Chương 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ
CHỦ ĐÊ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

II

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

III

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

1

Nhắc lại định nghĩa

1

Định nghĩa

2

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

2

Chú ý

3

Ví dụ

QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
1

Quy tắc

2

Áp dụng

3

Bài tập trắc nghiệm

IV

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CT

V

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ

VI

Bài tập trắc nghiệm

A. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CÙA HÀM SỐ
H1: Cho 2 hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hãy nêu tính đơn điệu của hàm số đã cho trên
1
𝑦
=
toàn tập xác định?
𝑥

H2: Hãy điền dấu của đạo hàm vào dòng thứ hai hàm số
𝐲 =𝒙 𝟐





𝑦=


1
𝑥


H3: Qua hai bài tập trên, em hãy nhận xét về mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính
đồng biến, nghịch biến của hàm số?

A. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CÙA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Nhắc lại định nghĩa:
Cho là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số xác định trên .
đồng biến trên
nghịch biến trên
𝒚

𝒚

𝒚= 𝒇 ( 𝒙)

𝒚= 𝒇 ( 𝒙)

𝑶

𝒂

𝒃

𝒙

Hàm số đồng biến trên

𝑶

𝒂

𝒃

𝒙

Hàm số nghịch biến trên (a;b)

A. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CÙA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Nhắc lại định nghĩa:
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trên
𝒙

 Nếu thì đồng biến trên .

−∞

+∞

+¿

𝒇 '(𝒙 )

𝒇 (𝒙)

𝒙

 Nếu thì nghịch biến trên .

𝒇 '(𝒙 )

𝒇 (𝒙)

Chú ý: Nếu thì là hàm hằng.

−∞

+∞
−

−∞

A. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CÙA HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1

· đồng biến .

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a)
b)

· , nghịch biến .

Lời
giải
a) TXĐ:

b) TXĐ:

𝒚 ' =𝟐> 𝟎 , ∀ 𝒙 ∈ ℝ
BBT

𝒙

−∞

'

𝒇 (𝒙)

𝒇 (𝒙)

−∞

+¿

+∞
+∞

BBT 𝒙

−∞

𝒇 '(𝒙 )

𝒇 (𝒙)

−∞

+¿

1

𝟎

−

+∞

1

−∞

Vậy hàm số đồng biến trên khoảngVậy
.
hàm số đồng biến trên khoảng và
nghịch biến trên khoảng

A. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH
2. ÁpBIẾN
dụng CÙA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HS
1. Quy tắc
B1. Tìm tập xác định.

Ví dụ 2: Xét sự đồng biến, nghịch biến của
hàm số
+ TXĐ:
+ Ta có:
+ Bảng biến thiên

B2.Tính . Tìm các điểm tại đó hoặc (x) không
xác định.

−∞

𝒙
𝒇 '(𝒙 )

B3. Lập bảng biến thiên.
B4. Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.

-1

+∞

+¿

+¿
+∞

𝟏

𝒇 (𝒙)

𝟏

−∞

+ Hàm số đồng biến trên khoảng và .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hàm số có đạo hàm trên Khẳng định nào sau đây là sai?

A .  N ế u  hà m  số  𝑓 ( 𝑥 )  đồ ng  bi ế n   tr ê n  kho ả ng K   th ì  𝑓 ' (𝑥)≥ 0,∀ 𝑥∈ K .
B.
.
.
Câu 2. Cho hàm số có có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã
cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A . ( − ∞; 1) .

B . ( − 1; 3 ) .

C.  ( 1;+ ∞ ) .

D D.   ( 0; 1) .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3. Cho hàm số y= f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-2;0).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0).

D Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
D.

Câu 4 .Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
A.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Cho hàm số y=f(x). Hàm số y=f' (x) có đồ thị như

y

hình bên. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng
A. (-∞;0).

B. (1;2).

C (0;1).
C.

x
O

D. (-∞;12).

Câu 6. Cho hàm số Hàm số nghịch biến trên khoảng
A.
A

y = f '(x)

B.

C.

D.

1

2

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
có đồ thị (C)
Quan sát và chỉ ra:
+) Điểm cao nhất của đồ thị (C) trên khoảng (0; 2).
+) Điểm thấp nhất của đồ thị (C) trên khoảng (2; 4).
Điểm B là điểm cao nhất của đồ thị (C) trên (0; 2), Do
đó
Khi đó, ta nói hàm số đạt cực đại tại x0 = 1.
Điểm C là điểm thấp nhất của đồ thị (C) trên (2; 4), Do
đó
Khi đó, ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 3.

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

I

1

ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể là ,
là ) và điểm .
a) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại
tại .
b) Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu
tại .
đổi dấu từ dương sang âm khi đi
qua hàm số đạt cực đại tại .

đổi dấu từ âm sang dương khi đi
qua hàm số đạt cực tiểu tại .

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Định lí 1.

Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm
trên hoặc trên , với .
a) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực
đại của hàm số .
b) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực
tiểu của hàm số .

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I

KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

II

ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

III

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

QUY TẮC I
1)
2)
3)
4)

Tìm tập xác định.
𝒇 hoặc
' ( 𝒙)
=0
Tính𝒇 ' ( 𝒙 ) . Tìm các điểm tại đó
Lập bảng biến thiên.
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Ví dụ 1

không xác định.

Tìm cực trị của các hàm số sau:

1𝒚 = 𝒙 −𝟑 𝒙+𝟐
𝟑

2

𝟒

𝟐

𝒚 =− 𝒙 + 𝟐 𝒙 +𝟑

𝟐 𝒙 −𝟓
𝒚=
𝒙 −𝟏

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1
Tìm cực trị của các hàm số sau:

𝟏 . 𝒚 =𝒙 −𝟑 𝒙 +𝟐

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:

𝟑

B ả ng   bi ế n   thi ê n

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1
Tìm cực trị của các hàm số sau:

𝟒

𝟐

𝟐 . 𝒚 =− 𝒙 +𝟐 𝒙 +𝟑

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:
Bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại .

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1
Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có:.
Bảng biến thiên

Kết luận: Hàm số không có cực trị.

𝟐 𝒙 −𝟓
𝟑.𝒚 =
𝒙−𝟏

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Định lý
Cho hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với . Khi đó:
2
a) Nếu thì là điểm cực tiểu của hàm số.
b) Nếu thì là điểm cực đại của hàm số.

QUY TẮC II
Bước
Bước
trình.
Bước
Bước

1: Tìm tập xác định của hàm số.
2: Tính . Giải phương trình và kí hiệu là các nghiệm của phương
3: Tính và .
4: Dựa vào dấu của suy ra điểm cực trị của hàm số.

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ.

Ví dụ 1

Dùng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số

Bài giải
Tập xác định là: .
Ta có , .
Mặt khác:
Vậy:
 Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại của hàm số là .
 Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu của hàm số là .

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 2
Câu 1.

Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

AHà m  s ố có  bố n  đ iể m  c ực   trị.

BHà m  s ố đạ t  cự c   tiể u   tạ i  𝒙=𝟐.

CH à m  s ố kh ông  có c ự c  đạ i.

DHà m  số đạ t  cự c   tiể u   tạ i  𝒙=−𝟓.

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 2
là:

A

Cho hàm số có đạo hàm . Số điểm cực trị của hàm số đã cho

B

.

Bài giải
Ta có: .

.

C

.

Tập xác định là: .

Bảng biến thiên

Do đó hàm số có điểm cực trị.

D

.

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 1

A

Giá trị cực đại của hàm số là:

B

.

Bài giải
Ta có .

.

C

.

D

.

Tập xác định là: .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là .

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 2.

y

Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Số
điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A

.

B

.

C

.

D

.

O

Bài giải

Dựa vào đồ thị ta khẳng định hàm số đã cho có điểm cực trị.

x

B. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 5.

Cho hàm số

có đồ thị

vẽ. Hàm số có mấy điểm cực trị?

A

.

B

.

C

.

D

.

như hình

Bài giải
Dựa vào đồ thị của ta thấy:
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm
Vậy hàm số có điểm cực trị.

Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CÂU 3

Biết là giá trị của tham số để hàm số có hai điểm cực trị
sao cho . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

.

B

.

C

.

D

Bài giải
Tập xác định .
Ta có:
Hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
.
Khi đó là 2 nghiệm của . Theo Vi-ét ta có .
Theo bài ra .
Vậy .

.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 7. Cho hàm số .
Hàm số có đồ thị như hình bên.
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A.
A

B.

C.

D.
Giải Ta có .

Hàm số đồng biến

.

'

Ta có: .
⇔ ( 𝒇 ( 𝟐 − 𝒙 ) ) >𝟎
⇔− 𝒇 ' ( 𝟐 − 𝒙 )  > 0
Dựa vào đồ thị của
'
⇔ 𝒇 ( 𝟐− 𝒙 ) <𝟎 ta có

Bài 1. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CÙA HÀM SỐ

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CÂU
6

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để hàm số đồng
biến trên khoảng là

A. .
Bài giải

B. .

C. .

D.
C

Đạo hàm .
Do đó hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

{

𝟐

¿ − 𝒎 + 𝟒>𝟎
⇔
¿ 𝒙 ≠𝒎 , ∀ 𝒙 ∈ ( −𝟏 ;+ ∞ )
.
Chọn C

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CÂU
5

Cho hàm số với là tham số. Gọi là tập hợp tất cả các giá trị
nguyên của để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
Tìm số phần tử của .
A.

B. Vô số

C.

D.

Bài giải

;

Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
Vì nên ,
vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa
mãn.
Chọn
D

D

IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CÂU
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số
7
đồng biến trên khoảng là
A.

B.

C.B

D.

Bài giải
Ta có:

với .
Ta có: ,
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy khi thì hàm số đồng biến trên khoảng .
Chọn