Y!M :zx_shane_xz
THPT Lê Quý Đôn
I.Góc giữa hai vectơ:
Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0
Từ một điểm O nào đó,
ta vẽ các vectơ
OA = a và OB = b.
Khi đó góc AOB
Được gọi là góc
Giữa hai vectơ a và b
Kí hiệu ( a , b )


O
A
B
b
a
Nếu có ít nhất một trong hai vectơ
là vectơ 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý (0 –>180 )
Nếu (a , b) = 90 thì ta nói rằng
Hai vectơ a và b vuông góc với nhau.
Kí hiệu a b
o
o
o
b
a
Ví dụ 1:
Dựa vào hình bên tính
các góc:
(BA , BC) ; (AB , BC)
(AC , BC)
A
50
o
C
B
A
50
o
II.Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ
O
O’
F
O’
A = F . OO’ cos
Giá trị A gọi là tích vô hướng của hai vectơ F và OO’
Một lực F không đổi tác dụng lên một vật làm cho vật di chuyển từ điểm O đến O’.Khi đó lực F sinh ra một công A theo công thức.
Từ đó ta rút ra công thức:
tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi công thức
a.b = a . b cos(a , b) (1)
a
b
50
o
Tìm tích vô hướng của hai vectơ a và b
Biết a = 5 ; b = 3
Đs: 9,64
Với vectơ a tuỳ ý, tích vô hướng a.a kí
hiệu là a và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.
Từ công thức (1) ta có:
“Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.”
2
a = a . a cos 0 = a
o
Hermann Grassmann
2
2
III.Tích chất của tích vô hướng
Với 3 vectơ a,b,c tuỳ ý và mọi số thực k
1) a . b = b . a

2) a . b = 0 <=> a b

3) (k.a) . b = a.(k.b) = k.(a . b)

4) a.(b + c)=a . b + a . c

a.(b – c) = a . b – a . c

Ví dụ 2:
Cho 2 vectơ OA, OB.Gọi B’ là hình chiếu của B trên đường thẳng OA.
CMR: OA . OB = OA . OB’
“Với vectơ OB’ gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thẳng OA.
Ta có công thức:
OA . OB = OA . OB’
Đây được gọi là
công thức hình chiếu.”


O
A
B
B’
Ví dụ 3:
a)
Cho đoạn thẳng AB , O là trung điểm , chứng minh rằng với mọi M bất kì ta có:
MA . MB = MO – OA = MO - OB
2
A
B
O
M
2
2
2
b)
Cho (O;R), M cố định,một đường thẳng
Thay đổi luôn qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A và B.CMR:
MA . MB = MO - R
2
2
A
B
O
M
C
*Gọi d = MO, giá trị không đổi:
MA . MB = d - R
Được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu P
P = MA . MB = d – R (d=MO)
*Khi M nằm ngoài đường tròn,
Tiếp tuyến MT thì:
P = MT = MT

2
2
M/(O)
M/(O)
2
2
M/(O)
2
2
IV.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Các hệ thức quan trọng
Cho hai vectơ a = (x;y) và b = (x’;y’) :
1) a . b = xx’ +yy’
2) a = x + y
3) cos(a, b) =


Đặc biệt : a b <=> xx’ + yy’ = 0
2
2
xx’ + yy’
x + y
x’ + y’
2
2
2
2
Hệ quả:
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách
giữa hai điểm M(x ; y ) và N(x ; y ) là:

MN = MN = (x - x ) + (y - y )

2
2
M
M
M
M
N
N
N
N
The
End