Tiết 28 – 29:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

NHẮC LẠI KIẾN
THỨC VÉC TƠ
TRONG MẶT PHẲNG

Tiết 28 – 29:
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ TRONG
KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

AB (A là điểm đầu, B là điểm cuối).
Kí hiệu:
   
Hay: a, b, x, y,...

B
A

- Vectơ:
-Giá của vectơ:

AB, a, x.....
B

A

a

-Hai véc tơ cùng phương:
A

b

B
C

- Độ dài của vectơ:
-Hai vectơ bằng nhau:

- vectơ-không :

KÝ hiÖu:

D

AB  AB
A

B

C

D

 

0 AA BB

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ
TRONG KHÔNG GIAN
2. Phép cộng và trừ vectơ trong không gian
Phép cộng và phép trừ hai vectơ trong không gian
được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai
vectơ trong mặt phẳng. Các tính chất hoàn toàn tương tự
trong mặt phẳng như quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình
hành, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm…

+) Tổng 2 vectơ là 1 vectơ

b

a
a

A
+) Hiệu 2 vectơ là 1 vectơa 

B
a b

b

C

b a  ( b)

k a,
+) Tích 1 vectơ với 1 số thực là 1 vectơ

k 0

+) Tích vô hướng của 2 véctơ là 1 số thực

a.b  a b cos(a; b)

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN NHỚ
• Quy tắc ba điểm
  
Với ba điểm A,B,C bất kì luôn có: AB + BC = AC
• Quy tắc hình bình hành
  
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
• Quy tắc trung điểm đoạn thẳng
Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì
  
 

IA  IB 0 hay MA  MB 2 MI , M .
• Quy tắc trọng tâm tam giác
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
   
  

GA  GB  GC 0 hay MA  MB  MC 3MG , M .

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ
TRONG KHÔNG GIAN
• Quy tắc hình bình hộp
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.
Khi đó ta có
   
AB  AD  AA '  AC '.
• Quy tắc trọng tâm tứ diện
Nếu G là trọng tâm
tứ diện ABCD thì

   
GA  GB  GC  GD 0
    
Hay MA  MB  MC  MD 4MG , M .

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 véc tơ trong không gian
Trong không gian cho 3 véc tơ


a

  

a, b, c 0

A

Từ một điểm O bất kỳ ta vẽ ba véc tơ


 
 

OA a, OB b, OC c

o

+ OA, OB, OC không cùng
nằm
trên một mặt



phẳng. Khi đó ta nói
không đồng
a
,
b
,
c
phẳng


c

B


C b

+ OA, OB, OC cùng nằm trên một mặt phẳng. Khi
   đồng phẳng
đó ta nói

a , b, c

O

c


a

b

A
B
C

MH

2. Định nghĩa
Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng
nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lý 1


a, b không cùng
Trong không
gian
cho
hai
vectơ


phương vectơ c . Khi đó ba vectơ a, b, c  đồng
 phẳng
khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c ma  nb. Ngoài

ra cặp số m, n là duy nhất.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Định lý 2: Biểu thị một véc tơ bất kỳ theo ba véc tơ không
đồng phẳng


Trong không gian cho bavectơ không đồng phẳng a, b, c
Khi đó với mọi 
vectơ xta đều tìm
 được một bộ ba số
m, n, p sao cho x ma  nb  pc. Ngoài ra bộ ba số m,
n, p là duy nhất.

c


aO


x

D


b

D'

Ví dụ



    
Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB a, AD b, AE c.
Gọi I là trung điểm của BG.
Hãy biểu thị vectơ AI theo ba vectơ
.

BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh:
   
a. AB  B ' C '  DD '  AC ';
   
b. BD  D ' D  B ' D ' BB ';
   
c. AC  BA '  DB  C ' D 0.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm
nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. Chứng minh
   
rằng:
SA  SC SB  SD.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

1 
  1
MN  ( AD  BC )  ( AC  BD).
2
2

BÀI TẬP
Bài 4. Cho
Xác định hai điểm E, F sao
 tứ diện
 ABCD.

cho: a. AE  AB  AC  AD;
   
b. AF  AB  AC  AD.
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Chứng minh rằng:
   
DA  DB  DC 3DG.
Bài 6. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và
BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của MN và P
là điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:
    
a. IA  IB  IC  ID 0;

1   
b. PI  ( PA  PB  PC  PD).
4