Bùi thị Biền - Trường THPT Yên thuỷ A, huyện Yên Thuỷ, Hoà Bình
Trang bìa
Trang bìa:
Tiết 42. CẤP SỐ CỘNG NỘI DUNG: * Định nghĩa * Số hạng tổng quát * Tính chất các số hạng của cấp số cộng * Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng. I-Định Nghĩa
hoạt động 1: Hoạt Động 1
I-ĐỊNH NGHĨA. Hoạt động 1. 1. Cho dãy số có 4 số hạng là : -2,1,4,7. (1) Hãy chỉ ra một quy luật của dãy . 2. Cho dãy số 1, 2, 3, 4,...,n,... (2) Hãy tìm quy luật tương tự như dãy (1) và rút ra quy luật chung cho cả hai dãy 1.Định nghĩa: Định nghĩa cấp số cộng
I-ĐỊNH NGHĨA. Định nghĩa Cấp số cộng là: Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai. Ví dụ 1: Định nghĩa cấp số cộng
Ví dụ 1 Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số cộng
latex(2),latex(4),latex(8),latex(16).
-4, -2, 0, 2, 4, 6,8.
5, 5, 5, 5, 5, ..., 5,...
Hoạt động 2: cấp số cộng
I-Định nghĩa. Nếu latex((u_n)) là cấp số cộng với công sai d thì công thức truy hồi là: latex(u_(n+1)=u_n+d) , với latex(n >=1) (1) Đặc biệt khi d=0 cấp số cộng là dãy số không đổi. Ví dụ 2 . Cho cấp số cộng latex((u_n)) gồm 6 số hạng biết latex(u_2=-1, u_3=-3) Hãy viết dạng khai triển của nó. Giải Theo công thức (1) ta có d=latex(u_3-u_2)=-3-(-1)=-2 . latex(u_1=u_2-d)=1. Từ đó ta có latex(u_4=u_3+d=-3+(-2)=-5) latex(u_5=u_4+d=-5+(-2)=-7) latex(u_6=u_5+d=-7+(-2)=-9). Vậy dạng khai triển là: 1, -1, -3, -5, -7, -9. II-Số hạng tổng quát
Hoạt động 3: số hạng tổng quát
Hoạt động 3 Mai và Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện như hình vẽ sau: 1 tầng 2 tầng 3 tầng Hỏi : Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp? Định lí 1: Số hạng tổng quát
I-Định nghĩa. Công thức truy hồi của cấp số cộng (latex(u_n)): latex(u_(n+1)=u_n+d). latex(n>=2) II-SỐ HẠNG TỔNG QUÁT. *Định lí 1.Nếu cấp số cộng latex((u_n))có số hạng đầu là latex(u_1) và công sai d thì số hạng tổng quát latex(u_n) được xác định bởi công thức latex(u_n=u_1+(n-1)d , với (n>=2) . (2) chứng minh. *Cách 1: Chứng minh bằng phương pháp quy quy nạp (SGK). * Cách 2: Áp dụng liên tiếp công thức (1) Ví dụ 2 (a,b): số hạng tổng quát
I_Định nghĩa. latex(u_(n+1)=u_n+d) latex(n>=1). II-Số hạng tổng quát. latex(u_n=u_1+(n-1)d. latex(n>=2) II- SỐ HẠNG TỔNG QUÁT. Ví dụ 2. Cho cấp số cộng latex((u_n)), biết latex(u_1)=-3, d=2. a, Tìm số hạng thứ 16. b, Số 97 là số hạng thứ bao nhiêu? c, Biểu diễn các số hạng latex(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5) trên trục số nhận xét vị trí của mỗi điểm latex(u_2,u_3,u_4) so với hai điểm liền kề. Giải a, Theo công thức (2) ta có latex(u_16)=-3+(16-1).2=27 b, Theo công thức (2) ta có latex(u_n=-3+(n-1).2 Do latex(u_n =97) nên -3+(n-1).2=97latex(harr) n=51. Ví dụ 2 (c): số hạng tổng quát
I_Định nghĩa. latex(u_(n+1)=u_n+d) latex(n>=1) II-Số hạng tổng quát. latex(u_n=u_1+(n-1)d. latex(n>=2). II-SỐ HẠNG TỔNG QUÁT. Ví dụ 2. Cho cấp số cộng latex(u_n), biết latex(u_1)=-3, d=2. c, Biểu diễn các số hạng latex(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5) trên trục số. nhận xét vị trí của mỗi điểm latex(u_2,u_3,u_4) so với hai điểm liền kề. Giải c, Năm số hạng của cấp số cộng là -3, -1, 1, 3,5. được biểu diễn bởi các điểm latex(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5) tương ứng trên trục số như sau: * Nhân xét:Trên trục số điểm latex(u_3) là trung điểm của đoạn latex(u_2u_4) hay latex(u_3=(u_2+u_4)/2). Ta cũng có kết quả tương tự với latex(u_2 và u_4) III-Tính chất các số hạng của cấp số cộng
định lí 2: Tính chất đặc trưng của cấp số cộng
I_Định nghĩa. latex(u_(n+1)=u_n+d) (latex(n>=1)). II-Số hạng tổng quát. latex(u_n=u_1+(n-1)d). (latex(n>=2)) III-TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lí 2 Trong mỗi cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2) với latex(k>=2). Chứng minh .(sgk) Ví dụ 3. Cho cấp số cộng latex((u_n)). Biết latex(u_3=1, u_5=5). Tìm công sai d và latex(u_1). IV-TỔNG nSỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG
Hoạt động 4: Tổng n số hạng đầu
I-Định nghiã latex(u_(n+1)=u_n+d) (latex(n>=1)). (1) II-Số hạng tổng quát latex(u_n=u_1+(n-1)d (latex(n>=2)). (2) III-Tính chất latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2) ( latex(k>=2)). (3) IV-TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG. Hoạt động 4 Cấp số cộng gồm 8 số hạng: -1, 3, 7,11,15,19,23,27. Được viết vào bảng sau: a, Hãy điền các số hạng của cấp số cộng vào dòng thứ hai theo thứ tự ngược lại. Nêu nhận xét về tổng các số hạng ở mỗi cột. b, Tính tổng các số hạng của cấp số cộng. Lời giải HĐ4: Tổng n số hạng đầu
I-Định nghiã latex(u_(n+1)=u_n+d) (latex(n>=1)). (1) II-Số hạng tổng quát latex(u_n=u_1+(n-1)d (latex(n>=2)) . (2) III-Tính chất latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2) (latex(k>=2)) . (3) Giải a, Sau khi viết lại theo yêu cầu, ta có bảng sau: * Nhận xét: Tổng các số hạng ở mỗi cột đều bằng nhau và bằng 26 b, Ta gọi tổng tám số hạng là S Ta có 2S=8.26 latex(harr) S=latex(8.26/2)=104. Định lí 3: Tổng n số hạng đầu
I-Định nghiã latex(u_(n+1)=u_n+d) (latex(n>=1)). (1) II-Số hạng tổng quát latex(u_n=u_1+(n-1)d (latex(n>=2)). (2) III-Tính chất latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2) (latex(k>=2)). (3) Ta công nhận định lí sau: Định lí 3: Cho cấp số cộng latex(u_n). Đặt latex(S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n) khi đó latex(S_n=(n(u_1+u_n))/2) (4). * Chú ý vì latex(u_n=u_1+(n-1)d) nên công thức (4) có thể viết là latex(S_n=n.u_1+(n(n-1))/2d) (4*) Ví dụ 3: Tổng n số hạng đầu
I-Định nghiã latex(u_(n+1)=u_n+d) (latex(n>=1)). (1) II-Số hạng tổng quát latex(u_n=u_1+(n-1)d (latex(n>=2)). (2) III-Tính chất latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2) latex((k>=2)). (3) IV- Tổng n số hạng đầu latex(S_n=(n(u_1+u_n))/2). (4) latex(S_n=n.u_1+(n(n-1))/2).d. (4*) IV-TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG. Ví dụ 3.Cho dãy số latex((u_n)) với latex(u_n)=3n-2 a, Chứng minh dãylatex((u_n))là cấp số cộng. b,Tính tổng 30 số hạng đầu c, Biết latex(S_n=247), tìm n. Giải a, Vì latex(u_n)=3n-2 nên latex(u_1)=1 Với latex(n>=1) Xét hiệu latex(u_(n+1)-u_n =3(n+1)-2-(3n-2)=3, nên latex(u_(n+1)=u_n+3). Vậy latex((u_n)) là cấp số cộng với công sai d=3. b,Vì latex(u_1)=1, d=3, n=30 nên latex(s_30=30.1+((30.29)/2).3=1335. Ví dụ 3(tiếp): Tổng n số hạng đầu
I-Định nghiã latex(u_(n+1)=u_n+d) latex((n>=1)).(1) II-Số hạng tổng quát latex(u_n=u_1+(n-1)d latex((n>=1)). (2) III-Tính chất latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2). (3) IV- Tổng n số hạng đầu latex(S_n=(n(u_1+u_n))/2). (4) latex(S_n=n.u_1+(n(n-1))/2)d. (4*) c, Vì latex(u_1)=1, d=3, latex(s_n=247) nên latex(s_n=n.1+(n(n-1))/2).3=247 latex(harr 3n^2-n-494)=0 Giải phương trình bậc hai trên, với n là số tự nhiên ta tìm được n = 13. CỦNG CỐ BÀI
củng cố: Củng Cố Bài
I -Định nghiã Công thức truy hồi của cấp số cộng latex((u_n))là: latex(u_(n+1) = u_n+d). II -Số hạng tổng quát latex(u_n = u_1+(n-1).d) (latex(n>=2)) III -Tính chất latex(u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2) (latex(k>=2)) Mục 2: củng cố bài
cho cấp số cộng latex((u_n)), với latex(u_n=sqrt3n+2). Công sai d là:
(A). 2
(B). latex(sqrt3)
(C). latex(1/3)
(D). 3

Mục 3: củng cố bài
Cho cấp số cộng latex((u_n)) biết latex(u_1=-1/3), d=3. Số hạng thứ 15 là:
(A). 14
(B). 125
(C). latex(125/3)
(D). latex(134/3)

Mục 4:
Cho cấp số cộng : -2, x, 6, y.Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
(A). x=-6, y=-2.
(B). x=1, y=7.
(C). x=2, y=8.
(D). x=2, y=10