TOÁN VUI
Bài 18 (Phần I)
Chuyên đề về đường tròn
Câu đố của “Tuduy.com” bài giải của PHH
1.Trăng Lưỡi Liềm Của HippoCrates
Nhà hình học người Hy Lạp cổ đại Hippocrates xứ Chios đã tìm ra bài toán này trong khi cố vuông hóa hình tròn.
Ông dựng các hình bán nguyệt đè lên nhau trên các cạnh của một tam giác vuông như hình trên.
Bạn có thể xác định được tổng diện tích của 2 hình lưỡi liềm màu đỏ không?
Giải bài 1

Giải: Cách nhanh nhất là tính 1 hình lưỡi liềm x 2.
Đặt bán kính đường tròn lớn là a  bán kính đườn tròn nhỏ là 1/2a2 Ta có:
- S ĐTlớn = a2
- S ĐTnhỏ = 1/2a2
Diện tích 1 hình lưỡi liềm :
SĐTnhỏ-¼ SĐTlớn =1/4a2
ĐA: Diện tích 2 hình lưỡi liểm là 1/2a2
2.Những hình tròn tiếp xúc nhau

Hãy tính xem:
a/ Để tạo 9 chấm tròn tiếp xúc như thế, cần tối thiểu bao nhiêu hình tròn bằng nhau nằm trong một mặt phẳng?
b/ Để tạo12 chấm tròn tiếp xúc như thế, cần tối thiểu bao nhiêu hình tròn bằng nhau
3 hình tròn bằng nhau,tiếp xúc nhau tại 3 điểm được thể hiện bằng các chấm tròn màu đỏ trong hình trên.
ĐA Câu 2
a/ Cần 6 hình tròn tiếp xúc nhau tạo 9 chấm tròn, đó là 9 điểm típ xúc
b/ Để tạo12 chấm tròn tiếp xúc như thế, cần tối thiểu 7 hình tròn
A
B
3. Ba hình tròn
Cho 3 tam giác đều A,B,C giống hệt nhau với các hình tròn tiếp xúc bên trong như hình bên:
- A, có 1 hình tròn nội tiếp và 2 hình tròn nhỏ hơn..
- B, có 1 hình tròn lớn và 2 hình tròn nhỏ sấp xỉ.
- C, Có 3 hình tròn bằng nhau với kích thước lớn nhất có thể
 Trường hợp nào tổng diện tích của các hình tròn nằm trong là lớn nhất?
ĐA: câu 3
So sánh tổng độ dài các bán kính hình tròn chứa trong các hình A,B,C
 Hình C có tổng diện tích 3 hình tròn lớn nhất
4. Ba đường tròn cắt nhau
Trong hình bên, ta có 3 đường tròn có kích thước ngẫu nhiên cắt nhau.
Kẻ 3 dây cung chung của chúng ta sẽ thu được một kết quả đáng ngạc nhiên: chúng cắt nhau tại một điểm.
Liệu kết quả này có luôn xảy ra bất kể kích thước và vị trí của 3 đường tròn không?
ĐA 4: Nếu 1 đường tròn đồng thời cắt 2 đường tròn kia thì 3 dây cung nối các giao điểm của chúng đồng quy tại 1 điểm (Trong, ngoài hoặc trên 1 đường tròn), không phu thuộc kích kích cỡ
5.Đường tròn nội tiếp & ngoại tiếp

Tiếp xúc bên ngoài 1 hình vuông có 1 đường tròn lớn (ngoại tiếp), bên trong là 1 đường tròn nhỏ (nội tiếp)
Hãy xác định tỷ lệ diện tích 2 hình tròn đó
ĐA 5
Đặt cạnh hình vuông là a; R1 là bán kính hình tròn nhỏ; R2 là bán kính hình tròn lớn R1 = 1/2a;
R2 = 1/2a2
SDT h.tròn nhỏ = 1/4a2
S DT h.tròn lớn = 1/2a2
Hình tròn ngoại tiếp có diện tích gấp đôi hình tròn nội tiếp
6.Ghép từ hình lọ hoa
Bạn có thể phân chia chiếc lọ hoa màu vàng thành nhiều phần rồi ghép những phần đó lại để tạo thành một hình chữ nhật được không ?
ĐA câu 6
Chia lọ hoa thành 4 phần  ghép như trên
7.Bán kính các đường tròn
Hình tròn lớn màu đen có đường kính là 2r. Nó có 1 tam giác đều và 1 hình vuông nội tiếp như hình bên.
Hãy xác định bán kính của 3 hình tròn màu lục, vàng, đỏ ở trong hình tròn lớn
ĐA câu 7
Bán kính hình tròn đỏ = r
Bán kính hình tròn vàng = 1/2r
Bán kính hình tròn xanh = r-r2

8. Bài Toán Của Apollonius
Có bao nhiêu cách khác nhau để vẽ thêm hình tròn thứ 4 tiếp xúc với cả 3 hình tròn cho trước (3 hình tròn bán kình bất kì và rời nhau)
Đây là một trong những bài toán kinh điển thời Hy Lạp cổ đại. (Bài toán này có liên quan đến câu hỏi tổng quát về số lượng hình tròn tối đa tiếp xúc lẫn nhau trong một mặt phẳng).
ĐA 8 (Cách thứ nhất)

Trên  có 3 đỉnh là tâm 3 đường tròn ta kẻ 3 đường phân giác. 3 phân giác này cắt 3 đường tròn tại 3 điểm A,B,C.
Qua A,B,C kẻ 3 tiếp tuyến với từng đường tròn. 3 tiếp tuyến này cắt nhau tạo ra  mới.
Kẻ 3 đường phân giác của  mới tìm được giao điểm G, đó chính là tâm đường tròn phải tìm.
ĐA 8 ( cách thứ 2)


Kẻ 3 tiếp tuyến chung cho từng cặp đường tròn sao cho mỗi đường tròn ở 1 phía của tiếp tuyến chung.
Kẻ 3 đường phân giác của  vừa tạo ra do 3 tiếp tuyến. Giao điểm của 3 phân giác chính là tâm đường tròn phải tìm.
ĐA 8 (Cách thứ 3 )
Cách này tương tự cách thứ 2, khác 1 chi tiết là 3 tiếp tuyến sao cho 2 đường tròn cùng nằm 1 phía, sau đó 3 phân giác như cách 2
Định lý Apollonius: Nếu cho ba đường tròn có chu vi khác nhau, mỗi đường tròn cùng lần lượt tiếp xúc với các đường tròn còn lại thì luôn luôn tồn tại một đường tròn tiếp xúc với cả 3 đường tròn đó.