Buổi 2
Tích phân
1) Định nghĩa: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm
số f(x), kí hiệu là .
Ta còn dùng kí hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a).
Vậy:
Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu
thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Tích phân
2) Tính chất:
Tính chất 1:
Tính chất 2:
Tính chất 3:
Tính chất 4:
Tính chất 5:
Tính chất 6:
Tích phân
2) Tính chất:
Ví dụ: Nếu và thì bằng:
A. -3 B. 8 C. 3 D. 2
Lời giải
Áp dụng tính chất 6 và tính chất 2, ta được:


Vậy
Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Nội dung PP: Biểu diễn hàm số dưới dấu tích phân qua các hàm số trong bảng nguyên hàm cơ bản, từ đó tính được tích phân.
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
Lời giải



Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
Lời giải



Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Tính chất 7: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [-a; a]. Khi đó:
Nếu thì
Nếu thì

Chẳng hạn:

Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản:
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
Lời giải




Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Nội dung PP: Giả sử cần tính , sử dụng phương pháp
đổi biến dạng 1, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt và biểu diễn
Bước 2: Đổi cận
Bước 3: Tính tích phân
Chú ý. Biểu thức nào “cồng kềnh” nhất dưới dấu tích phân thường được đặt làm biến mới.
Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

Lời giải
a) Đặt
Ta có:
Đổi cận: Khi ; khi
Vậy:
Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

Lời giải
b) Đặt
Ta có:
Đổi cận: Khi ; khi
Vậy:
Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:

Lời giải
a) Đặt
Ta có:
Đổi cận: Khi ; khi
Vậy:
Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:


Chú ý: Đối với tích phân
Nếu thì đặt
Nếu thì đặt
Nếu thì đặt
Tích phân
b) Tính
Đặt
Đổi cận: Khi ; khi


Cộng vế theo vế (1) và (2), ta được:
Tính chất 8: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ] .
Khi đó:
Chẳng hạn: Tính



Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 3: Cho . Tính
A. I = 2 B. I = 3 C. I = 4 D. I = 8
Lời giải
Đặt
Đổi cận: Khi ; khi


Mặt khác, áp dụng tính chất 3 và tính chất 6, ta được:



Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
b) Phương pháp đổi biến dạng 1:
Ví dụ 4: Cho . Tính tích phân
Lời giải
Đặt
Đổi cận: Khi ; khi


Chú ý: Để tìm kết quả I ta có thể chỉ ra hàm f(x) đơn giản thỏa mãn
giả thiết , chẳng hạn

Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
c) Phương pháp đổi biến dạng 2:
Nội dung PP: Giả sử cần tính , sử dụng phương pháp
đổi biến dạng 2, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt và đổi cận
Bước 2: Biểu diễn
Bước 3: Tính tích phân
Chú ý: hoặc
hoặc
Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
c) Phương pháp đổi biến dạng 2:
Ví dụ 1: Tính tích phân
Lời giải
Đặt
Đổi cận:
Ta có: và


Tích phân
3) Các phương pháp tính tích phân:
c) Phương pháp đổi biến dạng 2:
Ví dụ 2: Tính tích phân
Lời giải
Đặt
Đổi cận:
Ta có: ;

Tích phân
6) Các phương pháp tính tích phân:
d) Phương pháp tính tích phân từng phần
Nội dung phương pháp:
Bước 1: Xác định u, dv và tìm v, du
Bước 2: Áp dụng công thức
Chú ý: Các dạng sau thường dùng PP tính tích phân từng phần:

Đặt

Đặt
Tích phân
6) Các phương pháp tính tích phân:
d) Phương pháp tính tích phân từng phần
Ví dụ 1. Tính tích phân
Lời giải

Đặt





Tích phân
6) Các phương pháp tính tích phân:
d) Phương pháp tính tích phân từng phần

Ví dụ 2. Tính tích phân
Lời giải
Đặt



Tích phân
TIẾT HỌC ĐÃ KẾT THÚC
BUỔI HỌC ĐÃ KẾT THÚC
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT!