BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC
GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐÃ ĐẾN VỚI BUỔI HỌC!

KHỞI ĐỘNG
Vào khoảng thời gian giữa mùa hè, ở
phía bắc của vòng Bắc Cực (như một
số vùng phía bắc của Na Uy, Phần
Lan, Nga, ...), Mặt Trời có thể được
nhìn thấy trong suốt 24 giờ của ngày.
Hình học giải thích hiện tượng này
như thế nào?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC.
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
MẶT PHẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Phép chiếu vuông góc

02

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC

HĐ 1

Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.

a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn
như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song hay không?
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát
được bóng của cây cột trên sân hay không?

Giải

a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu của cột
thu về chân cột nên ta không thể quan sát.

KẾT LUẬN
Phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương ∆ vuông góc với
được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng .
Chú ý:
•

Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có đầy đủ các tính chất của
phép chiếu song song.

•

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng còn được gọi là phép chiếu lên mặt
phẳng Hình chiếu vuông góc của hình trên còn được gọi là hình chiếu
của trên

a) Nếu là một điểm không thuộc mặt phẳng và là hình chiếu của
trên thì đường thẳng có quan hệ gì với mặt phẳng ?
b) Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì hình chiếu của
trên là gì?

Trả lời:
a) vuông góc với mặt phẳng
b) Trong trường hợp này, hình chiếu vuông góc của đường thẳng
trên mặt phẳng là một điểm, là giao điểm của và

HĐ 2

Cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc với nhau. Xét
là một đường thẳng nằm trong . Trên , lấy hai điểm tuỳ ý. Gọi
tương ứng là hình chiếu của trên

a) Hình chiếu của

trên mặt phẳng

là

đường thẳng nào?
b) Nếu vuông góc với thì có vuông góc với
hay không?
c) Nếu vuông góc với thì có vuông góc với
hay không?

mặt phẳng (H.7.34).

Giải
a) Hình chiếu vuông góc của trên là
đường thẳng
b)

c)

 Định lí ba đường vuông góc
Cho đường thẳng và mặt phẳng không vuông góc với
nhau. Khi đó, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng và
vuông góc với đường thẳng khi và chỉ khi vuông góc với
hình chiếu vuông góc của trên

Ví dụ 1: Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm A, B, C, D, người ta
dựng các cột thẳng đứng AM, BN, CP, DQ và nối các sợi dây thẳng giữa M
và P, N và Q như Hình 7.35.
a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây MP và NQ
trên sân.
b) Chứng minh rằng nếu BD AC thì BD MP.
c) Chứng minh rằng nếu ABCD là một hình
bình hành thì các trung điểm E, F tương ứng
của các đoạn thẳng MP và NQ có cùng hình
chiếu trên sân.

Giải
a) Do các cột có phương thẳng đứng và sân thuộc mặt phẳng nằm ngang nên các cột
vuông góc với sân. Vậy A, B, C, D tương ứng là hình chiếu của M, N, P, Q trên sân. Do
đó AC, BD tương ứng là hình chiếu của MP, NQ trên sân.
b) Nếu BD AC, mà AC là hình chiếu của MP trên sân và BD thuộc sân nên theo định lí
ba đường vuông góc ta có BD MP.
c) Nếu ABCD là một hình bình hành thì các đoạn thẳng AC, BD có chung trung điểm O.
Do EO là đường trung bình của hình thang ACPM nên EO // MA.
Mặt khác, MA vuông góc với sân nên EO cũng vuông góc với sân.
Vậy O là hình chiếu của E trên sân. Tương tự, O cũng là hình chiếu của F trên sân.
Vậy E và F có cùng hình chiếu trên sân.

Luyện tập 1
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36).
a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.
b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên
mặt phẳng (ABC).
c) Chứng minh rằng nếu AO ⊥ BC  thì SA ⊥ BC.
d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC,
SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC).

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22
hfENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link

Trò Chơi “Đua xe”

Câu 1. Cho hình chóp có vuông góc với mặt
phẳng , tam giác vuông tại và (minh họa hình
vẽ bên). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng

A

B

90

∘

C

45

∘

D

30

∘

60

∘

Câu 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông
cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy, . Tính sin
của góc giữa và mặt phẳng .

A

2√ 2
3

C

3 √ 17
17

B

3 √2
4

D

2 √ 34
17

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22
hfENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link

Giải
a)
+) Giả sử
Ta có (ch – cgv)
+) Giả sử
Ta có (hai cạnh góc vuông)

Vậy hai đường xiên khi và chỉ khi hai hình
chiếu

Giải
b)

VẬN DỤNG

Bài 7.14 (SGK – tr.43)
Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một
đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng
nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn
vận

tốc

trong

5

phút

đầu,

với

các

góc

cất

cánh

lần

lượt

là 100,150.100,150. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ
cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một
điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22
hfENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ THEO DÕI
BÀI HỌC!