Nội dung bài học:
Phương trình đường tròn.
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có tâm I(a; b), bán kính R.
a
b
M(x;y)
R
Điểm M(x;y) thuộc (C) khi và chỉ khi nào?
Ta có:
M(x;y) ? (C) ? IM = R
(1)
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
Phương trình (x - a)2 + (y-b)2 = R2 được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn tâm I(a;b), bán kính R.
Ví dụ 1: a)Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; -3) và bán kính R= 2
b) Cho các điểm A(2; -1); B(3;1); C(0; -3). Điểm nào thuộc đường tròn (C).
Bài giải:
a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2;-3); bán kính R= 2 là:
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 4
b) Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; -1) và điểm C(0;-3).
? Đường tròn (C) hoàn toàn xác định khi biết tâm và bán kính.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 1) và B(5;3). Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.
Bài giải: Đường tròn (C) nhận AB làm đường kính nên có tâm I(xI; yI) là trung điểm của AB và bán kính là
Tọa độ tâm I:
=> I(4;2)
Bán kính R:
=> R=
Phương trình đường tròn (C) là: (x-4)2 + (y-2)2 =2
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và có bán kính R là:
x2 + y2 =R2
1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
2. Nhận xét:
? Phương trình đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2 có thể viết dưới dạng x2 + y2 -2ax - 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 - R2 .
Nếu đường tròn (C) có phương trình (x-a)2 + (y-b)2 = R2 thì:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
? x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = R2
? x2 + y2 -2ax -2by + a2 + b2 - R2 = 0
? x2 + y2 - 2ax -2by + c = 0 với c = a2 + b2 -R2
Ngược lại nếu phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) thì ta phải đưa được về dạng: (x -a)2 + (y - b)2 = R2.
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*)
? x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - a2 - b2 + c = 0
? ( x- a)2 + ( y- b)2 = a2 + b2 - c
Để phương trình (*) là phương trình đường tròn thì: a2 + b2 -c > 0.
? Phương trình mà các hệ số của x2 và y2 khác nhau thì nó không phải là phương trình của đường tròn.
Ví dụ1: Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn. Xác định tâm và bán kính:
2x2 + y2 - 8x + 2y -1 = 0; (1)
x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0; (2)
x2 + y2 - 2x - 6y + 20 = 0; (3)
x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0. (4)
Bài giải:
Phương trình (1) không phải là phương trình của đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.
Phương trình (2) có a=-1; b=2; c=-4 thỏa mãn a2 + b2 -c > 0 là phương trình của đường tròn (C) tâm I(-1;2) bán kính R = 3
Phương trình (3) có a=1; b=3; c=20 không thỏa a2 + b2 - c>0 nên không phải là phương trình đường tròn.
Phương trình (4) có a=-3; b= -1; c =10 không thỏa a2+b2 - c>0 nên không là phương trình của đường tròn.
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
?
M0
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b). Gọi ? là tiếp tuyến của (C) tại điểm Mo(xo;yo) nằm trên đường tròn.
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Do đó ? có phương trình là:
(x0 - a)(x - x0 ) + (y0 - b)(y - y0) = 0
(2)
?Phương trình (2) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( x- a)2 + (y - b)2 =R2 tại điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn.
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn :
(C) : (x - 1)2 + (y + 2)2 = 25
đi qua điểm M0(4; 2).
Bài giải:
Ta thấy điểm M0(4; 2) thuộc đường tròn (C) có tâm là I(1; -2). Do đó phương trình tiếp tuyến với (C) tại M0 là:
(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0)= 0.
? (4 - 1)(x - 4) + ( 2 + 2)(y - 2) = 0.
? 3(x - 4) + 4(y - 2) = 0.
? 3x + 4y -20 = 0.
Củng cố bài học:
Phương trình của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:
(x - a)2 + (y - b)2 =R2
? x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với c= a2 + b2 -R2
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) :
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
tại điểm M0(x0; y0) thuộc đường tròn (C) :
(x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 0
Trắc nghiệm:
Bài tập 1: Đường tròn (C) có phương trình :
(x - 3)2 + (y + 4)2 = 9
Đường tròn (C) có tâm là:
a) I(3;4)
b) I(-3;4)
c) I(3;-4)
d) I(-3;-4)
Bài tập 2: Đường tròn (C) có phương trình:
x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0
Đường tròn (C) có tâm là:
a) I(-3;-1)
b) I(3;1)
c) I(-3;1)
d) I(3;-1)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Bài tập về nhà:
Bài tập 1-> 6 ( SGK trang 83 - 84)