CHƯƠNG
I
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

§3. Bất phương trình bậc nhất
hai ẩn.
§4. Hệ bất phương trình bậc
nhất
hai ẩn.
Bài tập cuối chương 2

TOÁN ĐẠI
SỐ
➉
1

2

CHƯƠNG
I
CHƯƠNG
II. BẤT PHƯƠNG
TRÌNH VÀ
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.

4

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN

HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

3 ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

x

1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
• Trong năm nay, một cửa hàng điện • HĐ1: Gọi và lần lượt là số máy điều
lạnh dự định kinh doanh hai loại hòa loại hai chiều và một chiều mà
máy điều hòa: điều hòa hai chiều cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn
và điều hòa một chiều với số vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai
ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ loại máy điều hòa theo và .
đồng.
 
Điều hòa hai chiều
Điều hòa một
Giải: a) Gọi và lần lượt là số máy
chiều
Giá mua vào 20 triệu đồng/1 máy 10 triệu đồng/1 máy điều hòa loại hai chiều và một chiều
mà cửa hàng cần nhập. Khi đó ta
Lợi nhuận dự 3,5 triệu đồng/1 máy 2 triệu đồng/1 máy
kiến
có , .
Do nhu cầu của thị trường không
• Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu quá 100 máy nên và cần thỏa đk.
cầu của thị trường sẽ không vượt
b)
Vì
số
vốn
mà
chủ
cửa
hàng
có
thể
quá 100 máy cả hai loại. Nếu là
đầu
tư
không
vượt
quá
1,2
tỉ
đồng
chủ cửa hàng thì em cần đầu tư
nên
và
phải
thỏa
mãn
điều
kiện
.
kinh doanh mỗi loại bao nhiêu
x

 Hệ bất phương trình bậc nhất hai
ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều
bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
 Cặp số là nghiệm của một hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn
khi đồng thời là nghiệm của tất
cả các bất phương trình trong hệ
đó.

• Ví dụ 1. Cho hệ bất phương trình
a) Hệ trên có phải là một hệ bất
phương trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Kiểm tra xem cặp số có phải là
một nghiệm của hệ bất phương trình
trên không.
Giải:
a) Hệ bất phương trình đã cho là một
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
và .
b) Cặp số thỏa mãn cả ba bất
phương trình của hệ nên nó là một
nghiệm của hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn đã cho.

• Luyện tập 1. Trong tình huống
• Giải
mở đầu, gọi và lần lượt là số máy
Hệ bất phương trình hai ẩn , ở HĐ1
điều hòa loại hai chiều và một
là
chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ
HĐ1, viết hệ bất phương trình hai
ẩn , và chỉ ra một nghiệm của hệ
Cặp số thỏa mãn tất cả các bất
này.
phương trình của hệ trên nên nó là
một nghiệm của hệ bất phương trình
này.

x

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

• HĐ2: Cho đường thẳng trên mặt
phẳng tọa độ . Đường thẳng này
cắt hai trục tọa độ và tại hai
điểm và .
a) Xác định các miền nghiệm , ,
của các bất phương trình tương
ứng ; và .
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có
phải là giao của các miền nghiệm , ,
hay không?

x

c) Lấy một điểm trong tam giác
(chẳng hạn điểm ) hoặc một điểm
trên cạnh nào đó của tam giác
(chẳng hạn điểm ) và kiểm tra xem
tọa độ của các điểm đó có phải là
nghiệm của hệ bất phương trình sau
hay không:

• Giải
a) Miền nghiệm của bất phương
trình là nửa mặt phẳng bờ chứa
điểm .
Miền nghiệm của bất phương trình
là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm .
Miền nghiệm của bất phương trình
là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc tọa
độ .
b) Miền tam giác (H.2.5) là giao
của các miền nghiệm , và .
c) Điểm trong tam giác thỏa mãn
tất cả các bất phương trình của hệ
nên nó là một nghiệm của hệ bất
phương trình này.

Điểm trên cạnh của tam giác thỏa
mãn tất cả các bất phương trình của
hệ nên nó là một nghiệm của hệ bất
phương trình .

• Ví dụ 2. Biểu diễn miền nghiệm của
 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp
hệ bất phương trình sau trên mặt
phẳng
tọa
độ:
các điểm có tọa độ là nghiệm
của hệ bất phương trình bậc
nhất hai ẩn là miền nghiệm của
hệ bất phương trình đó.
 Miền nghiệm của hệ là giao các
miền nghiệm của các bất
phương trình trong hệ.

• Giải (H.2.6)
Bước 1. Xác định miền nghiệm
của bất phương trình và gạch bỏ
miền còn lại.
Vẽ đường thẳng .
Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn
bất phương trình .
Do đó, miền nghiệm của bất
phương trình là nửa mặt phẳng bờ
chứa gốc tọa độ .
Bước 2. Tương tự, miền nghiệm
của bất phương trình là nửa mặt
phẳng bờ chứa gốc tọa độ .

Bước 3. Tương tự, miền nghiệm của
bất phương trình là nửa mặt phẳng
bờ chứa điểm .
Khi đó, miền không bị gạch chính là
giao các miền nghiệm của các bất
phương trình trong hệ. Vậy miền
nghiệm của hệ là miền không bị gạch
trong Hình 2.6.

Cách xác định miền nghiệm của
một hệ bất phương trình bậc nhất
hai ẩn:
 Trên cùng một mặt phẳng tọa
độ, xác định miền nghiệm của
mỗi bất phương trình bậc nhất
hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền
 còn
Miềnlại.không bị gạch là miền
nghiệm của hệ bất phương trình
đã cho.

• Chú ý. Nếu trong HĐ2, hệ được
thay bởi thì miền nghiệm sẽ là miền
tam giác bỏ đi cạnh .

• Luyện tập 2. Biểu diễn miền
nghiệm của hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn sau trên mặt
phẳng tọa độ:
• Giải
Bước 1. Miền nghiệm của bất
phương trình là nửa mặt phẳng bờ
chứa điểm .
Bước 2. Miền nghiệm của bất
phương trình là nửa mặt phẳng bờ
chứa điểm không kể đường thẳng .
Bước 3. Xác định miền nghiệm
của bất phương trình

và gạch bỏ miền còn lại.
• Vẽ đường thẳng .
• Vì nên tọa độ điểm thỏa mãn bất
phương trình .
Do đó, miền nghiệm của bất phương
trình là nửa mặt phẳng bờ chứa gốc
tọa độ .
Bước 4. Tương tự, miền nghiệm của
bất phương trình là nửa mặt phẳng
bờ chứa gốc tọa độ không kể đường
thẳng .

Khi đó, miền không bị gạch chính là
giao các miền nghiệm của các bất
phương trình trong hệ. Vậy miền
nghiệm của hệ là miền không bị
gạch trong hình dưới.

x

3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI
ẨN
• HĐ3: Xét biểu thức với thuộc
• Giải
miền tam giác ở HĐ2. Tọa độ ba
đỉnh là , và (H.2.5).
a) Tính giá trị của biểu thức tại mỗi
đỉnh , và .
b) Nêu nhận xét về dấu của hoành
độ và tung độ của điểm nằm
trong miền tam giác
c) Nêu nhận xét về tổng của điểm
nằm trong miền tam giác . Từ đó
suy ra giá trị lớn nhất của trên
miền tam giác .

x

a) , , .
b) Điểm nằm trong miền tam giác thì
, . Do đó giá trị nhỏ nhất của trên
miền tam giác là .
c) Điểm nằm trong miền tam giác thì
. Do đó giá trị lớn nhất của trên miền
tam giác là .

• Nhận xét. Tổng quát, người ta
chứng minh được rằng giá trị lớn
nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức
, với là tọa độ các điểm thuộc
miền đa giác , tức là các điểm
nằm bên trong hay nằm trên các
cạnh của đa giác, đạt được tại
một trong các đỉnh của đa giác
đó.
• Ví dụ 3. Giải bài toán ở tình
huống mở đầu.
Giải
Giả sử cửa hàng cần nhập số máy
điều hòa hai chiều là và số máy
điều hòa một chiều là . Khi đó ta có
,.

Số tiền để nhập hai loại máy điều
hòa với số lượng như trên là: (triệu
đồng).
Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại
máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có hay .
Từ đó ta thu được hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn sau:
• Lợi nhuận thu được khi bán được
máy điều hòa hai chiều và máy
điều hòa một chiều là .
• Ta cần tìm giá trị lớn nhất của khi
thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Bước 1. Xác định miền nghiệm của
hệ bất phương trình trên. Miền
nghiệm là miền tứ giác với tọa độ
các đỉnh , , và (H.2.7).
Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại
các đỉnh của tứ giác này: , , , .
Bước 3. So sánh các giá trị thu được
của ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất
cần tìm là .
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh
20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy
điều hòa một chiều để lợi nhuận thu
được là lớn nhất.

• Vận dụng. Một cửa hàng có kế
hoạch nhập về hai loại máy tính
và , giá mỗi chiếc lần lượt là 10
triệu đồng và 20 triệu đồng với số
vốn ban đầu không quá 4 tỉ đồng.
Loại máy mang lại lợi nhuận 2,5
triệu đồng cho mỗi máy bán được
và loại máy mang lại lợi nhuận là
4 triệu đồng cho mỗi máy bán
được. Cửa hàng ước tính rằng
tổng nhu cầu hàng tháng sẽ
không vượt quá 250 máy. Giả sử
trong một tháng cửa hàng cần
nhập số máy tính loại

• Giải
a) Giả sử cửa hàng cần nhập số máy
tính loại là và số máy tính loại là .
Khi đó ta có , .
Số tiền để nhập hai loại máy tính
với số lượng như trên là: (triệu đồng).
Số vốn ban đầu không quá 4 tỉ
đồng, nên ta có hay .
Vì tổng nhu cầu hàng tháng không
vượt quá 250 máy nên .
Từ đó ta thu được hệ bất phương
trình bậc nhất hai ẩn sau:

• Miền nghiệm của hệ bất phương
trình trên là miền tứ giác với tọa
độ các đỉnh , , và .

b) Gọi (triệu đồng) là lợi nhuận mà
cửa hàng thu được trong tháng đó khi
bán máy tính loại và máy tính loại .
Khi đó .
c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của khi
thỏa mãn hệ bất phương trình trên.
Tính giá trị của biểu thức tại các
đỉnh của tứ giác : , , , .
So sánh các giá trị thu được của ,
ta được giá trị lớn nhất cần tìm là .
• Vậy cửa hàng mỗi tháng cần nhập
100 máy tính loại và 150 máy tính
loại để lợi nhuận thu được là lớn
nhất.

Bài tập 2.4

Đáp án:
Hệ bất phương trình nào sau đây là a)
hệ bất phương trình bậc nhất hai
d)
ẩn?
a)
c)

b)
d)

Bài tập 2.5

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng
tọa độ:
b)

c)

Bước 1: Vẽ đường thẳng
Vì nên tọa độ điểm
không thỏa mãn bất phương trình
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình
là nửa mặt phẳng bờ không chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng .
Bước 2: Vẽ đường thẳng
Vì nên tọa độ điểm thỏa bất phương trình
Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ chứa điểm không kể bờ .
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):y=0
Vì -1<0 nên tọa độ điểm (0,-1)thỏa bất phương trình y<0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình y<0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm
không kể bờ Ox.
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch

b)
Bước 1: Vẽ đường thẳng ( ):x=0
Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0) thỏa bất phương trình x≥0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0
là nửa mặt phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0).
Bước 2: Vẽ đường thẳng ( ):y=0
Vì 1>0 nên tọa độ điểm (0,1) thỏa bất phương trình y≥0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình y≥0 là
nửa mặt phẳng bờ Ox và đường thẳng y=0 chứa điểm (0;1).
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):2x+y=4
Vì 2.0+0=0<4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x+y≤4
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình 2x+y≤4 là nửa mặt phẳng bờ và
đường thẳng 2x+y=4 chứa gốc tọa độ O.
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

c)
Bước 1: Vẽ đường thẳng ( ):x=0
Vì 1>0 nên tọa độ điểm (1;0)thỏa bất phương trình x≥0
Do đó miền nghiệm của bất phương trình x≥0 là nửa mặt
phẳng bờ Oy và đường thẳng x=0 chứa điểm (1;0).
Bước 2: Vẽ đường thẳng ( ):x+y=5
Vì 0+0=0<5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x+y<5
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x+y<5 là nửa mặt phẳng bờ không chứa
gốc tọa độ O không kể đường thẳng .
Bước 3: Vẽ đường thẳng ( ):x-y=0
Vì -1-0=-1<0 nên tọa độ điểm (-1;0) thỏa mãn bất phương trình x-y<0
Do đó miền nghiệm của của bất phương trình x-y<0 là nửa mặt phẳng bờ chứa
điểm (-1;0) không kể đường thẳng .
Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch.

Bài tập 2.6

Một gia đình cần ít nhất 900
đơn vị protein và 400 đơn vị
lipit trong thức ăn mỗi ngày.
Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800
đơn vị protein và 200 đơn vị
lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa
600 đơn vị protein và 400 đơn
vị lipit. Biết rằng gia đình này
chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt
bò và 1,1 kg thịt lợn; giá tiền 1
kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1
kg thịt lợn là 160 nghìn đồng.
Giả sử gia đình đó mua x

a) Viết các bất phương trình
biểu thị các điều kiện của bài
toán thành một hệ bất
phương trình rồi xác định
miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số
tiền phải trả cho x kilôgam
thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại
mà gia đình cần mua để chi

Đáp án:
a) Gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giả sử gia đình này mua x
kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì x và y cần thỏa mãn điều kiện:
0≤x≤1,6 và 0≤y≤1,1.
Gia đình này cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều
kiện tương ứng là
800x+600y≥900 và 200x+400y≥400
Hay 8x+6y≥9 và x+2y≥2
Từ các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán,
ta có hệ bất phương trình sau:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

, ,
(Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD
(kể cả biên).

b) (nghìn đồng)
c) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác
ABCD.
, ta có (nghìn đồng)
, ta có (nghìn đồng)
, ta có (nghìn đồng)
, ta có (nghìn đồng)
• Vậy gia đình đó cần mua kg thịt bò và kg thịt lợn để chi phí là ít nhất.