Hoạt động 1: Xét hai mệnh đề chứa biến
P(n): "3n < n +100" và Q(n): "2n > n" với
a) Với n= 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
b) Với thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?
1. Phương pháp quy nạp toán học.
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Nhận xét:
Phép thử với một vài trường hợp (n=1,2,3,4,5,..) không phải là chứng minh cho trường hợp tổng quát.
Muốn chứng tỏ một kết luận là sai, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp sai là đủ.
Muốn chứng tỏ một kết luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp.

Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng khi n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ? 1 (GT quy nạp), ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Bước3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên
Đó là phương pháp quy nạp toán học (phương pháp quy nạp).
Lưu ý: Nếu bước 1 sai thì ta kết luận mệnh đề cần cm là sai.
1. Phương pháp quy nạp toán học.
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
2. Ví dụ áp dụng
Giải: * Với n=1, ta có VT=VP = 2. Vâ�y (1) đúng với n=1.
* Giả sử (1) đúng với n=k ? 1, tức là
2 + 4 + 6 +. . . .+ 2k = (2) (GT quy nạp)
Ta phải cmr (1) cũng đúng với n=k+1, tức là
2 + 4 + 6+. . . .+ 2k + 2(k+1) = (3)
Thật vậy, từ (2) ta có
VT(3) = 2+4+6+. . .+ 2k + 2(k+1)
= k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)=VP(3)
Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 1: Cmr với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
2 + 4 + 6 + . . . . . . + 2n = n(n+1) (1)
k(k+1)
(k+1)(k+2)
Giải:
*Với n = 1, ta có VT = 1 = VP. Vậy (4) đúng với n=1.
*Giả sử (4) đúng với n = k ?1, tức là
1 + 2 + 3 +...+ k = (GT qui nạp)
Ta cần cmr (4) cũng đúng với n = k+1, nghĩa là
1+2+3+...+k + (k+1) =

Hoạt động 2: CMR với thì
1+2+3+.+ n = (4)
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có:
1+ 2 + 3 +……+ k =
Vậy hệ thức (4) đúng với mọi
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Ví dụ 2: CMR n7-n chia hết cho 7,
Đặt An = n7-n
Giải:
*Khi n=1 thì A1 = 0 chia hết cho 7.
*Giả sử với n=k ? 1, ta có Ak=k7-k chia hết cho 7 (gtqn)
Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 7.
Thật vậy, ta có
Ak+1 = (k+1)7-(k+1) =k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1-k-1
=k7-k +7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k)
Theo giả thiết qui nạp thì Ak=k7-k chia hết cho 7, do đó
Ak+1 chia hết cho 7.
Vậy n7-n chia hết cho 7,

Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n ? p (p là một số tự nhiên) thì:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kì n = k ? p và phải cmr nó cũng đúng với n = k + 1.
Bước3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n?p.
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Hoạt đô�ng 3: Cho hai số 3n và 8n với
a) So sánh 3n với 8n khi n=1,2,3,4,5.
b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
CMR:
3n > 8n với mọi n ? ?
3
Giải: * Với n = 3, ta co � 27 > 24 (đúng).
Vậy (5) đúng với n=3.
* Giả sử (5) đúng với một số tự nhiên n=k?3, tức là
3k > 8k (gt qui nạp)
Ta cần cm (5) cũng đúng khi n=k+1, tức là
3k+1> 8(k+1)
Thật vậy, từ gt qui nạp, ta có
3k+1 = 3.3k > 3.8k = 24k = 8k+16k > 8k+8 = 8(k+1) (đpcm)
Vậy (5) đúng với mọi số nguyên dương n?3.
Hoạt động 3:
CMR: 3n > 8n (5) với mọi số nguyên dương n ? 3
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Cũng cố:
Phương pháp quy nạp toán học.
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề chứa biến đúng khi n = 1 (n=p).
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ? 1 (k ? p)(GT quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.
Bước3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên (n?p).
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Giải: * Với n = 3, ta co � (6) 23 > 2.3+1 (đúng).
Vậy (6) đúng với n=3.
* Giả sử (6) đúng với n=k?3, tức là
2k > 2k +1 (gt qui nạp)
Ta cần cm (6) cũng đúng khi n=k+1, tức là
2k+1 > 2(k+1) + 1
Thật vậy, từ gt qui nạp, ta có
2k+1 = 2.2k > 2(2k+1) > 2(k+1) + 1
Vậy (6) đúng với mọi n?3.
2(2k+1) = 2(k+1 +k)
= 2(k+1) + 2k
Bài 1. Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Bài tập : Cmr với mọi số nguyên dương n?3, ta luôn có
2n >2n + 1 (6)