Cũng giống như với đường thẳng , việc đại số hoá đường tròn
gồm hai bước :
• Thiết lập đối tượng đại số tương ứng với đường tròn, gọi là
phương trình đường tròn
• Chuyển các yếu tố liên quan đến đường tròn từ hình học sang
đại số.

Trong bài học này chúng ta sẽ
nghiên cứu các bước đại số
hoá đường tròn đó.

1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b),
bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường
tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại
số nào?
y

Điểm M thuộc đường tròn (C) khi khoảng cách
từ tâm I của (C) đến M bằng bán kính R của (C).
uuu
r
Ta có : IM = ( x - a; y - b)

M( x; y)

b

I

R

Þ IM = ( x - a) 2 + ( y - b) 2

Ta có :

IM = R Û

2

22

2

2

( x - a ) + ( y - b) = R

Û ( x - a ) + ( y - b) = R

22

O

a

Hình 7.13

Vậy điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và
2
2
22
(
x
a
)
+
(
y
b
)
=
R
chỉ khi

x

 Điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a;b) , bán kính R khi
2

2

2

(1)
và chỉ khi : ( x - a ) + ( y - b) = R
Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C)

Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình :

( x - 2) 2 + ( y + 3) 2 = 16

Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2;-1) và có bán
kính gấp đôi bán kính đường tròn (C)
Ta viết phương trình của (C) ở dạng :

( x - 2) 2 + ( y - (- 3)) 2 = 4 2
Vậy đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và bán kính
Đường tròn (C') có tâm J(2;-1) và bán kính có phương trình

( x - 2) 2 + ( y +1) 2 = 64

Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C):
2

2

( x + 2) + ( y - 4) = 7
Ta viết phương trình của (C) ở dạng :
2

2

( x - (- 2)) + ( y - 4) = ( 7)
Vậy (C) có tâm I(-2;4) và bán kính

2

2

Cho a, b, c là các hằng số. Tìm tập hợp những điểm
M(x;y) thoả mãn phương trình :

x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0

(2)

Phương trình (2) Û ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 + c - a 2 - b 2 = 0

Û ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = a 2 + b 2 - c

Xét I(a;b), khi đó : IM = ( x - a ) 2 + ( y - b) 2

Þ IM 2 = a 2 + b 2 - c (3)
+ Nếu thì tập hợp những điểm M thoả mãn (2) là đường tròn tâm I(a;b),
bán kính
+ Nếu thì . Do đó tập hợp những điểm M thoả mãn (2) chỉ gồm một
điểm là I(a;b)
+ Nếu thì tập hợp những điểm M là tập rỗng.

• Phương trình là phương trình của một đường tròn (C) khi
và
chỉ
khi
Khi đó (C) có tâm I(a;b) và bán kính

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình
của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn
tương ứng
2
2
2
2
b) x + y - 2 x + 4 y + 6 = 0
a) x - y - 2 x + 4 y - 1 = 0

LUYỆN TẬP

2

c) x 2 + y 2 + 6 x - 4 y + 2 = 0
a) x 2 - y 2 - 2 x + 4 y - 1 = 0
Phương trình không có dạng
2

2

x + y - 2ax - 2by + c = 0
Nên a) không phải là phương trình
đường tròn.

b) x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 6 = 0
Û x 2 + y 2 - 2.1.x - 2.(- 2) y + 6 = 0
Ta có : a = 1, b =- 2, c = 6

Þ a 2 + b 2 - c = 12 + (- 2) 2 - 6 =- 1 < 0
Nên b) không phải là phương trình
đường tròn.

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình
của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn
tương ứng
2
2
2
2
b) x + y - 2 x + 4 y + 6 = 0
a) x - y - 2 x + 4 y - 1 = 0

LUYỆN TẬP

2

c) x 2 + y 2 + 6 x - 4 y + 2 = 0
2

2

c) x + y + 6 x - 4 y + 2 = 0
Û x 2 + y 2 - 2.(- 3) x - 2.2 y + 2 = 0
Ta có : a =- 3, b = 2, c = 2

Þ a 2 + b 2 - c = (- 3) 2 + 2 2 - 2 = 11 > 0
Do đó phương trình c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 2)
và bán kính

3

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm
A(2;0) , B(0;4) , C(-7;3)
A

Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có các
trung điểm và
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi
qua M(1;2) và có vectơ pháp tuyến

M

N

Δ1
Δ2

B

C

Vì cùng phương với nên cũng nhận là vectơ pháp tuyến

1( x - 1) - 2( y - 2) = 0 Û x - 2 y + 3 = 0
Vậy có phương trình :
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AC đi qua và có vectơ pháp
tuyến

3

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm
A(2;0) , B(0;4) , C(-7;3)

Vì cùng phương với nên cũng nhận là vectơ
pháp tuyến
Vậy có phương trình :

5
3
3( x + ) - 1( y - ) = 0
2
2
Û 3x - y + 9 = 0

A

M

N

Δ1
Δ2

B

C

Tâm I của đường tròn (C) là giao điểm của và

ìïï x =- 3
Þ I (- 3;0)
Þ í
í
ïïî y = 0
ïïî 3x - y + 9 = 0

Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ : ìï x - 2 y + 3 = 0
ï
Đường tròn có bán kính
Vậy (C) có phương trình là : ( x + 3) 2 + y 2 = 25

LUYỆN TẬP

3

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm
M(4;-5) , N(2;-1) , P(3;-8)
N

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có các
trung điểm và
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi
qua A(𝟑;−𝟑) và có vectơ pháp tuyến

A

B

Δ1
Δ2

M

Vì cùng phương với nên cũng nhận là vectơ pháp tuyến

1( x - 3) - 2( y + 3) = 0
Û x- 2y- 9 =0
Vậy có phương trình :
Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng NP đi qua và có vectơ pháp
tuyến

P

LUYỆN TẬP

3

Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm
M(4;-5) , N(2;-1) , P(3;-8)

Vậy có phương trình :

5
9
1( x - ) - 7( y + ) = 0
2
2
Û x - 7 y - 34 = 0

Tâm I của đường tròn (C) là giao điểm của và
Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ : ìïï x - 2 y - 9 = 0

N

A

B

Δ1
Δ2

M

P

ìïï x =- 1
Þ I (- 1; - 5)
í
Þ í
ïîï x - 7 y - 34 = 0
ïïî y =- 5

Đường tròn có bán kính
Vậy (C) có phương trình là : ( x +1) 2 + ( y + 5) 2 = 25