Trường THPT LÊ QÚY ĐÔN
SỰ BÍ ẨN
CỦA NHỮNG HÒN BI
BÀI TOÁN THỨ NHẤT
1
1 + 3 =
1 + 3 + 5 =
1 + 3 + 5 + 7 =
1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
1
4
= 22
9
= 32
16
= 42
25
= 52
= 12
+ 3
+ 5
+ 7
+ 9
n
+...+
(2n – 1)
= n2
2
.2
1
.1
3
.3
4
.4
5
.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN
§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chương III
DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN
Bước 1 :
Bước 2 :
Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0
Giả thuyết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k  0 (hay n = k  p). Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp quy nạp :
(hay n = p)
(hay n  p, pN*)
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2 (*)
Giải :
1) Khi :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . +
(2 – 1) = 2
2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2 – 1) = 2
n n
n n
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
khi n = k + 1
+ [2(k + 1) – 1]
k2
+ 2k + 2 – 1
= (k + 1)2
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1
.1 1
hay 1 = 1. (*) đúng
k k
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2k – 1)
=
n = k
 1 :
n = 1
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2
1 + 3 + 5 + 7+ . . . + (2n – 1) = n2
Ví dụ 1.
1
k
k2
BÀI TOÁN THỨ HAI
1
1 + 2 =
1 + 2 + 3 =
1 + 2 + 3 + 4 =
1
3
6
10
+ 2
+ 3
+ 4
n
+...+
n
n
.(n + 1)
2
.3
1
.2
3
.4
4
.5
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức :
Giải :
1) Khi :
1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
2) Giả thiết (*) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ
1 + 2 + 3 + 4 + . . . +
Ta sẽ chứng minh (*) đúng :
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k
khi n = k + 1
+ (k + 1)
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n  1
hay 1 = 1. (*) đúng
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k
=
n = k
 1:
n = 1
+ (k + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n
Ví dụ 2.
n n
n
1 1
1
n
n n
k k
k
1
k
2
+ 4
+ 6
+ 8
+ ... +
2n
= n(n + 1)
(n + 1)
n
BÀI TOÁN THỨ BA
Bài tập về nhà :
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 Ta có đẳng thức :
HẾT