Trong thực tế chúng ta có thể bắt gặp nhiều hình ảnh ứng với các
đường elip, hypebol , parabol , gọi chung là 3 đường Conic.

Hình 7.17

Trong bài học này chúng ta sẽ
nghiên cứu các các phương
trình đại số mô tả các đường
conic.

1

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định
F1, F2 trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa
hai điểm F1, F2 ). Kéo căng sợi dây tại một điểm M bởi một đầu bút
dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một
đường khép kín (H.7.18).
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng
các khoảng cách từ nó tới các vị trí F 1, F2 có thay đổi không? Vì sao?

a) Đường vừa nhận được có liên hệ với Hình 7.17b, hai
hình này có dạng gần giống nhau.
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường
nói trên, tổng các khoảng cách từ đầu bút tới các vị trí
F1, F2 không thay đổi vì nó luôn bằng độ dài của sợi dây.

Hình 7.18

 Cho hai điểm cố định và phân biệt F1, F2 . Đặt
Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho
được gọi là đường elip.
Hai điểm F1, F2 gọi là hai tiêu điểm
được gọi là tiêu cự của elip đó.
M

F1

2a

F2

Cho lục giác ABCDEF . Chứng minh rằng bốn điểm B, C,
E, F cùng thuộc một elip có hai tiêu điểm là A và D.
B

C

Lục giác ABCDEF có các cạnh bằng nhau và

các góc đều có số đo 1200

Do đó các tam giác ABC, BCD, DEF, EFA bằng
nhau. Suy ra :
Từ đó , ta có :

A

D

F

Hình 7.19

Vậy B, C, E, F cùng thuộc một elip có 2 tiêu điểm là A và D

E

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20).
Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn
lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về
lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn
từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay
không? Vì sao?

 Vị trí ban đầu của bi và vị trí của lỗ thu là 2
tiêu điểm của hình elip
Gọi hai tiêu điểm này lần lượt là F1 và F2. Bi lăn
từ F1 đến một vị trí M trên hình elip rồi đi đến F2.
Do đó, quãng đường bi đi được là: MF1 + MF2.
Theo tính chất hình elip thì MF1 + MF2 = 2a không đổi.

Hình 7.20

Vậy độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu không phụ
thuộc vào đường đi của bi.

2

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục
tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox trùng tia OF2
a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F1, F2.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2a

(1)
y

a) Vì F1F2 = 2c, mà O là trung điểm của F1F2.
Do đó ta có: F1O = F­2O = c.
Quan sát hình ta thấy, điểm F­1 thuộc trục Ox, nằm
bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F1O nên
tọa độ F1­(– c; 0).
Điểm F­2 thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách
O một khoảng bằng F2O nên tọa độ F2­(c; 0).
Vậy tọa độ các tiêu điểm: F1(– c; 0) và F2(c; 0).

M(x;y)

F1

O

Hình 7.21

F2

x

2

Xét một elip (E) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục
tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, tia Ox trùng tia OF2
a) Nêu tọa độ của các tiêu điểm F1, F2.
b) Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi

( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2a

(1)

b) M thuộc elip (E) nên: MF1 + MF2 = 2a.

y

Ta có : MF1 = ( x - (- c )) 2 + ( y - 0) 2 = ( x - c )22 + y 22

MF2 = ( x - c) 2 + ( y - 0) 2 = ( x - c) 22 + y 22

M(x;y)

F1

O

F2

Þ MF1 + MF2 = ( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2a
Vậy điểm M(x; y) thuộc elip khi và chỉ khi :

( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2a

Hình 7.21

2
2
x
y
2
2
 Chú ý : phương trình (1) có thể viết dưới dạng
b
=
a
c
+
=
1
với
a 2 b2

x

 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục
hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó,
thì có phương trình : x 2 y 2
+ 2 = 1 (a > b > 0) (2)
2
a
b
 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2) đều là phương trình
của elip có 2 tiêu điểm
tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó
tới 2 tiêu điểm bằng 2a.
 Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip.

LUYỆN TẬP

2

Cho elip có phương trình chính tắc
Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip

2
 Ta có : ìïï a = 100

í 2
ïï b = 64
î

Þ c = a 2 - b 2 = 100 - 64 = 6

Vậy elip có hai tiêu điểm là F1(– 6; 0); F2(6; 0)
Tiêu cự là F1F2 = 2c = 2 . 6 = 12.

Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm
phía trên trục hoành của elip có phương trình
Biết rằng 1 đơn vị trên mặt phẳng tọa độ của bản vẽ thiết kế ứng
với 30 cm trên thực tế. Tính chiều cao h của ô thoáng tại điểm cách
điểm chính giữa của đế ô thoáng 75 cm.

 Ta có 30 cm trên thực tế ứng với 1 đơn vị
trên mặt phẳng tọa độ.
Nên 75 cm trên thực tế ứng với 75 : 30 = 2,5
Hình 7.22
đơn vị trên mặt phẳng tọa độ.
Gọi điểm M trên elip thỏa mãn có hoành độ là 2,5, suy ra tọa độ M(2,5; y)
Mà M thuộc (E) nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình (E), do đó:
39
2
(2,5) 2 y 2
Þ y » 1,56
+ =1 Þ y =
16
16
4
Khi đó chiều cao của ô thoáng là: h ≈ 1,56 . 30 = 46,8 cm.

Cho elip có phương trình :

7.19

Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

2
ì
ï
a
Ta có : ï = 36
í 2
ïï b = 9
î

Þ c = a 2 - b2 = 3 3

Do đó elip có các tiêu điểm là F1 (- 3 3;0) , F2 (3 3;0)
Tiêu cự : 2c = 2.3 3 = 6 3

7.22

Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm
A(5; 0) và có một tiêu điểm là F2(3; 0).

x2 y 2
Elip có dạng : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0)
a
b

52 0 2
2
2
Vì elip đi qua A(5;0) nên ta có : 2 + 2 = 1 Û a = 5
a
b
2
2
Û
a
b
=3
elip có tiêu điểm F2(3;0) nên
Û

2

Þ a =5

25 - b = 3 Û b 2 = 16 Þ b = 4

x2 y 2
+ =1
Vậy phương trình chính tắc của elip là :
25 16