhất:
14,6 (ha).