CHƯƠNG 2
TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
BÀI CŨ
Câu hỏi 1: Hãy nhắc lại quy tắc cộng?
Quy tắc cộng :Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động .
? Nếu hành động thứ nhất có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện
Câu hỏi 2: Hãy nhắc lại quy tắc nhân?
Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp
Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với nó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.
Ví dụ 1: bài toán mở đầu
Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hoà nhau nên phải thực hiện đá luận lưu 11m. Một đội đã chọn được 5 cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11 m. Hãy nêu 3 cách sắp xếp để đá phạt.
Giả sử tên 5 cầu thủ được chọn là A, B, C, D, E. Huấn luyện viên cần phân công người đá Quả 1, Quả 2, ..., Quả 5. Chẳng hạn nếu viết EDCAB có nghĩa là E đá Quả 1, D đá Quả 2, C đá Quả 3, A đá Quả 4, B đá Quả 5.
Giải
A
C
D
E
B
A
B
D
C
E
E
A
C
B
D
Cách 1
Cách 2
Cách 3
Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự tên của 5 cầu thủ đã chọn được gọi là một hoán vị tên của 5 cầu thủ đó.
1. Định nghĩa
Cho tập A gồm n phần tử ( ).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
I. HOÁN VỊ
Hãy lấy một ví dụ khác về hoán vị tên của 5 cầu thủ trên.
Nhận xét:
Hai hoán vị khác nhau của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Hãy nhận xét sự khác nhau giữa hai hoán vị của n phần tử?
Ví dụ:
ACDEB
DCABE
Vậy hoán vị là gì?
Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3.
Giải:
Gồm các số sau:
123
132
213
231
312
321
Ví dụ 2:
Mỗi số được lập ở trên có phải là một hoán vị của 3 phần tử 1, 2, 3 không?
Hãy xác định số hoán vị của 9 phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Bài toán trên có thể phát biểu lại như sau: Hãy liệt kê tất cả các hoán vị của 3 phần tử 1, 2, 3.
Xét bài toán:
Với bài toán này ta có nên dùng phương pháp liệt kê như trên không?
2. Số các hoán vị.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm 4 chỗ?
Giải: Kí hiệu tên 4 bạn lầ lượt là A, B, C, D
Cách 1: Sử dụng phương pháp liệt kê
Ta có các cách sắp xếp sau:
Có 24 cách sắp xếp
Cách 2: Dùng quy tắc nhân
Hành động 1: Chọn một bạn ngồi chỗ thứ nhất:
Hành động 2: Chọn một bạn ngồi chỗ thứ hai:
Hành động 3: Chọn một bạn ngồi chỗ thứ ba:
Hành động 4: Chọn một bạn ngồi chỗ thứ tư:
Có 4 cách chọn
Có 3 cách chọn
Có 2 cách chọn
Có 1 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có số cách xếp chỗ ngồi là:
4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách)
Công việc:
Xếp chỗ ngồi cho bốn bạn vào cùng một bàn
A
B
C
D
Mỗi cách xếp chỗ ngồi như trên có phải là một hoán vị tên của bốn bạn không?
Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lí sau đây.
ĐỊNH LÍ:
Pn = n(n-1)(n-2)...2.1.
Hãy chứng minh định lí này?
Chứng minh: Để lập một hoán vị của n phần tử ta tiến hành lần lượt các hành động sau:
HĐ 1:
Chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất:
HĐ 2:
Chọn một phần tử cho vị trí thứ hai:
...........................
HĐ n-1:
Chọn một phần tử cho vị trí thứ n-1:
HĐ n:
Chọn một phần tử cho vị trí thứ n:
Theo quy tắc nhân, có n(n-1)...2.1 cách lập một hoán vị của n phần tử.
Vậy
Pn = n(n-1)(n-2)...2.1.
Có n cách
Có n-1 cách
Có 2 cách
Có 1 cách
Vậy n phần tử có bao nhiêu hoán vị ?
Chú ý:
Kí hiệu n(n-1)...2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có
Pn = n!
CC
Ví dụ 4:
Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Mỗi cách xếp mười người vào hàng chính là gì?
Mỗi cách xếp 10 người vào hàng là một hoán vị tên của 10 người đó.
Từ đó suy ra số cách sắp xếp?
Suy ra số cách xếp là:
10! = 3628800 (cách)
CC
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu số ?
A. 100 số
B. 110 số
C. 120 số
D. 130 số
Chọn đáp án đúng, giải thích?
Bạn chọn chưa đúng! Hãy suy nghĩ lại
Bạn chọn chưa đúng! Hãy suy nghĩ lại
Bạn chọn chưa đúng! Hãy suy nghĩ lại
Hoan hô! Bạn đã chọn đúng! Hãy giải thích?
CC
Có bốn bóng đèn màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách mắc nối tiếp bốn bóng đèn đó.
A. 10 cách
B. 64 cách
C. 4 cách
D. 24 cách
Bạn chọn chưa đúng! Hãy suy nghĩ lại
Bạn chọn chưa đúng! Hãy suy nghĩ lại
Bạn chọn chưa đúng! Hãy suy nghĩ lại
Hoan hô! Bạn đã chọn đúng! Hãy giải thích?
CC
Chọn đáp án đúng, giải thích?
Hãy nhớ!
HOÁN VỊ
SỐ CÁC HOÁN VỊ
Cho tập A gồm n phần tử ( ).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Pn = n!