DẠY TỐT – HỌC TỐT
Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
I: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
II: VÍ DỤ
DẠY TỐT – HỌC TỐT
I: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
?1 Xét 2 mệnh đề chứa biến P(n) : “ 3n > 3n+1 ” và Q(n) : “ 2n > n ”
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi nN* thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ”
P(1) : “ 3 > 4 ”
S
P(2) : “ 9 > 7 ”
Đ
P(3) : “ 27 > 10 ”
Đ
P(4) : “ 81 > 13 ”
Đ
P(5) : “ 243 > 16 ”
Đ
Q(1) : “ 2 > 1 ”
Đ
Q(2) : “ 4 > 2 ”
Đ
Q(3) : “ 8 > 3 ”
Đ
Q(4) : “ 16 > 4 ”
Đ
Q(5) : “ 32 > 5 ”
Đ
b. Với mọi nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi nN*
DẠY TỐT – HỌC TỐT
I*) Phương pháp quy nạp Toán học:
Bước 1:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2:
Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp).
Bước 3:
Từ giả thuyết quy nạp. Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
? 2: Chứng minh rằng Q(n) : “ 2n > n ” đúng với mọi n N*
Bài giải
Giả sử Q(n) đúng n = k > 1, tức là: 2k > k là đúng, ta cần chứng minh 2k+1 > k +1cũng đúng
Xét n = 1, ta được: 2 > 1 nên Q(1) là đúng
Ta có: 2k > k
 
 
( vì k > 1 nên k + k > k+1 hay 2k > k + 1)
 
Vậy Q(n) : “ 2n > n ” đúng với mọi n N*
Chứng minh rằng với nN* thì :
1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1)
Giải:
1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng.
2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có:
Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)
3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :
Ví dụ 1:
II. Ví dụ áp dụng :
Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2
Thật vậy:
Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2
Vậy: (1) đúng với mọi nN*.
Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.
Giải :
Đặt An = n3 – n (1)
1) Với n = 1, ta có : A1= 0
…
3
2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có:
Ak = (k3 – k)
…
3 (giả thiết quy nạp)
3) Ta chứng minh Ak+1
...
3
Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1
= (k3- k) +3(k2+k)
= Ak+ 3(k2+k)
Ak
…
3 và 3(k2+k)
...
3 nên Ak+1
…
3 .
Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*.
Ví dụ 2:
Ví dụ 2
DẠY TỐT – HỌC TỐT
 
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = p.
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  p (gọi là giả thiết quy nạp).
Bước 3: Từ giả thuyết quy nạp. Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
 
Bài giải
Xét n = 2, ta được: 8 > 7 nên (*) đúng
Giả sử (*) đúng n = k > 2, tức là: 2k+1 > 2k+3 là đúng
Ta cần chứng minh 2k+1+1 > 2(k +1) +3 hay 2k+2 > 2k+5 cũng đúng
Từ: 2k+1 > 2k+3