CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

Gv: BÙI VĂN TRƯỜNG

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC NGÀY
HÔM NAY CHÚC CÁC EM HỌC TỐT

BÀI 2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

PHƯƠNG PHÁP THẾ

2

PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

3

SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐ1: Hoạt động cặp đôi
 x  y 3 (1)
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình theo hương dẫn sau:
2 x  3 y 1 (2)
1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình bậc nhất một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm được giá trị của x
2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Giải
Từ phương trình (1) ta có:
Hay

5 x 10

suy ra

y 3  x

x 2

Thế vào phương trình (2) ta được

Từ đó ta có: y = 3 - 2 =1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1)

2 x  3(3  x) 1

HĐ1: Hoạt động cặp đôi
 x  y 3 (1)
Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
2
x

3
y

1
(2)

1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình bậc nhất một ẩn x. Giải phương trình một ẩn đó để tìm được giá trị của x
2. Sử dụng giá trị tìm được của x để tìm giá trị của y rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Hoạt động cặp đôi

 x  y 3

2 x  3 y 1

 y 3  x
 y 3  x


2 x  3 y 1 2 x  3(3  x) 1

 x  y 3

2 x  3 y 1

 x 3  y

2 x  3 y 1

 y 3  x

5 x 10

 y 3  x  y 1


 x 2
 x 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1)
Cách khác: Rút x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai

 x 3  y

2(3  y )  3 y 1

 x 3  y

 5 y  5

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1)

 x 3  y  x 2


 y 1
 y 1

Ví dụ 1

 x  2 y 5
Giải hệ phương trình 
5 x  y 3

Giải
 x  2 y 5

5 x  y 3

 x 5  2 y  x 5  2 y


5 x  y 3 5(5  2 y )  y 3

 x 5  2 y
 x 5  2.2  x 1




11
y

22
y

2


 y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 2)

Luyện tập 1
Giải các hệ phương trình sau:

 x  3 y 2
a) 
 2 x  5 y 1

 x  3 y 2
a) 
 2 x  5 y 1

Hoạt động cá nhân
4 x  y  1
b) 
7 x  2 y  3

 x 2  3 y
 x 2  3 y


 2 x  5 y 1  2(2  3 y )  5 y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-13;-5)

4 x  y  1
b) 
7 x  2 y  3

 y  1  4 x

7 x  2 y  3

 y  1  4 x

7 x  2(  1  4 x)  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1;-5)

 x 2  3 y

 y 5

 x  13

 y  5

 y  1  4 x

 x  1

 y  5

 x 1

Ví dụ 2
Giải

 x  y  2
Giải hệ phương trình sau 
2 x  2 y 8

 x  2  y
 x  y  2  x  2  y



2 x  2 y 8 2( 2  y )  2 y 8 0 y 12 (*)

Do không có giá trị nào của y thoả mãn phương trình (*) nên hệ phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 3

 x  y  2
Giải hệ phương trình sau 3 x  3 y 6


Giải  x  y  2  y  2  x


3
x

3
y

6

3 x  3( 2  x) 6

 y  2  x

(*)
0
x

0


Ta thấy mọi giá trị của x đều thoả mãn phương trình (*).
Vậy hệ phương trình vô số nghiệm

Bài tập 1

  2 x  y 3
Giải hệ phương trình sau a )  4 x  2 y  4

Giải

 2 x  y 3
a) 
4 x  2 y  4

 y 2 x  3

4 x  2 y  4

 x  3 y  1
b) 
3x  9 y  3

 y 2 x  3
 y 2 x  3


4
x

2(2
x

3)

4
(*)

0 x  2

Do không có giá trị nào của x thoả mãn phương trình (*) nên hệ phương trình vô nghiệm

 x  3 y  1
b) 
3x  9 y  3

 x  1  3 y

3 x  9 y  3

 x  1  3 y

3( 1  3 y )  9 y  3

 x  1  3 y

0 y 0 (*)

Ta thấy mọi giá trị của y đều thoả mãn phương trình (*). Vậy hệ phương trình vô số nghiệm

Vận dụng 1
Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi x là số luống trong

*
(
x
,
y

N
x  4;ởymỗi
 3)luống
vườn,
y là xsốlàcây
cải bắp
trồng
ở mỗiy luống
a) Gọi
số luống
trong
vườn,
là số cây cải bắp; trồng

- Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây bắp cải thì số cải
a) Lập
phương
trình
ẩntax,có
y phương trình: (x + 8)(y - 3) = xy -108
bắphệ
của
cả vườn
sẽ đối
ít đivới
108hai
cây

b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho-3x+
bài toán.
8y = -94
- Nếu giảm 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp của cả
vườn sẽ tăng thêm 64 cây ta có phương trình: (x- 4)(y + 2) = xy + 64
2x - 4y =72
 3 x  8 y  94
Do đó ta có hệ phương trình 
2 x  4 y 72
 3 x  8 y  94
 3 x  8 y  94  3 x  8 y  94
b) 


2 x  4 y 72
 x  2 y 36
 x 2 y  36
 y 7
 3(2 y  36)  8 y  94 2 y 14



x 50

x

2
y

36
x

2
y

36


Vậy số cây cải bắp trong cả vườn là: 50.7 = 350 (cây)

 x  2 y 3
. Tổng x0  y0 bằng
2
x

y

1


Biết rằng  x0 ; y0  là nghiệm của hệ phương trình 
A. 0.

Trí thức là
kho báu
quý giá
nhất

B. 1.

C. 2.

D. 3.

C

B

A

D

 x  2 y 1
bằng phương pháp thế
2 x  y 7

Các bước giải hệ phương trình 
 x 1  2 y
2 x  y 7

1. 

 x 3
 y  1

2. 

 x 1  2 y
 x 1  2 y
4. 
2(1  2 y )  y 7
 5 y 5

3. 

1;2;3;4

1;3;4;2

1;4;3;2

1;3;2;4

 x  2 y 5
rút x theo y ta được:
3x  y 1

Từ hệ phương trình 
A. x 5  2 y

Chúc các
bạn học tốt

B. x  5  2 y

C. x 2 y  5

D. x  2 y  5

C

B

A

D

 x  2 y  2
Cho hệ phương trình  4 x  y 6


ta có:
A. x = 2y -2
C. 4x = y - 6
Chúc mừng
em đạt
điểm 10

B. x = -2y -2
D . y = 4x + 6

A

D

B

C

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Chuẩn bị:

Ghi nhớ kiến thức

Hoàn thành bài tập

Phần 2, 3 trong bài

trọng tâm trong

1.6;1.8; trong SGK

học

bài.

trang 16.

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

BÀI 2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
(TIẾT 2)

2. PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

VIỆT NAM VÔ ĐỊCH
EM TẬP LÀM THỦ MÔN

A 2 x0  3 y0

là

Câu 1. Biết hệ phương trình 2 x  y 1 có nghiệm (x 0; y0). Giá trị biểu thức A=2x0- 3y0 là

3x  y 2

A. A= -1

B. A = 0

C. A= 2

D. A= 1

Câu 2. Cho hệ phương trình

cộng từng vế của hai phương ta được phương trình

 2 x  3 y  1
Câu 2. Cho hệ phương trình 
cộng từng vế của hai phương ta được
 x  3 y 4
phương trình

A. 3x = 3

B. 3x = -5

C. x = 3

D. 3x = 5

Câu 3. Hệ phương trình

vô nghiệm khi a bằng

 x  2 y 1
Câu 3. Hệ phương trình 
vô nghiệm khi a bằng
2 x  ay 3

A. 4

B. -6

C. 6

D. -4

2 x  ay 0
Câu 4. Hệ phương trình 
có nghiệm (-1; 2) với (a; b) bằng
bx  y  1

A. (1;-1)

B. (-1;2)

C. (1;-1)

D. (-1;1)

Giải
hệ Hoạt
phương
trình cặp
bằng đôi
phương pháp cộng đại số
HĐ2:
động
2 x  2 y 3 (1)
Cho hệ phương trình  x  2 y 6 (2) Giải hệ phương trình theo hương dẫn sau:

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được một phương trình bậc nhất một ẩn x. Giải
phương trình một ẩn đó để tìm được giá trị của x
2. Sử dụng giá trị x tìm được để thay vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm được giá trị của y rồi viết
nghiệm của hệ phương trình đã cho
Giải

Cộng từng vế của hai phương trình ta được 3x = 9, suy ra x = 3

Thay x = 3 vào phương trình thứ 2 ta được: 3 - 2y = 6 hay -2y =3, suy ra y = -1,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;-1,5)
(1)
 x 3
3x 9

2
x

2
y

3

Cách khác:



(2)
 x  2 y 6 3  2 y 6
 x  2 y 6
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;-1,5)

 x 3

 2 y 3

 x 3

 y  1,5

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Để giải một hệ phương trình hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn
nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ
còn chứa một ẩn
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ
phương trình đã cho
Ví dụ 4:

HOẠT CÁ NHÂN

 2 x  5 y 12

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
2 x  3 y 4
 y 2
 y 2
 2 x  5 y 12 8 y 16
 y 2





2
x

3.2

4
2
x

2
2
x

3
y

4



 x  1
 2 x  3 y 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1; 2)
5 x  7 y 9

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
5 x  3 y 1
 y  2  y  2
5 x  7 y 9  4 y 8
 y  2





5 x  3 y 1 5 x  3 y 1 5 x  3( 2) 1 5 x  5  x  1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1; -2)

Luyện tập 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

  4 x  3 y 0
a) 
4 x  5 y  8
  4 x  3 y 0
a) 
4 x  5 y  8

  4 x  3 y 0

 2 y  8

 4 x  3 y 0
b) 
 x  3 y 9

  4 x  3 y 0

 y 4

 4 x  3.4 0

 y 4

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; 4)

4 x  3 y 0
b) 
 x  3 y 9

4 x  3 y 0 4.(  3)  3 y 0


3 x  9
 x  3

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-3; 4)

3 y 12  y 4


 x  3  x  3

 x 3

 y 4

Ví dụ 6:

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
3x  2 y 7

2 x  3 y  4

3x  2 y 7

2 x  3 y  4

 x 1
 x 1
9 x  6 y 21 13 x 13




4 x  6 y  8 2 x  3 y  4 2.1  3 y  4  y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 2)

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số
3 x  5 y 2
3 x  5 y 2
3 x  5 y 2




3
x

5
y

2

6
x

10
y

4

0 x  0 y 0 (*)

Mọi giá trị của x và y thoả mãn phương trình (*), từ 3x - 5y = 2
3
2
Ta có: y  x 
5

5

3
2
(
x
;
x

) với
Vậy hệ phương trình có nghiệm
5
5

xR

3x  5 y 2

  6 x  10 y  4

Luyện tập 5

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số

Giải

4 x  3 y 6
a) 
 5 x  2 y 4

 4 x  3 y 6
a) 
  5 x  2 y 4
20 x  15 y 30

 20 x  8 y 16

 0,5 x  0,5 y 1
b) 
 2 x  2 y 8 Hoạt động cá nhân
 4 x  3 y 6

23 y 46

4 x  3.2 6

 y 2

 x 0

 y 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 2)

 0,5 x  0,5 y 1  2 x  2 y 4
b) 

 2 x  2 y 8
 2 x  2 y 8

 x  y 2

0 x  0 y 4 (*)

Mọi giá trị x; y đều thoả mãn phương trình (*), từ -x + y = 2 ta có y = x+2.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; x+2) với

xR

Chú ý
Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một
ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về các trường hợp đã xét bằng
cách nhân cả hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp ( khác 0)
4 x  3 y 6
20 x  15 y 30
a) 

 5 x  2 y 4  20 x  8 y 16

 0,5 x  0,5 y 1
b) 
 2 x  2 y 8

 2 x  2 y 4

 2 x  2 y 8

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Hoàn thành bài tập
Ghi nhớ kiến thức

1.6;1.7; trong SGK

trọng tâm trong

trang 16 bằng

bài.

phương pháp cộng
đại số.

Chuẩn bị:
Phần 2, 3 trong bài
học

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC NGÀY
HÔM NAY

BÀI 2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC
NHẤT HAI ẨN
(Tiếp)

2 x  y 1
Hệ phương trình 
có nghiệm là (x0;y0). Giá trị của biểu thức A= 2x0-3y0 là
3x  y 2
 A. A = -1

 B. A = 0

 C. A = 1

 D. A = 2

2 x  3 y  1
Cho hệ phương trình 
cộng từng vế của hai phương ta được phương trình
 x  3 y 4
 A. 3x = -5

 B. 3x = 3

 C. x = 3

 D. 3x = 5

 x  2 y 1
Hệ phương trình 
vô nghiệm khi a bằng
2 x  ay 3
 A. 4

 B. 6

 C. -6

 D. -4

Hệ phơng trình

c nghiệm
vi
bằg

2 x  ay 0
Hệ phương trình 
có nghiệm (x; y) = (-1; 2) với (a; b) bằng
bx

y

1

 A.  1; 1.
 C. (1; 1)

 B. (-1; 2)
 D. 1;  1.

3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ HAI
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Muốn tìm nghiệm hệ phương trình bằng máy tính cầm tay (MTCT)
Trước hết ta đưa hệ phương trình về dạng

4 x  3 y 6

Ví dụ giải hệ phương trình 
  5 x  2 y 4

a1 x  b1 y c1

a2 x  b2 y c2

Thực hành
2 x  3 y  4
a) 
 3x  7 y 13

2 x  3 y 1
b) 
 x  1,5 y 1

8 x  2 y  6 0
c) 
4 x  y  3 0

Vận dụng 2
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tinh số mililit dung dịch acid HCl
nồng độ 20% và số mililit dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dung để pha
Giải 2 lít dung dịch acid HCl nồng độ 10%
a)
Gọi
x là
số dung
mililit dịch
dungacid
dịchHCl
acid
HCl độ
nồng
độnhận
20%,được
y là số
mililit
dunglẫn hai
Thể
tích
của
nồng
10%
sau
khi trộn
dịch
biểu thị qua x và y
dungacid
dịchHCl
acidnồng
ban độ
đầu5%
ta cần
có: xlấy.
+ yHãy
= 2000
-Thể tích của dung dịch acid HCl nồng độ 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai
dung dịch acid ban đầu 0, 2 x  0, 05 y 0,1
-Tổng số gam acid HCl nguyên2000
chất có trong hai dung dịch acid này
 x  y 2000

b)
dụng
kết quả
của câu
a, hãy lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Ta Sử
có hệ
phương
trình
 0, 2 x  0, 05 y
0,1mililit cần lấy của mỗi dung dịch acid
x, y. Giải hệ phương trình
để tínhsố
 này2000
HCl ở trên.
2000


giải hệ phương trình ta


 x  3
được 
 y  4000

3

Thể tích của dung dịch acid HCl nồng độ 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai
dung dịch acid ban đầu ta có: x + y = 2000

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Chuẩn bị:

Ghi nhớ kiến thức

Hoàn thành bài tập

trọng tâm trong

1.7;1.8;1.9 trong

bài.

SGK trang 16.

Bài luyện tập chung

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE BÀI
HỌC!