Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại
số tương ứng, gọi là phương trình của nó.

Vậy các yếu tố liên quan tới
đường thẳng được thể hiện như
thế nào qua phương trình tương
ứng?

1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng ∆1: x – 2y + 3 = 0
và ∆2 : 3x – y – 1 = 0
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?

a) Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆1 ta được:
1- 2.2 + 3 = 0
Û 0 = 0 ( luôn đúng )
Do đó điểm M thuộc ∆1.

Thay tọa độ điểm M(1; 2) vào phương trình ∆2 ta được:
3.1- 2 - 1 = 0
Û 0 = 0 ( luôn đúng )
Do đó điểm M cũng thuộc ∆2.

1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
và
b) Giải hệ ìïï x - 2 y + 3 = 0

í
ïïî 3x - y - 1 = 0

b) Ta có : ìïï x - 2 y + 3 = 0
í
ïïî 3x - y - 1 = 0

ìïï x - 2 y + 3 = 0 (1)
Û í
ïïî 6 x - 2 y - 2 = 0 (2)

Lấy (2) trừ (1) theo vế ta được : 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1
Thay x = 1 vào (1) ta được: 1 – 2y + 3 = 0
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y) = (1; 2)

⇔y=2

1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng
và
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 với
nghiệm của hệ phương trình trên.

c) Theo câu a, điểm M(1; 2) thuộc cả hai đường thẳng ∆ 1 và ∆2 nên M là
giao điểm của hai đường thẳng này.
Do đó ta thấy tọa độ giao điểm của ∆1 và ∆2 giống với nghiệm của hệ
phương trình ở câu b.

 Nhận xét : Bài toán tìm giao điểm của 2 đường thẳng được quy
về bài toán giải hệ gồm 2 phương trình tương ứng.
Trên mặt phẳng toạ độ, xét 2 đường thẳng
D1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
vàc1 = 0
D1 : a1 x + b1 y +
Khi đó toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ :
ìïï a1 x + b1 y + c1 = 0
í
ïïî a22x +2b2 y + c22 = 0

D : a x +b y + c2 =(*0)

•

cắt tại tương đương hệ (*) có nghiệm duy nhất

•

song song với tương đương hệ (*) vô nghiệm

•

trùng với tương đương hệ (*) có vô số nghiệm

 Chú ý :
Dựa vào các vectơ chỉ phương hoặc các vectơ pháp tuyến ,
của , ta có :
•

•

và song song hoặc trùng nhau
⇔ và cùng phương
⇔ và cùng phương .
và cắt nhau
⇔ và không cùng phương
⇔ và không cùng phương

uur
u2

ur
u1
ur
u11

Δ1

ur
n11

Δ2

Δ1

Δ2

ur
u1

ur
u11

uur
u22

ur
n1

Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mỗi đường thẳng
sau :
D1 : 3x - 6 y +12 = 0
D1 : 3x - 6 y +12 = 0

Ta có :

D2 :

2x - 2 y = 0

D1 : 3 x -

6 y +12 = 0

Vậy và là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng và có 2 vectơ pháp tuyến và cùng phương
Do đó chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm O(0;0)
thuộc nhưng không thuộc nên 2 đường thẳng không trùng nhau.
Vậy và song song nhau.

 Nhận xét : Giả sử hai đường thẳng có 2 vectơ chỉ phương
( hay 2 vectơ pháp tuyến ) cùng phương
Khi đó :
• Nếu và có điểm chung thì trùng với
• Nếu tồn tại điểm thuộc nhưng không thuộc thì song song
với

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a ) D1 : x + 4 y - 3 = 0

b) D1 : x + 2 y -

5 =0

;

D2 : x - 4y - 3 = 0

;

D 2 :2 x + 4 y - 3 5 = 0

a. Xét hệ : ìïï x + 4 y - 3 = 0 (1)

í
ïïî x - 4 y - 3 = 0

(2)

Lấy (1) cộng vế theo vế với (2) ta được: 2x – 6 = 0 ⇔ x = 3
Thay x = 3 vào (1) ta được: 3 + 4y – 3 = 0 ⇔ y = 0
Do đó hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 0).
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tại điểm M(3; 0)

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a ) D1 : x + 4 y - 3 = 0

b) D1 : x + 2 y -

5 =0

;

D2 : x- 4y - 3 = 0

;

D 2 :2 x + 4 y - 3 5 = 0

b) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến là
Ta thấy :

nên 2 vectơ cùng phương.

Do đó hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, ta lại có điểm thuộc đường thẳng ∆ 1 nhưng không thuộc
đường thẳng ∆2 nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 song song với nhau.

2

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành bốn góc
(H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với
nhau?
Δ2

Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc,
trong đó có hai cặp góc đối đỉnh với nhau.
Hai góc đối đỉnh thì có số đo bằng nhau.
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tại A.
Khi đó ta có:
+ ( 2 góc đối đỉnh)
+ ( 2 góc đối đỉnh)

α
β

Hình 7.6

Δ1

 Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của
góc không tù được gọi là số đo góc ( hay đơn giản là góc)
giữa hai đường thẳng
 Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau
được quy ước bằng 00

3

Cho hai đường thẳng cắt nhau ∆1, ∆2 tương ứng có các
vectơ pháp tuyến , . Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng
đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
a) Góc và góc ,
a) cos và ,
Δ2

a) Quan sát Hình 7.7, ta thấy góc giữa hai
đường thẳng ∆1 và ∆2 là góc φ, góc này bằng
hoặc bù với góc giữa hai vectơ và
b) Với trường hợp góc φurvà
uu
r góc , bằng nhau,
cos j = cos(n1 , n2 )
ta có :
- Với trường hợp góc φ và
u
uu
r , bù nhau, ta
u
rr góc
cos
cos(nn11,, n2 )
cosjj == cos(
có :

ur
n1

uu
r
n2

φ

uu
r
n22

φ

ur
n11

Δ1

Hình 7.7

Δ2

Δ1

 Cho hai đường thẳng : D1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
D 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0

Với các vectơ pháp tuyến
và
tương ứng
Khi đó góc giữa hai đường thẳng
ur uu
rđó được xác định thông
qua công thức : D 1 : a1urxuur+ b
n1
+ ca1a =
1 .ny
2
+ b b0
1 2
1 2
cos j = cos(n1 ; n2 ) = ur uu
=
r
2
2
2
2
a
+
b
.
a
+
b
n
.
n
D :a x +b
02
1 c1 =
2
1
2y +

2

 Chú ý :
•

D1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
D 2 : a2 x + b2 y + c2 = 0

2

2

2

ur uu
r

D1 : a1urxuur+ bn11.ny
+ ca11a2=
2
+ b1b0
2

cos j = cos( n1 ; n2 ) = ur uu
r = 2
2
a1 +
a22 +0
b22
1 . n2y +
D : a x +nb
cb1 . =
2

2

2

2

• Nếu có các vectơ chỉ phương thì góc giữa được xác định
qua công thức

2

Tính góc giữa hai đường thẳng

D1 : 3x - y +và
2 =0

 Vectơ pháp tuyến của là

D2 : x -

3y - 2 = 0

ur
n1 = ( 3; - 1)
uu
r
n2 = (1; - 3)

Vectơ pháp tuyến của là
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có :

ur uu
r
n1.n2
3.1- 1.(- 3)
ur uu
r
3
cos j = cos(n1 ; n2 ) = ur uu
=
r =
2
n1 . n2
( 3) 2 + (- 1) 2 . 12 + (- 3) 2

Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là

LUYỆN TẬP

2

Tính góc giữa hai đường thẳng
D1 : x + 3 y + 2và
=0

 Vectơ pháp tuyến của là

D 2 : y = 3 x +1

ur
n1 = (1;3)
uu
r
n2 = (3; - 1)

Vectơ pháp tuyến của là
Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có :

ur uu
r
n1.n2
ur uu
r
1.3 + 3.(- 1)
cos j = cos(n1 ; n2 ) = ur uu
=0
r = 2
1 + 32 . 32 + (- 1) 2
n1 . n2

Do đó , góc giữa hai đường thẳng và là