§2.
§3.
§4.
§1.
§1.
Hoạt động 1:
Với n = 1,2,3,4,5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai
b) nN* thì P(n) , Q (n) đúng hay sai
P(n): “
< n +100 ” và Q(n): “
 n ” với nN*
Xét hai mệnh đề chứa biến:
Trả lời:
P(n): “
< n + 100 ”
n = 1 : 3 < 101 (Đ)
n = 2 : 9 < 102 (Đ)
n = 3 : 27 < 103 (Đ)
n = 4 : 81 < 104 (Đ)
n = 5 : 243 < 105 (S)
b) nN* thì P(n) sai,
vì khi n = 5 thì P(5) sai .
Q(n): “
> n ”
n = 1 : 2 > 1 (Đ)
n = 2 : 4 > 2 (Đ)
n = 3 : 8 > 3 (Đ)
n = 4 : 16 > 4 (Đ)
n = 5 : 32 > 5 (Đ)
b) Q(n) có đúng với nN*
không vẫn chưa kết luận
được, vì ta không thể thử
trực tiếp với mọi n .
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1:
Bước 2:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  1 (gọi là giả thiết quy nạp).
I. Phương pháp quy nạp Toán học:
Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Bước3 :
Chứng minh rằng với nN* thì :
1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n2 (1)
Giải:
1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = 1 .Vậy (1) đúng.
2) Đặt VT = Sn. Giả sử với n = k  1 ta có:
Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)
3) Ta chứng minh :
Ví dụ 1:
II. Ví dụ áp dụng :
Sk+1=1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2
Thật vậy:
Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + 1 = ( k + 1)2
Vậy: (1) đúng với mọi nN*.
1
1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 22
9
= 32
16
= 42
25
= 52
= 12
+ 3
+ 5
+ 7
+ 9
n
+...+
(2n – 1)
= n2
2
.2
1
.1
3
.3
4
.4
5
.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*
Chứng minh rằng với nN* thì n3 – n chia hết cho 3.
Giải :
Đặt An = n3 – n .
1) Với n = 1, ta có : A1= 0
…
3
2) Giả sử với n = k  1, ta có:
Ak = (k3 – k)
…
3 (giả thiết quy nạp)
3) Ta chứng minh Ak+1
...
3
Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1
= (k3- k) +3(k2+k)
= Ak+ 3(k2+k)
Ak
…
3 và 3(k2+k)
...
3 nên Ak+1
…
3 .
Vậy: An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi nN*.
Ví dụ 2:
Hoạt động 2: (Củng cố)
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số
tự nhiên n  p ( p là một số tự nhiên ) thì :
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .
Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  p .
Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1 .
Dặn dò:
1/ Nhớ học bài.
2/ Làm Hoạt động 2/81 và BT 1, 2 trang 82 SGK.
3/ Xem bài : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”.