










GIỚI THIỆU CHƯƠNG III
GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn
Bảng hệ thống kiến thức về góc với đường tròn
BÀI TẬP
Bài 1: Cho (O) và 1 điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M kẻ 2 đường thẳng, đường thẳng thứ nhất cắt đường tròn (O) tại A và B, đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) tại C và D.
CMR: MA.MB = MC.MD
Đường tròn(O), M cố định
Qua M kẻ 2 đường thẳng
cắt (O) tại A, B
cắt (O) tại C, D
MA.MB = MC.MD
GT
KL
* TH1: điểm M nằm bên trong đtròn (O)
Xét và , ta có:
(đối đỉnh)
(góc nt chắn cung BC)
* TH2: điểm M nằm bên ngoài đtròn (O)
- Xét tam giác MAD và tam giác MCB, ta có:
(chung)
(góc nt chắn cung AC)
chung
Bài 2: Trên một đtròn lấy liên tiếp ba cung: AC, CD, DB sao cho sđ = sđ = sđ = 600
Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E, hai tiếp tuyến của đtròn tại B và C cắt nhau tại T. CMR:
a)
b) CD là tia phân giác của góc BCT?
Trên (O) vẽ
AC cắt BD tại E;
Hai tiếp tuyến tại B; C cắt (O) tại T
GT
KL
a) Ta có:
Do đó:
( Tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)
( Tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)
b) Ta có:
(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
CD là tia phân giác của
(góc nội tiếp)
Do đó:
Tia CD nằm giữa tia CT và CB
CD là tia phân giác của
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtròn (O), tia phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đtròn ở M.
a) CMR: OM vuông góc với BC
b) Phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt (O) ở N. CMR: Ba điểm M, O, N thẳng hàng.
c) Gọi K là giao điểm của NA và BC, I là trung điểm của KD. CMR: IA là tiếp tuyến của đtròn (O)

nội tiếp (O)
c) NA cắt BC tại K,
I là trung điểm của KD
b) M, O, N thẳng hàng
c) IA là tiếp tuyến của (O)
GT
KL
Phân giác của góc A cắt BC ở D, cắt đường tròn ở M
a) Ta có:
Do
OM là trung trực của BC
( AD là phân giác của góc A )
( Hệ quả của góc nội tiếp)
( Quan hệ giữa cung và sđ cung)
( Quan hệ giữa cung và dây cung)
b) Ta có:
Và
Mà là góc nội tiếp
Suy ra MN là đường kính.
Vậy M, O, N thẳng hàng
Lại có:
Vì: AM là phân giác của
AN là phân giác của
( Hai góc kề bù )
Do đó
c) Do
vuông tại A mà IK = ID => IK = IA = ID
=> tam giác IAD cân tại I
Mặt khác: tam giác OAM cân tại O
Từ (1) và (2)
Do tam giác MHD vuông tại H (theo a)
Từ (3) và (4)
IA là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C, D thuộc nửa đường tròn (C thuộc cung AD). AD cắt BC tại H, AC cắt BD tại E. Chứng minh rằng:
a) EH vuông góc với AB
b) Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại D, cắt EH tại I. Chứng minh rằng: I là trung điểm của EH
b) I là trung điểm của EH
GT
KL
Nửa (O), đường kính AB
C, D thuộc nửa (O), ( C thuộc cung AD)
AD cắt BC tại H, AC cắt BD tại E
b) Tiếp tuyến với nửa(O) tại D cắt EH tại I
a) Ta có:
(góc nt chắn nửa đtròn)

(góc nt chắn nửa đtròn)
Xét , ta có:
H là trực tâm của tam giác EAB
H là trực tâm của tam giác EAB
(Tính chất 3 đường cao của tam giác)
b) Ta có:
(cùng phụ
);
(cùng chắn
cân tại I => IH = ID (1)
Mặt khác:
cân tại I
=> ID = IE (2)
Từ (1) và (2)
=> IH = IE
=> I là trung điểm của EH
I là trung điểm của EH
IH = IE
IH = ID
ID = IE
Bài 5: Cho (O), từ điểm M nằm ngoài đtròn (O) vẽ các tiếp tuyến MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O, A nằm giữa M và B. Tia phân giác của góc ACB cắt AB ở E
a) CMR: MC = ME
b) DE là phân giác của góc ADB
c) Gọi I là trung điểm của AB. CMR 5 điểm O, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn
d) CMR: IM là phân giác của góc CID
a) MC = ME
GT
KL
M nằm ngoài (O
MC, MD là tiếp tuyến của (O), ( C, D là tiếp điểm)
Cát tuyến MAB không đi qua tâm O
A nằm giữa M và B
Tia phân giác của cắt AB ở E
b) DE là phân giác của
a) + Ta có:
(gt)

(cùng chắn cung AC)
+ Mặt khác:
(tính chất góc ngoài của tam giác)(2)
cân tại M
+ Từ (1) và (2)
=> MC = ME
MC = ME
DE là phân giác của của góc ADB
Tia DE nằm gữa tia DB và DA
Tia DA nằm giữa tia DM và DE
Góc ngoài của tam giác BED
MD = ME
MD = MC
MC = ME
a) MC = ME
GT
KL
M nằm ngoài (O
MC, MD là tiếp tuyến của (O), ( C, D là tiếp điểm)
Cát tuyến MAB không đi qua tâm O
A nằm giữa M và B
Tia phân giác của cắt AB ở E
b) DE là phân giác của
c) I là trung điểm của AB
c) O, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn
d) IM là phân giác của góc CID
c) + Do MC, MD là các tiếp tuyến của (O)
Tứ giác OCMD nội tiếp đường tròn
đường kính OM (Dấu hiệu)
+ (*) và (**)
=> 5 điểm 0, I, C, M, D cùng nằm trên một đtròn
+ Lại có: I là trung điểm của AB (gt )
4 điểm O, C, D, M thuộc đtròn
đường kính OM (*)
(định lý đường kính và dây cung)
=> IO vuông góc với IM
=> tam giác IOM vuông tại I
=> 3 điểm I, O, M thuộc đtròn có đường kính OM (**)
d) + Xét đtròn đi qua 5 điểm:
O, I, C, M, D
có đường kính OM, ta có:
=> IM là phân giác của
O, I, C, M, D
cùng nằm trên một đtròn
O, C, M, D
cùng nằm
trên một đtròn
O, I, M
cùng nằm
trên một đtròn
Tứ giác
OCMD
nội tiếp
đường tròn
đường kính OM
Tam giác
IOM
nội tiếp
đường tròn
đường kính OM
tam giác IOM
vuông tại I
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn ở D. Kẻ đường kính AE. CMR:
a) BC song song với DE
b) Tứ giác BCED là hình thang cân
a) + Ta có: BC vuông góc với AD (gt) (1)
(góc nt chắn nửa đtròn) => DE vuông góc với AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC // DE (cùng vuông góc với AD)
+ Mà
2 đường chéo bằng nhau
(Chú ý: Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân (VD: Hình bình hành là hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình thang cân))
2 góc ở 1 đáy bằng nhau
b) Do BC // DE suy ra tứ giác BCED là hình thang (1)
+ Lại có: BC // DE
(2 cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)
(liên hệ giữa cung và dây) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCED là Hình thang cân. ( Dấu hiệu)
BÀI VỀ NHÀ
Bài 1: Cho đtròn (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đtròn; C là 1 điểm nằm giữa A và B. qua M kẻ đthẳng vuông góc với CM, đthẳng này cắt các tiếp tuyến của (O) kẻ từ A và B lần lượt tại E và F. CMR:
a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt
b) Tam giác ECF vuông tại C
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nt đtròn (O), có 2 đường cao BB’ và CC
a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt
b) Tia AO cắt đtròn (O) ở D và cắt B’C’ ở I. CMR: tứ giác BDIC’ nt
c) Chứng minh OA vuông góc với B’C’
Bài 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh BC và CD sao cho
.AM và AN cắt đường chéo BD tại P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. CMR:
a) Tứ giác ABMQ nt
b) Tam giác AQM vuông cân
c) AH vuông góc với MN
Bài 4: Từ 1 điểm M ở ngoài (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB với đtròn. Trên cung nhỏ AB lấy 1 điểm C. Vẽ CD vuông góc với AB, CE vuông góc với MA, CF vuông góc với MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. CMR:
a) Tứ giác AECD nt; tứ giác BFCD nt
b) CD2 = CE.CF
c) Tứ giác ICKD nội tiếp.
d) IK vuông góc với CD
Bài 5: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh AD. Vẽ đtròn (O) đường kính MB, cắt AC tại E (khác A). Gọi là giao điểm của ME và DC. CMR:
a) Tam giác BEM vuông cân
b) EM = ED
c) 4 điểm B, M, D, K thuộc cùng 1 đtròn
d) BK là tiếp tuyến của (O)
: ÔN TẬP CHƯƠNG III