7

PHÉP ĐỒNG DẠNG

Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình.
Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán
học nào cho phép ta thể hiện điều đó?

1. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1. Hai tấm ảnh Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.
a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn
tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.
b) Nếu lấy hai vị trí A, B bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí
A, B tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách
giữa A và B gấp mấy lần khoảng cách giữa A và B?
Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.
Lời giải:
a) Qua đo đạc, ta thấy chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp 2 lần chiều
dài và chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.
b) Lấy các điểm A, B và A', B' tương ứng như hình vẽ.
Qua đo đạc ta thấy A'B' = 2AB.

1. ĐỊNH NGHĨA
Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k  0 ) nếu với hai điểm bất kì M, N và hai ảnh
M , N  tương ứng của chúng, ta có M N  kMN .

? Phép dời hình và phép vị tự tỉ số t có phải là các phép đồng dạng
hay không? Nếu có thì có tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Lời giải:
+ Phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số k = 1.
Thật vậy, ta chứng minh như sau:
Cho hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép dời hình. Khi đó
M'N' = MN (phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì). Do đó, M', N' là
ảnh của hai điểm M, N bất kì qua phép đồng dạng tỉ số 1.
+ Phép vị tự với tỉ số k là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|.
Thật vậy, ta chứng minh như sau:
Cho hai điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương ứng của nó qua phép vị tự tỉ số k.
Khi đó  . Do đó, M', N' là ảnh của hai điểm M, N bất kì qua phép đồng dạng tỉ số |k| (k > 0).

2. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép dời hình f và
một phép vị tự VO,k  là một phép đồng dạng với tỉ số k .
Lời giải:

Với hai điểm bất kì M, N, giả sử phép dời hình f biến M, N tương ứng thành M , N  và VO ,k  biến
M , N  tương ứng thành M , N  . Vì f là phép dời hình nên MN M N  . Mặt khác M N   k M N 

Do đó M N   k MN . Vậy ta có điều phải chứng minh.

2. VÍ DỤ

Luyện tập 1. Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng f
với tỉ số k1 và phép đồng dạng g với tỉ số k2 là một phép đồng dạng với tỉ số k1.k2 .
Lời giải:
Lấy hai điểm M, N bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N qua phép đồng
dạng f với tỉ số k1 thì ta có M'N' = k1MN.
Gọi M", N" tương ứng là ảnh của M', N' qua phép đồng dạng g với tỉ số k2 thì
ta có M"N" = k2­M'N'.
Khi đó ta có M"N" = k2 M'N' = k2 . (k1MN) = (k1.k2)MN.
Do đó, M", N" tương ứng là ảnh của M, N qua phép đồng dạng với tỉ số k1.k2.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

2. VÍ DỤ

Ví dụ 2. Trong Hình 1.51, Hình c) có kích thước gấp đôi các Hình a), b). Bằng quan sát, hãy chỉ ra phép
đồng dạng biến Hình b) thành Hình c).

Lời giải:

Phép đối xứng qua trục d biến Hình b) thành Hình a). Phép vị tự tâm O , tỉ số  2 biến Hình a)
thành Hình c). Như vậy, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục
d và phép vị tự V(O; 2) biến Hình b) thành Hình c).

2. VÍ DỤ
Chú ý: Với hai hình H và H ' , nếu có phép đồng dạng biến H thành H ' thì cũng có phép đồng dạng biến
H ' thành H và ta nói H và H ' đồng dạng với nhau.

Luyện tập 2: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B .Điểm M thay đổi trên đường thẳng d . Gọi
N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB và P là trung điểm của đoạn thẳng BN . Chứng minh
rằng P thuộc một đường thẳng cố định.
Lời giải:

Vì N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB nên
ta có phép đối xứng trục AB biến điểm M thành điểm N.
Ta có P là trung điểm của BN nên  , do đó ta có phép vị
tự tâm B, tỉ số   biến điểm N thành điểm P.

Lời giải:
Vì N là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AB nên
ta có phép đối xứng trục AB biến điểm M thành điểm N.
Ta có P là trung điểm của BN nên  , do đó ta có phép vị
tự tâm B, tỉ số   biến điểm N thành điểm P.

Như vậy, phép đồng dạng có được bằng các thực hiện liên tiếp phép đối xứng
trục AB và phép vị tự   biến điểm M thành điểm P.
Mặt khác M thuộc đường thẳng d cố định, A và B cố định, do đó P thuộc đường thẳng
d' cố định là ảnh của đường thẳng d qua phép đồng dạng có được bằng các thực hiện
liên tiếp phép đối xứng trục AB và phép vị tự
Vậy P thuộc một đường thẳng cố định.

Vận dụng: Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy
chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.

Lời giải:

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc
quay 90° và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến hình Dinh Thống Nhất nhỏ thành
hình Dinh Thống Nhất lớn với O là điểm trên hình vẽ.

BÀI TẬP

Bài 1.24. Một phép đồng dạng biến ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC tương ứng thành A , B , C  .
BC CA AB
Chứng minh rằng         .
BC C A AB
Lời giải

Giả sử phép đồng dạng F biến ba đỉnh A, B, C của tam giác
ABC tương ứng thành A', B', C'. Khi đó ta có số k khác 0 thỏa
mãn: A'B' = kAB, B'C' = kBC, C'A' = kCA.
Suy ra:

BÀI TẬP

Bài 1.25. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho phép biến hình f biến mỗi điểm M ( x; y ) thành điểm
M  (3x;  3 y ) .
a) Tìm ảnh của các điểm O(0; 0), N (2;1) .

b) Chứng minh rằng f là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải
a) Ảnh của điểm O(0; 0) qua phép biến hình f là O'(3 . 0; – 3 . 0) ≡ O(0; 0).
Ảnh của điểm N(2; 1) qua phép biến hình f là N'(3 . 2; – 3 . 1) = N'(6; – 3).
b) Chọn hai điểm M(x; y), N(z; t) bất kì. Gọi M', N' tương ứng là ảnh của M, N
qua phép biến hình f. Khi đó M'(3x; – 3y), N'(3z; – 3t).
Ta có:

N ' =√ ¿ ¿
¿3 √¿ ¿

M

'

Suy ra M'N' = 3MN.
Vậy phép biến hình f là phép đồng dạng với tỉ số k = 3.