LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP

11

Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
QUAN
HỆ
VUÔNG
GÓC
TRONG
KHÔNG
GIAN
HÌNH HỌC

Bài 2
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

I

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

II

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

IV

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

Câu 1 Nêu cách xác định góc giữa hai vectơ và đều khác trong hình học phẳng.
Trả lời

Trong mặt phẳng cho hai véctơ và đều khác véc tơ và một điểm O bất kì.

A

⃗𝒂

⃗
𝒃

Góc giữa
hai vectơ

O

⃗𝒂

⃗
𝒃

B

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng?
Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ?
b) Điền vào bảng bên dưới.
Trả lời
a) Trong mặt phẳng, cho ,  .
Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu
= .cos()

⃗𝒖 . ⃗𝒗
⇒ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒖⃗ , ⃗𝒗 ) =
¿ 𝒖⃗ ∨.∨ ⃗𝒗 ∨¿ ¿

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng?
Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ?
b) Điền vào bảng bên dưới.
Trả lời

= .cos()

b) Cho và
Góc

cos

⃗
⃗
|
 |𝒂|. 𝒃|

• ( Hai véc tơ cùng hướng)

 

1

• ( Hai véc tơ vuông góc)

 

0

 

0

• ( Hai véc tơ ngược hướng)

 

-1

 

-

Khi ta được
Hay

𝟐
𝟎
𝟐
⃗
  ⃗𝒂 . 𝒃=⃗𝒂 . ⃗𝒂 =⃗𝒂 =¿ ⃗𝒂 ∨.∨ ⃗𝒂 ∨𝒄𝒐𝒔(𝟎 )=¿ ⃗𝒂 ∨¿ ¿

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa

Trong không gian, cho .

⃗𝒖

⃗
𝑨𝑩 = 𝒖
⃗,
Kí hiệu là góc giữa hai vectơ và
⃗ ,⃗
𝟎 𝟎 ≤( 𝒖
𝒗 ) ≤𝟏𝟖𝟎𝟎
cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ.
( AB , AC ) = BAC = 60





( CD , DA )

= ADE = 120

( CH , BC )

= HCF = 1500

0



C



B



C

(⃗
𝒖, ⃗
𝒗 )= ^
𝐵𝐴𝐶

A



E

H

B

0



A

⃗𝒗

Ví dụ
1:tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của
Cho





D



F

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa

Trong mặt phẳng, cho u , v  0.

Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu u . v
u . v = |u| . |v| .cos( u , v )
Tính chất

𝒖⃗ . ⃗𝒗
Quy ước : Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì: u . v = 0 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒖⃗ , ⃗𝒗 ) = ⃗
¿ 𝒖∨.∨ ⃗𝒗 ∨¿¿

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Nhận xét

* Nếu u và v cùng hướng thì u . v =|u|.|v|
* Nếu u và v ngược hướng thì u . v = -|u|.|v|
* Nếu u và v vuông góc thì u . v = 0
* Ta có u =|u|
2

2

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Bài tập :
2 Dạng 1:Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
Phương pháp:
⃗ ∨.∨ ⃗𝒗 ∨.𝒄𝒐𝒔 (𝒖
⃗ , ⃗𝒗 )
- Áp dụng công thức: ⃗
𝒖 . ⃗𝒗 =¿ 𝒖
- Sử dụng tính chất và các nhận xét.
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian
1

Phương
pháp:
1
Cách 1: Áp dụng định nghĩa góc của 2 véc tơ trong không gian.
Cách 2: Sử dụng các nhận xét và tính chất

𝒖⃗ . ⃗𝒗
𝐜𝐨𝐬 ( 𝒖⃗ , ⃗𝒗 ) =
¿ ⃗𝒖∨.∨ ⃗𝒗 ∨¿¿

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 1

Cho góc giữa và bằng .
Tính tích vô hướng của hai véctơ và

Bài giải

⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(
⃗
𝒂 . 𝒃=¿ 𝒂 ∨.∨𝒃∨. 𝒄𝒐𝒔 𝒂 , 𝒃 )

¿𝟑.𝟓.𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟓
¿−
𝟐

𝟎

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,
và tam giác ABC vuông tại A. Khi đó

𝟐 𝒂 √𝟏𝟓
𝑨.
𝟓
𝟐

Bài
giải

𝑨𝑪=𝒂 √ 𝟐;𝑺𝑪=

𝟐𝒂 √ 𝟏𝟓
𝑩.
𝟓

𝒂 √𝟔
𝑪.
𝟐
𝟐

𝑫 . 𝒂 √𝟑
𝟐

√ ( 𝒂 √ 𝟑) +( 𝒂 √ 𝟐) =𝒂 √ 𝟓
𝟐

S

𝟐

𝑨𝑪
𝟏𝟎
√
^
⃗
^

 
cos
𝑺𝑪𝑨=
=
(⃗
)
𝑪𝑨 ; 𝑪𝑺 = 𝑺𝑪𝑨
𝑺𝑪 𝟓
𝟐
𝟏𝟎
𝟐
𝒂
𝟏𝟓
√
√
⃗
⃗
𝑪𝑨 . 𝑪𝑺=𝒂 √𝟐 . 𝒂 √ 𝟑.
=
.
𝟓
𝟓

B

A

D

C

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 1: Tính tích vô hướng của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 3

Cho hình lập phương có cạnh . Gọi là trung điểm . Giá trị là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

⃗
⃗
Ta   c ó:  𝐁' 𝐌. 𝐁𝐃'
⃗
⃗
⃗
¿ 𝐁' 𝐁+𝐁𝐀+ 𝐀𝐌

(

⃗
⃗
⃗
)(𝐁𝐀+ 𝐀𝐃+𝐃𝐃' )

A'

D'

𝟐 ⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
¿ 𝑩 ' 𝑩 . 𝑫𝑫 ' + 𝑩𝑨 + 𝑨𝑴 . 𝑨𝑫
𝟐

𝟐

𝒂
𝒂
¿− 𝒂 +𝒂 +
=
𝟐
𝟐
𝟐

𝟐

B'

C'

A

B

M

D

C

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 1

Cho hình lập phương .
Hãy tính góc giữa cặp vectơ và?
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

Ta có: (do là hình chữ nhật)

F

E

H

.
(Vì là hình vuông)

G

A

D

B

C

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 2
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và . Gọi M
là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ và.
Bài giải
cos(OM , BC) =

OM . BC

=

OM . BC

C

BC = 2

= OM . BC

AB

2
. 2
2
1
Mặt khác OM . BC = (OA + OB).(OC - OB)
2
12
= ( OA .OC - OA .OB + OB .OC - OB )
2
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên:

Suy ra: cos(OM , BC) = -

OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0, OB = 1

Vậy: (OM , BC) = 1200

OM . BC

2

OM =

O

2

=

2
2

B
A

M

1
2

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 3

Cho hình chóp có , các cạnh còn lại đều bằng .
Góc giữa hai vectơ và bằng
A. .

B. .

Bài giải

C. .

D. .

⃗
⃗
𝑺𝑩 . 𝑨𝑪
⃗
|⃗
|
|
𝑺𝑩 . 𝑨𝑪|

Ta có
¿

⃗
⃗
(⃗
)
𝑺𝑨+ 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪
𝟐

𝒂

𝟐

S

⃗
𝑺𝑨 .⃗
𝑨𝑪+ ⃗
𝑨𝑩 .⃗
𝑨𝑪
=
𝟐
𝒂

𝒂
−
+𝟎
𝟐
𝟏 Suy ra .
¿
=− .
𝟐
𝟐
𝒂

A

C

B

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong không gian
Ví dụ 4

Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và ?
A.

B.

C.

D.

Bài giải

⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
(
)
𝑬𝑭
−
𝑬𝑨
.
𝑬𝑮
𝑬𝑭
.
𝑬𝑮−
𝑬𝑨.
𝑬𝑮
𝐀𝐅
.
𝐄𝐆
⃗
⃗
¿
=
𝐜𝐨𝐬 ( 𝐀𝐅 ; 𝐄𝐆 ) =
𝑨𝑭
.
𝑬𝑮
𝑨𝑭
.
𝑬𝑮
𝐀𝐅 .𝐄𝐆
𝟎
⃗
⃗
𝑬𝑭 . 𝑬𝑮 𝒂. 𝒂 √ 𝟐 .𝒄 os𝟒 𝟓 𝟏
𝟎
¿
=
= ⇒ (⃗
⃗
)
𝐀𝐅
;
𝐄𝐆
=𝟔𝟎
𝑨𝑭 . 𝑬𝑮
𝟐
𝒂 √ 𝟐. 𝒂 √ 𝟐

F

E

H

G

A

D

B

C

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Định nghĩa

Vectơ a khác vectơ - không được gọi là
vectơ chỉ phương của đường thẳng d
nếu giá của vectơ song song hoặc trùng
với đường thẳng d
k0

a

(d)



a
(d')

b

a

a

ka

(d)

(d)

b

(d1)
(d2)

A

d1 // d2  a , b cùng phương

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ví dụ 1

Bài giải

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Véctơ chỉ phương của đường
thẳng AC là

Vì A'C'//AC

C'

B'

A'
D'

B

A

C

D

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN
Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong
a
không gian là góc giữa hai đường thẳng
a'
O

a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt
song song với a và b
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng thì 00    900

b



a

a



O

a'

b



u

b
00  ( u , v ) 
0
90

v
Góc giữa hai đường thẳng
a và b bằng ( u , v )

b'

b

a
v



u
( u , v ) > 900

Góc giữa hai đường thẳng
a và b bằng 1800 – ( u , v )

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN

Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp chung xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian?
Phương pháp
Phương pháp dùng định nghĩa

1:
Bước 1:Chọn 1 điểm trên đường thẳng này và kẻ đường thẳng song song với đường

kia.

Bước 2:

Dựa vào hệ thức lượng trong mặt phẳng để tính góc đó.

Phương pháp 2:

Phương pháp vectơ

Bước Dựa vào tích vô hướng để tính góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường
1:
thẳng.
Bước
2:

Từ góc giữa 2 vectơ chỉ phương suy ra góc giữa 2 đường thẳng.

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 1

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính góc giữa các cặp đường
thẳng sau đây:
a) AB và B'C'
b) AC và B'C'



Bài giải



B'

Góc giữa AB và B'C' bằng góc

ABC = 90

0

Góc giữa AC và B'C' bằng góc

ACB = 45

0



A'



C'



D'

B



A



C



D

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC =
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài giải
⃗
⃗
Ta có: 𝒄𝒐𝒔( 𝑨𝑩 , 𝑺𝑪)=

⃗
⃗
𝑨𝑩 . 𝑺𝑪
⃗
⃗
¿ 𝑨𝑩 ∨.∨ 𝑺𝑪 ∨¿¿

=¿¿

⃗
⃗
⃗
⃗
𝑨𝑩 . 𝑺𝑨 + 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪
=
𝟐
𝒂



Tam giác ABC có AB2 + AC2 = 2a2 = BC2
nên tam giác ABC vuông tại A  = 0
Tam giác SAB đều nên () = 120

0

Do đó: = a.a.cos120 =
0

𝟐

𝒂
−
𝟐
𝟏
0
𝐜𝐨𝐬
(
𝑨𝑩
,
𝑺𝑪
)=
=−
 = 120
Vậy:
𝟐
𝟐
𝒂



S
a

a
a

A

a



C

a 2



B

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 3 Cho hình lập phương có , tương ứng là trung điểm của và . Góc
giữa hai đường thẳng và bằng:
A. 45o.
B. 60o
C. 30o .
D. 120o.

Bài giải
Gọi là trung điểm của

Vì là hình vuông nên ,
suy ra góc giữa và bằng góc giữa và .
Ta có ; ;
Vì là hình lập phương nên:
suy ra
Suy ra tam giác là tam giác đều, suy ra .
Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh là ; cạnh và vuông góc với
đáy. Gọi là trung điểm của . Tính với là góc tạo bởi hai đường thẳng và .
A. .
B. .
C. .
D. .
Bài giải
Gọi , lần lượt là trung điểm và .

.

S

Suy ra

P

Xét có , , .
Khi đó

A

D

N

.

B

M
C

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

III GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 5

Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là trung điểm của . Tính côsin của góc
giữa hai đường thẳng và ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Bài giải

nên

Gọi là trung điểm . Khi đó
Dễ dàng tính được và .
Trong , ta có:

D
a

𝟐

𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝑫
𝑴
+
𝑴
𝑵
−
𝑫
𝑵
𝟒
^
𝒄𝒐𝒔 𝑫𝑴𝑵 =
¿
𝟐 𝑫𝑴 . 𝑴𝑵
𝒂 √𝟑 𝒂
𝟐⋅
⋅
𝟐
𝟐

𝟑
√
¿
𝟔

𝟑
𝟑
√
√
^
𝑽 ì 𝒄𝒐𝒔 𝑫𝑴𝑵 = >𝟎 𝒏ê 𝒏 𝒄𝒐𝒔 ( 𝑫𝑴 , 𝑴𝑵 ) = . Vậy
𝟔
𝟔

a

N

A

C
M

a

𝟑
√
¿
𝟔

B

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG

GIAN
Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900
Hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau được kí hiệu là a  b

a

u

a



a

b

v

b

a  b  u.v = 0

c
b / /c
 ab

a  c


I

b

a
b

ab
và a cắt b tại I

ab
và a, b chéo nhau

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 1 Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và PQ vuông góc nhau.



Bài giải

Ta có: PQ = PA + AC + CQ

P

Và: PQ = PB + BD + DQ

1
Do đó: 2PQ = AC + BD  PQ = 2 (AC + BD)

Khi đó:

PQ . AB =
=



A

1
(
AC
2

+ BD ).AB

1
(
AC
2

1
. AB + BD . AB ) = (0 + 0) = 0
2

Vậy PQ . AB = 0. Suy ra PQ  AB



B



D




Q

C

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 2 Cho hình lập phương . Góc giữa hai đường thẳng
và bằng
A. .
B. .
C. .
D. .

Bài giải
Ta có:
' ⃗ ⃗' ⃗' ⃗' ⃗ ⃗
⃗
¿ 𝑪 𝑫 . 𝑨𝑫 + 𝑪 𝑫 . 𝑫 𝑪 =𝑪 𝑫 . 𝑨𝑫 + 𝟎

.
Suy ra
Do đó góc giữa hai đường thẳng và là .

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG

GIAN
Ví dụ 3 Cho tứ diện đều . Khi đó góc giữa và bằng:
A.. B..

C..

D..

Bài giải
Giả sử tứ diện đều cạnh .

A

⃗
⃗
|
|
𝑨𝑩
.
𝑪𝑫
Ta   c ó:𝒄𝒐𝒔 ( 𝑨𝑩 , 𝑪𝑫 )=|𝒄𝒐𝒔 (⃗
𝑨𝑩 , ⃗
𝑪𝑫 )|=

(⃗
|
𝑪𝑩 − ⃗
𝑪𝑨 ) .⃗
𝑪𝑫|
¿
𝒂

¿

𝑨𝑩 . 𝑪𝑫

B

𝟐

|𝑪𝑨 . 𝑪𝑫 . 𝒄𝒐𝒔 ^
𝑨𝑪𝑫 − 𝑪𝑩 . 𝑪𝑫 . 𝒄𝒐𝒔 ^
𝑩𝑪𝑫|

Vậy góc giữa và bằng .

D

𝒂

𝟐

C

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11
IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG
GIAN
Ví dụ 4 Cho hình hộp
có tất cả các cạnh bằng
. Chứng minh là hình vuông.
Bài giải

Ta có:

a

và

Vậy là hình bình hành.

Mặt khác:
Do đó là hình thoi.

C

B

Ta lại có:
𝟐

Suy ra

D

A

𝟐

𝒂
𝒂
⃗
⃗
⃗
⃗
¿ 𝑪𝑩 . 𝑩𝑨+ 𝑩𝑩 ' . 𝑩𝑨= + =𝟎
𝟐 𝟐

Vậy là hình vuông (đpcm).

A'
B'

D'
C'

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG

VíGIAN
dụ 5

Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC,
BD. Cho biết . Chứng minh:

Bài giải
𝟏
𝟏
𝟐
Ta có: 𝑰𝑱 = 𝟐 𝑨𝑩 ; 𝑰𝑲 = 𝟐 𝑪𝑫 = 𝟑 𝑨𝑩 ;

𝟏
𝟐 𝟒
𝟐 𝟐𝟓
𝟐
𝑰 𝑱 +𝑰 𝑲 = 𝑨 𝑩 + 𝑨 𝑩 =
𝑨 𝑩 (𝟏 )
𝟒
𝟗
𝟑𝟔
Mà
𝟐

A

𝟐

Từ (1) và (2) ta được:
Vậy
Vì IK là đường trung bình của tam giác BCD nên:
Từ (*) và (**) ta suy ra

J
B

K
I
C

D

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

11
IV HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG
GIAN
Ví dụ 6 Cho tứ diện có và
. Gọi và lần lượt là trung điểm của và .
Chứng minh đường thẳng và vuông góc.
Bài giải

⃗
⃗
⃗
⃗
𝑰𝑱 = 𝑰𝑩+ 𝑩𝑪 + 𝑪𝑱 ( 𝟐 )

⃗
⃗
⃗
(
𝟐 𝑰𝑱 = 𝑨𝑫 + 𝑩𝑪 )

Lấy ta được:
2

𝟐 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
¿ 𝑨 𝑫 − 𝑨𝑫 . 𝑨𝑪 + 𝑨𝑪 . 𝑨𝑫
− 𝑨 𝑪 − 𝑨𝑩 . 𝑨𝑫+ 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪
𝟐

=0
Vậy suy ra .

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG
GÓC GÓC
HAI ĐƯỜNG
THẲNG
VUÔNG

LỚP HÌNH HỌC
TOÁN
THPT

11

Góc giữa hai vectơ trong không gian Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

u



A

v



00    900
B



C

0 (u,v)
0
180
0

cos( u,v ) =

u.v
u.u

a



u

b



v
v

00  ( u , v ) 
900

(u,v)>
900

Hai đường thẳng vuông góc

a  b   = 900
a  b  u.v = 0

u