GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH
LẬP PHƯƠNG TRÌNH ,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH , HỆ PHƯƠNG TRÌNH
THƯỜNG GẶP
D?ng 1: Toán tìm các đại lượng (cĩ n?i dung s? h?c)
D?ng 2: Tốn tìm số
D?ng 3: Tốn chuy?n dđ?ng
D?ng 4: Tốn làm vi?c (nang su?t)
D?ng 5: Tốn có n?i dung hình h?c
D?ng 6: Toán có n?i dung v?t lí, hoá h?c
D?ng 7: Toán ph?n tram
Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình.

Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết.

Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.


Bước 3: Kiểm nghiệm và trả lời bài toán.
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Bước 1 : Lập hệ phương trình.
+ Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn .
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua 2 ẩn .
+ Lập hệ phương trình .
Bước 2 : Giải hệ phương trình .
Bước 3 : Đối chiếu các điều kiện, kết luận nghiệm
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1 : Lập phương trình.
+ Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn
+Lập phương trình biêủ thị mối quan hệ giữa các đại lượng .
Bước 2 : Giải phương trình.
Bước 3 : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương, nghiệm nào thoả mãn điều kiện, nghiệm nào không thoả mãn rồi kết luận

"PHƯƠNG PHÁP LẬP BẢNG:
Bước 1.
Xác định dạng toán và xác định các đại lượng liên quan có trong dạng này. Ví dụ khi gặp bài toán về chuyển động đều, chúng ta cần xác định các đại lượng là vận tốc, thời gian, quãng đường đi được.
Bước 2.
Xác định các đối tượng tham gia. Ví dụ như toán chuyển động thì có xe đạp, xe máy, ôtô . hoặc là các tình huống chuyển động như khi đi , khi về , v v.
Bước 3
Lập bảng với các cột là các đối tượng, các dòng là các đại lượng liên quan (hoặc ngược lại).
Bước 4
Điền vào các ô trống những đại lượng đã biết cụ thể .
Bước 5
Đặt ẩn vào một ô ( ho?c hai ô, thông thường là đại lượng cần tìm nêu trong câu hỏi bài toán ) và biểu diễn các ô còn lại bằng giá trị đã cho trong đề bài và các biểu thức liên quan với ẩn (chú ý đến đơn v� nếu có của đề bài).
Bước 6
Dựa vào đề bài để tìm hệ thức liên hệ giữa các biểu thức trong 2 ô còn lại. Hệ thức chứa ẩn này chính là phương trình ( h? phuong trình ) cần lập để giải.
Bước 7
Trình bày lời giải bài toán theo cách ghi lại những gì đã ghi trong các ô của bảng theo một thứ tự bắt đầu từ ô chứa ẩn.
Bước 8
Thử lại k?t qu? c?a bài toán và tr? l?i.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. Xác định dạng đề toán
2. Đặt các câu hỏi gợi ý
3. Lập bảng dựa vào các đối tượng
4. Tìm hệ thức liên hệ
5. Trình bày lời giải
6. Thử lại kết quả
CÁC CÂU HỎI GỢI Ý
2. Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ?
3. Các đại lượng nào liên quan với ẩn ?
1. Xác định các đại lượng đã biết ?
4. Các đại lượng được xác định ở câu 3 liên hệ với nhau như thế nào ?
Đặt ẩn x, (y) là ? DK
Biểu diễn các đại lượng đó theo x, (y) và các đại lượng đã biết ?
Lập hệ thức (hoặc hai hệ thức) liên hệ ?
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Bài toán 1: Tổng của hai số tự nhiên bằng 59. Ba lần số này lớn hơn hai lần số kia là 7. Tìm hai số tự nhiên đó.
Hãy điền vào chỗ trống (...) thích hợp để có bài giải đúng
Gọi ...... là số thứ nhất ( .... N), ...... là số thứ hai (....N).
Do tổng của hai số bằng 59 nên ta có pt: ..... + .... = 59 (1)
Do ba lần số này lớn hơn hai lần số kia là 7 nên ta có pt:
........ – ........ = 7 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

Giải hệ pt ta có: (.............)
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là ........ và ..........
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Bài toán 1: Tổng của hai số tự nhiên bằng 59. Ba lần số này lớn hơn hai lần số kia là 7. Tìm hai số tự nhiên đó.
Hãy điền vào chỗ trống (...) thích hợp để có bài giải đúng
Gọi x là số thứ nhất ( x N), y là số thứ hai (yN).
Do tổng của hai số bằng 59 nên ta có pt: x + y = 59 (1)
Do ba lần số này lớn hơn hai lần số kia là 7 nên ta có pt:
3x – 2y = 7 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt:

Giải hệ pt ta có: (tmđk)
Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 25 và 34.
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Bài toán 2:
Năm nay tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4.
Bảy năm sau tuổi mẹ vừa đúng gấp ba lần tuổi con.
Hỏi năm nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
x
y
x + 7
y + 7
x = 5y + 4
x + 7 = 3(y + 7)
Phân tích đề bài
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Giải bài toán 2
Gọi x là tuổi của mẹ năm nay (tuổi, xN, x >0)
y là tuổi của con năm nay, (tuổi, yN, x > y >0)
Tuổi của mẹ 7 năm sau: x + 7
Theo bài ra ta có hệ pt
Vậy Năm nay: mẹ 29 tuổi, con 5 tuổi.
Giải hệ pt ta có
(tmđk)
x
y
x + 7
y + 7
x = 5y + 4
x + 7 = 3(y + 7)
Tuổi của mẹ 7 năm sau: y + 7
x
3x
x + 13
3 x + 13
Bài toán 2 : Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi năm nay Phương bao nhiêu tuổi ?
13 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương
Hệ thức liên hệ :
3x + 13 = 2(x + 13)
Câu hỏi gợi ý 1: Bài toán yêu cầu điều gì ? (- Tìm tuổi Phương năm nay) .
Câu hỏi gợi ý 3: Tuổi của mẹ so với tuổi Phương năm nay ? (Đặt ẩn x là ? chọn ẩn cho tuổi của mẹ hoặc tuổi Phương năm nay , biểu thị tuổi của nhân vật còn lại thông qua ẩn đã chọn).
Câu hỏi gợi ý 4: Sau 13 năm tuổi của mẹ và tuổi Phương như thế nào?
Câu hỏi gợi ý 5: Sau 13 năm tuổi của mẹ so với tuổi Phương như thế nào, hệ thức liên hệ ?
Câu hỏi gợi ý 2: Ngoài ra đề bài còn nói về vấn đề gì khác? ( Tuổi của mẹ so với tuổi Phương sau 13 năm). Lập bảng?
Tuổi Phương
Tuổi mẹ
Năm nay
13 năm nữa
x
x + 13
y
y + 13
Bài giải
Gọi tuổi của Phương năm nay là x (tuổi).
ĐK: x nguyên dương.
Tuổi của mẹ Phương năm nay là y (tuổi),
ĐK: y nguyên dương, y > x.
Theo đề bài ta có phương trình: y = 3x (1)
Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là x + 13 (tuổi).
Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: y + 13 (tuổi).
Theo đề bài ta có phương trình: y + 13 = 2(x + 13) ? y - 2x = 13 (2)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy tuổi của Phương năm nay là 13 tuổi.
L?p h? phương trình?
Hệ thức liên hệ: y = 3x (1)
Hệ thức liên hệ:
y + 13 = 2(x +13) (2)
Bài giải
Gọi tuổi của Phương năm nay là x (tuổi). ĐK: x nguyên dương.
Tuổi của mẹ Phương năm nay là 3x (tuổi).
Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là x + 13 (tuổi)..
Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: 3x + 13(tuổi).
Vì sau 13 năm tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương .
Ta có phương trình: 3x + 13 = 2(x + 13)
? 3x + 13 = 2x + 26
? 3x - 2x = 26 - 13
? x = 13 (nhận)
Vậy tuổi của Phương năm nay là: 13 tuổi.
Thử lại: Tuổi của Phương sau 13 năm nữa là: 26 tu?i ; tuổi của mẹ Phương sau 13 năm nữa là: 3x + 13 = 3.13 + 13 = 52.
(52 : 26 = 2)
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Bài toán 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 8, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) lớn hơn số cũ 18 đơn vị.
x
y
10x+y
y
x
10y+x
x + y = 8
(10x + y) - (10y + x) = 18
Phân tích đề bài
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Bài toán 3
Phân tích đề bài
x
y
10x+y
y
x
10y+x
x + y = 8
(10y + x) - (10x + y) = 18
Giải
Gọi x là chữ số hàng chục của
số ban đầu, (xN, 0y là chữ số hàng đơn vị của
số ban đầu, (yN, 0Số cho ban đầu là 10x + y
Số sau khi đổi chỗ là 10y+ x
Theo bài ra ta có hệ pt
Vậy số tự nhiên cần tìm là 35
Giải hệ pt ta có
(tmđk)
Bài toán 4:
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục. Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 370. Tìm số ban đầu ?
Câu hỏi gợi ý:
1. Đề bài yêu cầu tìm đại lượng nào ? - Tìm chữ số hàng chục và hàng đơn vị. Đặt ẩn x là ? (x là chữ số hàng chục).
2. Các đại lượng liên quan với ẩn ? - Chữ số hàng đơn vị ban đầu , lúc sau .
3. Tính giá trị số ban đầu và số mới theo ẩn x.
4. Liên hệ giữa số mới và số ban đầu ? - Số mới hơn số ban đầu 370 đơn vị .
Số ban đầu
Chữ số hàng đơn vị
Số mới - Số ban đầu = 370
Số mới
Chữ số hàng chục
= 2 (Chữ số hàng chục)
Giá trị của số
= 10 (Chữ số hàng chục)
+ Chữ số hàng đơn vị
Chữ số hàng đơn vị
Chữ số hàng chục
= Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu
Giá trị của số
= 100 (Chữ số hàng trăm)
+ Chữ số hàng đơn vị
Chữ số hàng trăm
+ 10
= Chữ số hàng chục của số ban đầu
= 1
Hướng dẫn
Hệ thức liên hệ: 100x + 10 + 2x - (10x + 2x) = 370
Số mới hơn số ban đầu 370 đơn vị
Không có
2x
10x + 2x
x
x
2x
100x + 10.1 + 2x
Hệ thức liên hệ ?
1
Hay 102x + 10 - 12x = 370
Bài giải
Gọi chữ số hàng chục là x . Điều kiện:
Chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục là: 2x.
Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 10x + 2x = 12x.
Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới có ba chữ số là: 100x + 10 + 2x = 102x + 10.
Vì số mới lớn hơn số đã cho là 370. Ta có phương trình:
102x + 10 - 12x = 370
? 102x - 12x = 370 - 10
? 90x = 360
? x = 4 (nhận)
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 12x = 12.4 = 48.
Số mới có ba chữ số là: 418, (418 - 48 = 370, 418 lớn hơn 48 là 370 đơn vị).
Thử lại: số có hai chữ số : 48, (8 : 4 = 2, 8 lớn hơn 4 là 2 đơn vị).
Bài giải
Gọi chữ số hàng chục là x . Điều kiện:
Chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện:
Theo đề bài ta có phương trình: y = 2x (1)
Số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 10x + y .
Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì ta được một số mới có ba chữ số là: 100x + 10 + y .
Vì số mới lớn hơn số đã cho là 370. Ta có phương trình:
100x + 10 + y - (10x + y) = 370 ? 90x = 360 ? x = 4 (2)
T? (1) & (2), ta có h? phương trình:
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 48.
x
y
10x + y
x
1
y
100x + 10 + y
Không có
L?p h? phương trình?
Bài toán 5 : Cho một số tự nhiên có hai ch? số. Tổng của chúng bằng 10. Tích hai ch? số ấy nhỏ hơn số d� cho là 12. Tìm số đ� cho?
Số đ� cho
Ch? số hàng chục
Ch? số hàng đơn vị
x
10 - x
Bài giải
Gọi chữ số hàng chục là x .
Điều kiện:
Chữ số hàng đơn vị là: 10 - x .
Tích hai ch? số hàng chục và hàng đơn vị nhỏ hơn số d� cho là 12.
Ta có phương trình:
x (10 - x) = 9x + 10 - 12
Giá trị số d� cho là:
10x + 10 - x = 9x + 10
? 10x - x2 = 9x - 2
? x2 - x - 2 = 0
Ta có: a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0
Suy ra : x1 = - 1 (loại); x2 = 2 (nhận)
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 28
Thử lại: số có hai chữ số : 28
(2 . 8 = 16, nhỏ hơn số 28 là 12).
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình.

Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và qua đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ phương trình.

Bước 3: Đối chiếu điều kiện, kiểm tra và kết luận .
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
Bài 29: Bài toán cổ
Quýt, cam mười bảy quả tươi
Đem chia cho một trăm người cùng vui.
Chia ba mỗi quả quýt rồi
Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.
Trăm người, trăm miếng ngọt lành
Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?
x
y
3x
10y
x + y = 17
3x + 10y = 100
Phân tích đề bài
Quýt
Cam
Quan hệ của hai ẩn
Số quả
Số miếng
§ 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tiết 41
x
y
3x
10y
x + y = 17
3x + 10y = 100
Quýt
Cam
Quan hệ của hai ẩn
Số quả
Số miếng
Giải bài tập 29
Theo bài ra ta có hệ pt
Giải hệ pt trên, ta được
Vậy số quýt là 10 quả và số cam là 7 quả
Gọi x là số quýt (Quả; x  N; 0 < x < 17)
y là số cam (Quả; y N; 0 < y < 17)
Số miếng cam là: 10y
Số miếng quýt là: 3x
Bài tập 2. Điền vào ô trống những số hoặc biểu thức thích hợp để lập được hệ phương trình giải bài toán sau:
Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 340m. Biết rằng 2 lần chiều dài hơn 3 lần chiều rộng là 10m. Tính chiều dài và chiều rộng đám đất
2x
3y
(x + y) . 2 = 340
2x -3y = 10
Hệ phương trình lập được là :