1
§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
2
 
3
 
 
a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu:
 
 
b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu:
 
 
1. Khái niệm cực trị của hàm số:
4
Chú ý:
+) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D
+) Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D
1. Khái niệm cực trị của hàm số:
5
2. Điều kiện cần để có cực trị:
Định lý 1:
Nếu hàm số f có đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo thì f’(xo) = 0
Chứng minh: (xem SGK)
Chú ý : Đảo lại của định lí là sai
6
Ví dụ 1:
Hàm số y = x3. Có y’ = 3x2 ≥ 0 với mọi x và y’ = 0 <=> x = 0.
Hàm số y = x3 đồng biến trên R. Và có đồ thị:
Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x = 0 nhưng không có cực trị tại x = 0.
7
 
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = 0.

Chú ý: là hàm không có đạo hàm tại x = 0
Như vậy: Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc không xác định
2
 
9
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: (dấu hiệu 1)
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và ( x0 ; b). Khi đó:
10
Định lí 2 được viết gọn lại trong BBT sau:
Chú ý: Tại x0 chỉ cần hàm số liên tục, không nhất thiết có đạo hàm
11
Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
Tìm tập xác định
Tính f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không xác định ( tại đó hàm số phải liên tục )
Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về cực trị
12
 
Giải
TXĐ:D=R
 
 
 
 
BBT:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13
Định lý 3: (dấu hiệu 2)
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f ’(xo) = 0 và f ’’(xo) ≠ 0.
a) Nếu f ’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo.
b) Nếu f ’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo.
Chú ý: Nếu f ’’(x0) = 0 thì trở lại dấu hiệu 1
Ví dụ 4: Hàm số y = x4 có y’ = 4 x3 ; y’’ = 12x2 suy ra y’’(0) = y’(0) = 0, thì từ dấu hiệu 1 (QT1) cho ta hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
14
Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
Theo đ/l 3:
Tìm tập xác định
Tính f’(x) . Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,...) của phương trình f’(x) = 0
Tìm f”(x) và tính f”(xi ).
* Nếu f’’(xi ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi.
* Nếu f’’(xi ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi.
 
 
 
15
Ví dụ 5: Dùng dấu hiệu 2 để tìm điểm cực trị của các hàm số:
a) y = x4 - 2x2 – 1 b) y = sin2x + x.
TXĐ:
Giải
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và cực trị thỏa mãn một tính chất nào đó
 
Phương pháp: Sử dụng Điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị
18
Dặn dò
1. Học kĩ bài:
Phân biệt được các khái niệm: điểm cực trị, giá trị cực trị (cực trị) của
hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Nắm được điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
Học kĩ hai quy tắc tìm cực trị.
2. Làm bài tập về nhà: Bài 1,2,3,4,6,13 SBT trang 19,20
và nộp vào Assigments
19
LUYỆN TẬP CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
20
Phương pháp: Sử dụng Quy tắc 1 và Quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm số
Dạng 1. Các bài toán đơn thuần tìm cực trị
21
 
22
 
23
 
24
Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị tại điểm xo
 
Phương pháp: Sử dụng Điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị
25
 
26
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị và cực trị thỏa mãn một tính chất nào đó
 
Phương pháp: Sử dụng Điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị
27
 
28
 
29
Dặn dò
1. Học kĩ bài:
Phân biệt được các khái niệm: điểm cực trị, giá trị cực trị (cực trị) của
hàm số; điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Nắm được điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
Học kĩ hai quy tắc tìm cực trị.
2. Làm bài tập về nhà: Bài tập trắc nghiệm SBT trang 21-25
và nộp vào Assigments
THANK YOU!
30