18 dm

Cắt thành các thanh gỗ có

x lớn nhất

độ dài như nhau mà không
để thừa mẫu gỗ nào?

+
….
30 dm
Độ dài lớn nhất có
thể của mỗi thanh gỗ
được cắt?

BÀI 11: ƯỚC CHUNG.
ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
( 2 tiết)

NỘI DUNG
1

Ước chung và ước chung lớn nhất

2

Cách tìm ước chung lớn nhất

3

Rút gọn về phân số tối giản.

Tiết 1
1. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
2. CÁCH TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

I. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
Ước chung và ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số
HĐ1 Tìm các tập hợp Ư(24) và Ư(28)

HĐ2

Tập hợp
Ư(24)

1

2

3

4

6

8

Tập hợp
Ư(28)

1

2

4

7

14

28

24

Gọi ƯC(24, 28) là tập hợp các số vừa là ước của 24, vừa là
ước của 28. Hãy viết tập hợp ƯC(24,28).
ƯC (24, 28) = { 1; 2; 4}

HĐ3

12

Tìm số lớn nhất trong tập ƯC(24, 28).
4

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả
các số đó.
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn
nhất trong tập hợp tất cả các ước chung của số đó.
Ta kí hiệu: ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b;
ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất cả a và b.
 ƯC(a, b) là một tập hợp;
 ƯCLN(a, b)là một số.
 Ta chỉ xét ước chung của các số khác 0.

Ví dụ 1

Tìm ƯCLN(18, 30)

Ư(18) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
Þ ƯC(18, 30) = {1; 2; 3; 6}.
Þ ƯCLN(18, 30) = 6

Chú ý
x ƯC(a, b, c)
nếu a x, b x và c x

Ví dụ 2

Em hãy giải bài toán mở đầu.

Độ dài lớn nhất ( đơn vị dm) của mỗi thanh gỗ được cắt
chính là ƯCLN (18, 30) = 6.
Vậy, bác thợ mộc nên cắt các tấm gỗ thành các thanh gỗ
dài 6dm.

* Tìm ƯCLN trong trường hợp đặc biệt:
+ Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số
còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy:
Nếu a b thì ƯCLN ( a , b) = b.
VD: Vì 18 6 nên ta có ƯCLN (18, 6) = 6 
+ Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b,
ta có:
ƯCLN ( a , 1) = 1; ƯCLN (a , b , 1) = 1

Tìm ƯCLN (90, 10)
Ư (90) = { 1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 30; 45; 90}
Ư (10) = { 1; 2; 5; 10}
=> ƯC(90, 10) = {1; 2; 5; 10}.
Vậy ƯCLN(90, 10) = 10

Luyện tập 1
Bố có 12 quả bóng màu xanh và 15 quả bóng màu đỏ. Bố muốn chia
số bóng cho anh em Việt, Hà và Nam đều như nhau gồm cả bóng
màu xanh và bóng màu đỏ. Hỏi bố có thực hiện được điều đó hay
không?
Có Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Ư(15) = {1; 3; 5; 15}
Þ 3 ƯC(12, 15)
Vậy bố có thể thực hiện được phép chia này

Vận dụng 1
Tuần này lớp 6A và 6B gồm 40 học sinh nữ và 36 nam được phân công đi
thu gom rác làm sạch bờ biển ở địa phương. Nếu chia nhóm sao cho số học
sinh nam và nữ trong các nhóm bằng nhau thì:
a) Có thể chia được thành bao nhiêu nhóm học sinh?
Gọi x là số nhóm học sinh chia được (nhóm, x * , x > 1)
Khi đó x ƯC(36, 40)
Ta có: Ư(36) ={1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
Ư(40) = { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}
Vì x > 1 và x ƯC (36, 40)
=> x {2; 4}.
b) Có thể chia được thành bao nhiêu nhóm học sinh?
b) Số nhóm chia được nhiều nhất là: x = ƯCLN (36, 40) = 4

2. CÁCH TÌM ƯỚC
CHUNG LỚN NHẤT

Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số
nguyên tố.
Ta có thể tìm ƯCLN(24, 60) theo các bước sau:
Bước 1. Phân tích 24 và 60 ra thừa số nguyên tố, ta được:
24 = 2. 2. 2. 3 = 23 .3
60 = 2. 2. 3. 5 =22 .3. 5
Bước 2. Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 24 và 60.
Bước 3. Trong các phân tích ra thừa số nguyên tố của 24 và 60, số
mũ nhỏ nhất của thừa số chung 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của thừa số
chung 3 là 1 nên ƯCLN(24, 60) = 22 . 3 = 12

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:
Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy
với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Tìm ƯCLN (45, 150),
biết 45 = 32 . 5 và 150 = 2 . 3. 52
Giải:
Có : 45 = 3 . 5
2

150 = 2 . 3. 5

2

=> ƯCLN(45, 150) = 3 . 5 = 15

Luyện tập 2
Tìm ƯCLN (36, 84)

36 = 2 .3 .
2

2

84 = 2 . 3 . 7
2

=> ƯCLN (36, 84) = 2 . 3 = 12
2

Vận dụng 2
Một đại đội bộ binh có ba trung đội: trung đội I có 24 chiến sĩ, trung
đội II có 28 chiến sĩ, trung đội III có 36 chiến sĩ. Trong cuộc diễu
binh, cả ba trung đội phải xếp thành các hàng dọc đều nhau mà
không có chiến sĩ nào trong mỗi trung đội bị lẻ hàng. Hỏi có thể xếp
được nhiều nhất bao nhiêu hàng dọc?

Giải:

Gọi x là số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được, x
Khi đó x ƯCLN(24, 28, 36)
Ta có: 24 = 23. 3;
28 = 22 . 7 ;
Þ ƯCLN(24, 28, 36) = 22.

36 = 22 . 32

Vậy có thể xếp được nhiều nhất 4 hàng dọc.

*

, x > 1)

Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất
• Ta đã biết ƯC (24, 28) = {1; 2; 4} và ƯCLN (24, 28) = 4
• Ta thấy 1; 2; 4 là tất cả ước của 4.
Để tìm ước chung của các số, ta có thể làm như sau:
1. Tìm ƯCLN của các số đó.
2. Tìm các ước của ƯCLN đó.

Biết ƯCLN (75, 105)= 15. Hãy tìm ƯC(75, 105

Có: 75 = 3.52.
105 = 3. 5. 7
=> ƯCLN (75, 105) = 3 . 5 = 15
=> ƯC ( 75, 105) = Ư (15) = {1; 3; 5; 15}

Chú ý
- Khi tìm ước chung của các số, người ta
thường dựa vào ƯCLN của chúng.
Chẳng hạn:
ƯCLN (168, 180) = 2 .3 = 4.3 = 12.
2

1

=> ƯC (168, 180) = Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}

Thử thách nhỏ
HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI
Vào ngày thứ Bảy, cô Lan tổ chức cho học sinh
đi tham quan Bảo tàng Dân tộc học. Các học
sinh đóng tiền mua vé, mỗi em một vé. Số tiền
cô Lan thu được từng ngày được ghi lại ở bảng
bên.
a) Hỏi số tiền để mua một vé ( giá vé được tính
theo đơn vị nghìn đồng) có thể là bao nhiêu,
biết giá vé lớn hơn 2 000 đồng?
b) Có bao nhiêu học sinh tham gia chuyến đi,
biết số học sinh trong lớp trong khoảng từ 20
đến 40 người.

Ngày
Thứ Hai

Số tiền đóng
( đồng)
56 000

Thứ Ba

28 000

Thứ Tư

42 000

Thứ Năm

98 000

Giải:

a) Gọi số tiền để mua một vé là: x (nghìn đồng, x N , x > 2).
=> x ƯC ( 56, 28, 42, 98)
56 = 23.7
28 = 22.7
42 = 2.3.7
98 = 2.72
Þ ƯCLN (56, 28, 42, 98) = 2.7 = 14
Þ ƯC ( 56, 28, 42, 98) = Ư (14)
= {1; 2; 7; 14}
Vì x > 2 => x {7; 14}
Vậy Giá tiền một vé có thể là 7000 đồng hoặc 14 000 đồng.
*

b) TH1: Giá vé: 7000 đồng

TH2: Giá vé: 14 000 đồng

Số học sinh ngày Thứ Hai đóng tiền là:

Số học sinh ngày Thứ Hai đóng tiền là:

56 000 : 7000 = 8 (học sinh)

56 000 : 14000 = 4 (học sinh)

Số học sinh ngày Thứ Ba đóng tiền là:

Số học sinh ngày Thứ Ba đóng tiền là:

28 000 : 7000 = 4 (học sinh)

28 000 : 14000 = 2 (học sinh)

Số học sinh ngày thứ Tư đóng tiền là:

Số học sinh ngày thứ Tư đóng tiền là:

42 000 : 7000 =6 (học sinh)

42 000 : 14000 =3 (học sinh)

Số học sinh ngày thứ Năm đóng tiền là:

Số học sinh ngày thứ Năm đóng tiền là:

98 000 : 7000 = 14 ( học sinh)

98 000 : 14000 = 7 ( học sinh)

Tổng số học sinh tham gia chuyến đi là:

Tổng số học sinh tham gia chuyến đi là:

8 + 4 + 6 + 14= 32 ( học sinh)
Vậy có 32 học sinh tham gia chuyến đi.

4 + 2 + 3 + 7= 16 ( học sinh)
Vậy có 16 học sinh tham gia chuyến đi.

Vì: Số học sinh trong lớp khoảng 20 đến 40 người => Số học sinh tham
gia chuyến đi là 32 học sinh. (giá vé 7000 đồng.)

Tiết 2
3. RÚT GỌN VỀ PHẦN SỐ TỐI GIẢN
+
LUYỆN TẬP – VẬN DỤNG

Vận dụng ƯCLN để rút gọn về phân số tối giản
• Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó
cho một ước chung khác 1 (nếu có).
• Phân số được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước
chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.
VD:
• Để đưa một phân số chưa tối giản về phân số tối giản, ta chia cả
tử và mẫu cho ƯCLN(a,b).
VD: chưa tối giản và ƯCLN(18, 30) = 6
=>
Ta có: là phân số tối giản.

Phân số đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hay
rút gọn về phân số tối giản.
Giải:
.

chưa là phân số tối giản vì ƯCLN(16, 10) = 2

=>
Vậy là phân số tối giản.

Chú ý
Nếu ƯCLN( a, b) = 1 thì hai số a,
b được gọi là hai số nguyên tố
cùng nhau.

Luyện tập 3
Rút gọn về phân số tối giản:
a)
;

a)

b)

b)

Phân số tối giản
a) Tìm ƯCLN(4, 9)
Có: ƯCLN(4,9) = 1.
=> Hai số 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Có thể rút gọn phân số được nữa hay không?
Ta có: ƯCLN(4, 9) = 1.
=> Ta không thể rút gọn phân số được nữa.
Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố
cùng nhau.

LUYỆN TẬP
2.30. Tìm tập hợp các ước chung của:
Trả lời:

a) 30 và 45

a) ƯC (30 ,45)
30 = 2.3.5
45 = 32.5
ƯCLN (30 , 45) = 3.5 = 15
Þ ƯC (30,45) = Ư (15)
= {1 ; 3 ; 5 ; 15}

;

b) 42 và 70
b) ƯC (42, 70)
40 = 2.3.7
70 = 2 . 5. 7
ƯCLN (42 , 70) = 2.7 = 14
Þ ƯC (42, 70) = Ư (14)
= {1 ; 2 ; 7 ; 14}

2.33. Cho hai số a = 72 và b = 96.
a) Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố;
b) Tìm ƯCLN(a, b), rồi tìm ƯC(a, b).
Giải:
a) a = 72 = 2 .3
3

2

b = 96 = 25.3
b) ƯCLN (a,b) = 23.3=24
=> ƯC (a, b) = Ư (24) = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24}

2.34. Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu
chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản:
a)
;
b)
Giải:
a)

b) là phân số tối giản vì ƯCLN ( 23, 81) = 1

5. Rút gọn các phân số sau về phân số tối giản:

Giải:

= ;

= ;

=

Vận dụng
2.35. Hãy cho hai ví dụ về hai số có ƯCLN bằng 1 mà cả hai đều là
hợp số.

Giải:
+18 và 35 đều là hợp số, nhưng ƯCLN(18,35) = 1
+ 27 và 16 đều là hợp số, những ƯCLN ( 27,16) = 1
+ 15 và 49 đều là hợp số, nhưng ƯCLN (15, 49) = 1
…………………………………………………………………………

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Đọc và ghi nhớ nội dung chính của bài.
- Vận dụng kiến thức làm bài tập 2.31 + 2.32
- Đọc, tìm hiểu thêm mục “Em có biết”
- Đọc trước bài “Bội chung. Bội chung nhỏ nhất”

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ
CHÚ Ý BÀI GIẢNG!