SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CHƯƠNG TRÌNH DẠY HỌC TRÊN TRUYỀN HÌNH
MÔN TOÁN 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

LUYỆN TẬP
TỨ GIÁC NỘI TIẾP
GVGD: ThS. NGUYỄN DUY TIẾN
TRƯỜNG THCS NGHĨA TÂN, QUẬN CẦU GIẤY

TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
I) TÍNH CHẤT
+) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo
hai góc đối bằng 1800

A

 C
 D
 1800
 1800 ; B
A

B
O

D

C

TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
I) TÍNH CHẤT
+) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo
hai góc đối bằng 1800

A

+) Các tính chất về góc với đường tròn đã
học

B


 ;...
Ví dụ: DAC
DBC

O

D

C

TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
II) DẤU HIỆU NHẬN BIẾT
1) Tứ giác có tổng số đo
hai góc đối bằng 1800
2) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau
cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh
còn lại dưới một góc bằng
nhau

B

A
O
D

C
B

A
O
D

C
B

A

3) Tứ giác có góc ngoài tại
một đỉnh bằng góc trong tại
đỉnh đối của đỉnh đó

TỨ GIÁC
NỘI TIẾP
A

x

O
D

B

C

O
D

C

4) Tồn tại một điểm cách đều
bốn đỉnh của tứ giác

TÓM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC
B

A

1) Tứ giác có tổng số đo
hai góc đối bằng 1800
2) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau
cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh
còn lại dưới một góc bằng
nhau

O
D

C
B

A
O
D

C
B

A

3) Tứ giác có góc ngoài tại
một đỉnh bằng góc trong tại
đỉnh đối của đỉnh đó

TỨ GIÁC
NỘI TIẾP
A

x

O
D

B

C

O
D

C

4) Tồn tại một điểm cách đều
bốn đỉnh của tứ giác

 60
A
Bài 1. Cho tam giác ABC có
. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
0

A

Nhận xét:
+) Xét đường tròn (O), có:
1

BAC
 BOC
(góc nội tiếp và góc ở tâm
2
cùng chắn cung BC)


 600 (gt)
mà BAC




BOC
1200

600





I
B

O

C

 60
A
Bài 1. Cho tam giác ABC có
. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
0

A



BOC
BIC

600

BOC
1200 (cmt)


BIC
1200

I

  ICB
  600
IBC


ABC
ACB

 600
2
2



ABC
 ACB
1200

BAC
 600 (gt)

B

O

C

 60
A
Bài 1. Cho tam giác ABC có
. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
0

+) Xét đường tròn (O), có:
1

BAC
 BOC
(góc nội tiếp và góc ở tâm
2
cùng chắn cung BC)

 600 (gt)
mà BAC

A





600


1200
 BOC
+) Xét tam giác ABC, có:



ABC
 ACB
 BAC
1800 (định lý tổng ba góc
trong tam giác)


 600 (gt)
mà BAC



 ABC
 ACB
1200


ABC
ACB
  ICB
  600


 600  IBC
2
2

I





B

O

C

 60
A
Bài 1. Cho tam giác ABC có
. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng
minh: Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
0

A

+) Xét tam giác IBC, có:
  ICB
  BIC

IBC
1800 (định lý tổng ba góc 
trong tam giác) 

  ICB
  600 (cmt)
mà IBC

600



I


 BIC
1200
+) Xét tứ giác BIOC, có:


BOC
BIC
1200 (cmt)



Mà I và O là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn BC 
 Tứ giác BIOC nội tiếp (dhnb)

 Bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn (đpcm)

B

O

C

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
1) Chứng minh: Tứ giác ABEH nội tiếp
+) Vì H là hình chiếu vuông góc của E trên AD (gt)

C


 AHE
900

B

+) Vì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD (gt)

 B thuộc đường tròn đường kính AD

900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
 ABD
+) Xét tứ giác ABEH, có:



ABE
 AHE
1800 (vì 900  900 1800)
Mà hai góc này đối nhau



Tứ giác ABEH nội tiếp (dhnb)

A




E

H O

D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.

2) Chứng minh: BD là tia phân giác của HBC

C



HBD
DBC

B


HBD
EAH
Tứ giác ABEH nội tiếp
(cm câu 1)

E




DBC
CAD
EAH
(2 góc nội tiếp cùng
chắn cung CD)

A

H O

D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.

2) Chứng minh: BD là tia phân giác của HBC
+) Vì tứ giác ABEH nội tiếp (cm a)

C

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEH, có:


HBD
EAH
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

1

+) Xét (O), có:


CAD
DBC
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)

2



DBC
+) Từ 1 và 2  HBD


 BD là tia phân giác của HBC

B

A

E

H O

D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp

C



HBI
IOD

B



HBI
EAH



IOD
EAH

Tứ giác ABEH nội tiếp
(cm câu 1)

IO // AE
IO là đường trung bình
của tam giác AED
I là trung điểm của ED (gt)
O là trung điểm của AD (gt)

E
I

A

H O

D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp
+) Vì tứ giác ABEH nội tiếp (cm a)


 HBE
EAH
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

C

3

B

+) Xét  AED, có:
I là trung điểm của ED (gt)



O là trung điểm của AD (gt) 
 IO là đường trung bình của
 IO // AE (tính chất)

I
A

 AED



 IOD
EAH
(2 góc đồng vị)

+) Từ 3 và 4


 HBE
IOD

E

H O

4




IOD
là góc ngoài tại đỉnh O của tứ giác BHOI   Tứ giác BHOI nội tiếp (dhnb)
B và O là hai đỉnh đối nhau



D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp
3.1) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: DO.DH = DI. DB

B

DO
DI

DB DH
DOI



IOD
HBD
Tứ giác BHOI nội tiếp

C
E
I

DBH

Chung góc ADB

A

H O

D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
3) Gọi I là trung điểm của ED. Chứng minh: Tứ giác BHOI nội tiếp

C

Mở rộng:
Chứng minh: Năm điểm B, H, O, I, C cùng nằm trên
một đường tròn

Bốn điểm B, H, O, I cùng
thuộc một đường tròn
Tứ giác BHOI nội tiếp

Bốn điểm C, H, O, I cùng
thuộc một đường tròn
Tứ giác CIOH nội tiếp

B

E
I

A

H O

D

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD

C

CK  AD

B
CK / / EH

EH  AD (gt)

A



AEH
ACK



BK
AEH
ABH
A
Tứ giác ABEH nội tiếp
(cm câu 1)

E



ACK
ABK
(2 góc nội tiếp cùng
chắn cung AK)

H

D

O

K

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD
+) Vì tứ giác ABEH nội tiếp (cm a)

C

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEH, có:


 ABH
AEH
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

5

+) Xét (O), có:


ABK
ACK
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AK)

6

B

A



+) Từ 5 và 6  AEH
ACK



Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

 CK / / EH (dhnb) 
 CK  AD

mà EH  AD (gt) 
(quan hệ từ song song
đến vuông góc)

E

H

D

O

K

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD
+) Xét (O), có:
CK  AD (cmt)
AD là đường kính, CK là dây cung

 AD đi qua trung điểm của CK (quan hệ giữa
đường kính và dây của đường tròn)
CK  AD (cmt)

 AD là đường trung trực của CK

C





B





A

E

H

D

O

 C đối xứng với K qua AD (đpcm)

K

Bài 2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AD. Gọi E là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD, H là hình chiếu vuông góc của E trên AD.
4) Kéo dài BH cắt (O) tại K. Chứng minh: C đối xứng với K qua AD
4.1) Lấy K đối xứng với C qua AD. Chứng minh: B, H, K thẳng hàng

B

A

C
E

H

D

O

K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CHƯƠNG TRÌNH DẠY HỌC TRÊN TRUYỀN HÌNH
MÔN TOÁN 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI