KHỞI ĐỘNG
Người ta gieo một đồng xu hình tròn bán kính 1 cm lên một tờ giấy trải phẳng. Trên
tờ giấy đó có vẽ những đường thẳng song song cách đều, tức là những đường thẳng
song song mà khoảng cách giữa hai đường thẳng bất kì nằm cạnh nhau luôn bằng
nhau. Nếu khoảng cách ấy luôn bằng 2 cm thì có thể xảy ra những trường hợp nào
sau đây, vì sao?
a) Đồng xu đè lên một đường thẳng
(đồng xu che khuất một phần của đường thẳng).
b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào;
c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng.

BÀI 16. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN

1. Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn
Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn

Hoạt động 1 (SGK – tr.99)
Cho đường thẳng a và điểm O. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống
a, và A là một điểm thuộc tia OH. Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy vẽ đường
tròn (O; OA) và cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; OA) có bao nhiêu
điểm chung?

Giải
a) OH < OA
Đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung

b) OH = OA

Đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung

c) OH > OA
Đường thẳng và đường tròn không có điểm chung

Kết luận
1. Đường thẳng và đường tròn gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai
điểm chung.
2. Đường thẳng và đường tròn gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có
duy nhất một điểm chung . Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó,
đường thẳng còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại .
3. Đường thẳng và đường tròn gọi là không giao nhau nếu chúng
không có điểm chung.

Nhận xét
1. Cho đường thẳng và đường tròn . Gọi là khoảng cách từ đến : Đường
thẳng và đường tròn cắt nhau khi , tiếp xúc với nhau khi và không giao
nhau khi .

2. Nếu hai đường thẳng
đường tròn tại thì .

tiếp xúc với

Luyện tập 1 (SGK – tr.100)
Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng bằng 4 cm. Không
vẽ hình, hãy dự đoán xem mỗi đường tròn sau cắt, tiếp xúc hay không
cắt đường thẳng a. Tại sao?
a) (O; 3 cm)
b) (O; 5 cm)
c) (O; 4 cm)

Giải
Ta có:
a)
Suy ra đường thẳng và đường tròn không giao nhau
b)
Suy ra đường thẳng cắt đường tròn
c)
Suy ra đường thẳng tiếp xúc với đường tròn .

Bài tập củng cố

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của
đường tròn
Hoạt động 2 (SGK – tr.100)
Cho đoạn thẳng OH và đường thẳng a vuông góc với OH tại H.
a) Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng a.
b) Nếu vẽ đường tròn (O; OH) thì đường tròn này và đường thẳng a có
vị trí tương đối như thế nào?

Giải

a) Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng .
b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng .

Định lí 1
Dấu hiện nhận biết tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng đi qua một
điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua
điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Ví dụ 1 (SGK – tr.101)
Cho là một dây không đi qua tâm của đường tròn . Đường thẳng qua
và vuông góc với cắt tiếp tuyến tại của ở điểm . Chứng minh rằng là
một tiếp tuyến của

Giải
Gọi D là giao điểm của AB và OC.
Trong tam giác cân AOB (OA = OB), đường cao OD (do OC AB) cũng là
đường phân giác của góc O, suy ra =
Ta có AOC = BOC (c.g.c), vì OC là cạnh chung, = và OA = OB.
Từ đó = = 90 (do CA là tiếp tuyến), tức là CB vuông góc với bán kính OB
tại B.
Do đó theo Định lí 1, CB cũng là tiếp tuyến của (O).

Luyện tập 2 (SGK – tr.101)
Cho một hình vuông có độ dài mỗi cạnh bằng 6 cm và hai đường
chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn (I; 3cm) tiếp xúc với
cả bốn cạnh của hình vuông.
Gợi ý
• Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông đối với
tam giác IBC, từ đó suy ra được khoảng cách từ I đến BC bằng 3 cm
hay BC tiếp xúc với (I; 3 cm).
• Chứng minh tương tự với 3 cạnh còn lại.

Giải
Gọi là chân đường vuông góc kẻ từ đến .
Khi đó cũng là trung điểm của .
Do là hình vuông nên và vuông góc.
vuông tại có trung tuyến
=>
=> Đường tròn tiếp xúc với cạnh
Tương tự, đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh còn lại.
Vậy tiếp xúc với bốn cạnh hình vuông

Thực hành (SGK – tr.101)
Cho đường thẳng a và điểm M không thuộc a. Hãy vẽ đường tròn tâm
M tiếp xúc với a.
Giải
Từ

kẻ vuông góc với đường thẳng , vẽ

đường tròn tâm bán kính là đoạn thẳng nối từ
tâm đến chân đường vuông góc.

Vận dụng (SGK – tr.101)
Trở lại tình huống mở đầu. Ở đây, ta hiểu đồng xu nằm đè lên một đường thẳng
khi đường tròn (hình ảnh viền ngoài của đồng xu) và đường thẳng ấy cắt nhau.
Bằng cách xét vị trí của tâm đồng xu trong một dải nằm giữa hai đường thẳng
song song cạnh nhau (cách đều hoặc không cách đều hai đường thẳng đó), hãy
chứng minh rằng chỉ xảy ra các trường hợp a và b, không thể xảy ra trường hợp
c.

Giải
* Đường kính của đồng xu là cm và bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
song song
* Giả sử nếu đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng tức là đồng xu đè lên
từ 2 đường thẳng trở lên, tức là đường tròn viền của đồng xu sẽ cắt hai đường
thẳng nên khoảng cách từ tâm của đồng xu đến 1 đường thẳng bé hơn bán
kính.
=> Do đó ta có: khoảng cách giữa hai đường thẳng song song gần nhất sẽ bé
hơn 2 lần bán kính của đường tròn tức là 2 cm (vô lí do khoảng cách giữa hai
đường thẳng là 2 cm).

Giải
* Giả sử sai nên đồng xu không thể cắt hai đường thẳng cùng 1 lúc.
Hay đồng xu chỉ cắt tối đa 1 đường thẳng (tức là đè lên 1 đường thẳng) hoặc
đồng xu nằm giữa hai đường thẳng (hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
viền ngoài của đồng xu) hay đồng xu không đè lên đường thẳng nào.

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của
một đường tròn
Hoạt động 3 (SGK – tr.101)
Cho điểm M ở bên ngoài một đường tròn tâm O. Hãy dùng thước và compa
thực hiện các bước vẽ hình như sau:
• Vẽ đường tròn đường kính MO cắt đường tròn (O) tại A và B;
• Vẽ và chứng tỏ các đường thẳng MA và MB là hai tiếp tuyến của (O)

Giải
có
Suy ra vuông tại
Suy ra tại hay là tiếp tuyến của
có
Suy ra vuông tại
Suy ra tại hay là tiếp tuyến của đường tròn

M

Hoạt động 4 (SGK – tr.101)
Dựa vào hình vẽ có được sau HĐ3
Bằng cách xét hai tam giác OMA và OMB, chứng minh rằng:
a) MA = MB;
b) MO là tia phân giác của góc AMB;
c) OM là tia phân giác của góc AOB.

M

Giải
a) Xét và có:
và chung
=> (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> (hai cạnh tương ứng)
b) Vì (câu a) nên (hai góc tương ứng)
=> là tia phân giác
c) Vì (câu a) nên (hai góc tương ứng)
=> là phân giác của

Định lí 2
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại điểm thì:
• Điểm cách đều hai tiếp điểm.
•

là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

•

là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Ví dụ 2 (SGK – tr.102)
Cho hai tiếp tuyến và của đường tròn ( và là hai tiếp điểm)
a) Chứng minh
b) Tính và , biết và .

Giải
a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên theo Định lí 2, ta có OM
là tia phân giác của góc AOB. Trong tam giác cân AOB (OA = OB), đường phân
giác OM cũng là đường cao nên ta có OM AB.
b) Tam giác OAM có = 90 (do MA tiếp xúc với đường tròn (O) tại A) và OA =
R = 2 cm, OM = 4 cm (giả thiết).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OAM ta có AM2 + OA2 = OM2
Từ đó suy ra:
AM2 = OM2 – OA2 = 42 – 22 = 12.
Vậy AM = = (cm).
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta cũng có BM = AM = cm.

Thử thách nhỏ (SGK – tr.103)
Cho góc xMy và điểm A thuộc tia Mx. Hãy vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với cả
hai cạnh của góc xMy sao cho A là một trong hai tiếp điểm.
Giải
• Vẽ , lấy điểm trên
•

Vẽ phân giác của

• Từ điểm kẻ đường thẳng vuông góc với tại và
cắt tia phân giác tại điểm
• Vẽ đường tròn

LUYỆN TẬP

Câu 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Đường thẳng và đường tròn có

B. Đường thẳng và đường tròn có

hai điểm chung thì đường thẳng và

hai điểm chung thì đường thẳng và

đường tròn cắt nhau

đường tròn tiếp xúc nhau

C. Đường thẳng và đường tròn có

D. Đường thẳng và đường tròn có

hai điểm chung thì đường thẳng và

hai điểm chung thì đường thẳng và

đường tròn không cắt nhau

đường tròn trùng nhau

Câu 2. Khi đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung thì:

A. đường thẳng và đường tròn

B. đường thẳng và đường tròn

trùng nhau tại điểm chung đó

tiếp xúc nhau tại điểm chung đó

C. đường thẳng và đường tròn

D. đường thẳng đi qua tâm của

không cắt nhau

đường tròn

Câu 3. Cho (O; 5cm) và đường thẳng d. Gọi OH là khoảng cách
từ tâm O đến a. Điều kiện để a và O có điểm chung là:

A. Khoảng cách OH ≤ 5 cm

B. Khoảng cách OH = 5 cm

C. Khoảng cách OH > 5 cm

D. Khoảng cách OH < 5 cm

Câu 4. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn (O)
tại hai điểm A và B sao cho AB = 4cm và khoảng cách từ tâm O đến
đường thẳng d là 1cm. Tính bán kính đường tròn (O).

A.

B.

C.

D.

Câu 5. Cho (O; 4cm).
Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4cm), khi đó:

A. Khoảng cách từ O đến

B. Khoảng cách từ O đến

đường thẳng d nhỏ hơn 4cm

đường thẳng d lớn hơn 4cm

C. Khoảng cách từ O đến

D. Khoảng cách từ O đến

đường thẳng d bằng 4cm

đường thẳng d bằng 5cm

5.20 (SGK – tr.103)
Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm
và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường
thẳng a và b. Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cánh
nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một
khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm
trên đường thẳng b thì hình tròn nào sẽ che khuất một phần của đường thẳng
a, hình tròn nào sẽ không che khuất một phần của đường thẳng a?

Giải

Giả sử bốn hình tròn bằng giấy có tâm lần lượt là . Khi đó, ta có các đường tròn
và . Tâm của các đường tròn này thuộc đường thẳng nên đều cách một
khoảng

• Đường tròn có bán kính 4 cm < nên không giao nhau với đường thẳng
• Đường tròn có bán kính nên tiếp xúc với đường thẳng
• Đường tròn có bán kính nên cắt đường thẳng
• Đường tròn có bán kính nên cắt đường thẳng
Từ đó suy ra các hình tròn và không đè lên đường thẳng ; Hình tròn và đè
lên đường thẳng .

5.21 (SGK – tr.103)
Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A.
Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp
tuyến của (O).

Giải
Gọi cắt tại và
=> là trục đối xứng của
=> là điểm đối xứng của qua
Vì cân tại nên
Mà // nên tại
Vậy là tiếp tuyến của đường tròn

VẬN DỤNG

5.22 (SGK – tr.103)
Cho góc xOy với tia phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên
cạnh Oy sao cho OA = OB. Đường thẳng qua A và vuông góc với Ox
cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của
đường tròn (M; MA).

Giải
Xét và có:
chung
(do là phân giác )

Do đó (c.g.c)
=> và (hai góc tương ứng) hay , .
Do đó là tiếp tuyến của đường tròn
Vậy và là hai tiếp tuyến cắt nhau của

5.23 (SGK – tr.103)
Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là
hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến
của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.
a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF bằng SA + SB.
b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng
minh rằng SE = SF.

Giải
a) Xét hai tiếp tuyến cắt nhau tại có:
Tương tự có:
Nếu gọi là chu vi thì:

(đpcm)

b) Vì và là hai tiếp tuyến cắt nhau tại nên là phân giác của
=> hay
Xét và có:

chung
(cmt)
=> (g.c.g)
=> (hai cạnh tương ứng)

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
• Ghi nhớ kiến thức trong bài.
• Hoàn thành bài tập trong SBT.
• Chuẩn bị bài sau “Vị trí tương đối của hai đường tròn”.

CẢM ƠN CÁC EM ĐÃ
LẮNG NGHE, HẸN GẶP LẠI!