CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

[(

)

𝑥
1
𝑥
1
−
+
−
Hãy rút gọn biểu thức: 𝑃=
𝑥+1 𝑥−1 𝑥+1 ( 𝑥−1 )
Không cần tính toán, em

Làm thế nào mà Vuông

thấy ngay kết quả là

thấy ngay được kết quả
thế nhỉ?

]

CHƯƠNG VI.
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 23. PHÉP CỘNG VÀ
PHÉP TRỪ PHÂN THỨC
ĐẠI SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

03

Cộng hai phân thức
cùng mẫu

Trừ hai phân thức

02

Cộng hai phân thức
khác mẫu

04

Cộng, trừ nhiều
phân thức đại số

01
CỘNG HAI PHÂN THỨC
CÙNG MẪU

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: 

2 𝑥+ 𝑦
− 𝑥+ 3 𝑦
+
𝑥− 𝑦
𝑥− 𝑦
HĐ 1

Cộng các tử thức của hai phân thức đã cho.

Tổng của hai tử thức:

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: 

2 𝑥+ 𝑦
− 𝑥+ 3 𝑦
+
𝑥− 𝑦
𝑥− 𝑦
HĐ 2

Viết phân thức có tử là tổng các tử thức và mẫu là mẫu thức
chung ta được kết quả của phép cộng đã cho.
Kết quả:

Quy tắc
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng
các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi
là tổng của hai phân thức đó. Ta thường viết tổng dưới
dạng rút gọn.

5 𝑥2
5 −10 𝑥
Ví dụ 1: Cộng hai phân thức
và
𝑥−1
𝑥−1
Giải

Ta có:

Luyện tập 1

Tính các tổng sau:

5𝑥 5
¿
=
𝑥𝑦 𝑦

1
¿ 2
𝑥 +1

CỘNG HAI PHÂN THỨC
KHÁC MẪU

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: 

1
−1
+
𝑥
𝑦
HĐ 3

Quy đồng mẫu hai phân thức đã cho.
MTC:
Thực hiện quy đồng ta được:

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để làm phép cộng: 

1
−1
+
𝑥
𝑦
HĐ 4

Cộng hai phân thức có cùng mẫu thức nhận được

1 −1
.
trong HĐ3 ta được kết quả của phép cộng +
𝑥
𝑦
Kết quả:

Quy tắc
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau,
ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có
cùng mẫu thức vừa tìm được.

5
3
Ví dụ 2: Tính tổng +
𝑥
1−𝑥
Giải

Luyện tập 2

5
3
Tính tổng: 2 𝑥 2 ( 6 𝑥 + 𝑦 ) + 5 𝑥𝑦 ( 6 𝑥 + 𝑦 )

Giải
MTC:
Quy đồng ta được và thực hiện phép tính ta được

TRỪ HAI PHÂN THỨC

HĐ 5

Trừ các tử thức và giữ nguyên mẫu thức để tính

𝑥 − 1 2 𝑥 +3
−
𝑥+1
𝑥+1
Giải

𝑥 − 1 2 𝑥 +3 − 𝑥 − 4
−
=
𝑥+1
𝑥+1
𝑥 +1

HĐ 6

1
1
v
à
Quy đồng mẫu của hai phân thức𝑥 +1
 
𝑥 ; trừ các tử thức
của hai phân thức nhận được và giữ nguyên mẫu thức

1
1
−
.
chung để
tính 
𝑥 +1 𝑥

Giải
MTC:
Quy đồng và thực hiện phép tính ta được:

Quy tắc
 Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức ta trừ các
tử thức và giữ nguyên mẫu thức.
 Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta
quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng
mẫu thức vừa tìm được.

2 𝑥+ 1 𝑦 −1
−
𝑥
𝑦

Ví dụ 3: Tính

Giải
Ta có

Luyện tập 3

𝑎¿

Thực hiện các phép tính sau:

3 − 2 𝑥 2+5 𝑥 3 −2 𝑥 −2 −5 𝑥 1 −7 𝑥
−
¿
=
𝑥 −1
𝑥−1
𝑥 −1
𝑥−1

1
1
𝑏¿ 2 −
2
4𝑥 𝑦 6𝑥𝑦

MTC:

1
1
3𝑦
2 𝑥 3 𝑦 −2 𝑥
− 2= 2 2 − 2 2= 2 2
2
4 𝑥 𝑦 6 𝑥 𝑦 12 𝑥 𝑦 12𝑥 𝑦 12𝑥 𝑦

Chú ý
 Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ
phân thức thành phép cộng phân thức như sau:



gọi là phân thức đối của phân thức và kí hiệu là ; tổng
của một phân thức và phân thức đối của nó bằng .

CỘNG, TRỪ NHIỀU
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Câu hỏi 1: Áp dụng phần Chú ý của mục 2 Phép trừ phân thức,
hãy viết biểu thức thành tổng của những phân thức.
Giải
Vì có thể xem phép trừ phân thức cũng như phép cộng, nên ta có:

Câu hỏi 2: Tính bằng cách thuận tiện, hợp lí nhất:

Giải

 Cách cộng, trừ nhiều phân thức
Vì trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức
đó nên các biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có
thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức. Chẳng hạn, biểu thức
có thể viết thành
Cũng như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính
chất giao hoán, kết hợp. Vì vậy, khi làm tính với một biểu thức chỉ
gồm các phép cộng phân thức ta có thể đổi chỗ, nhóm (kết hợp) các
hạng tử một cách tuỳ ý.

1 1
1
𝑃= + −
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức
𝑥 𝑦
𝑥
Giải
Ta có:

1 1 1 1 1 −1 1 −1 1
1 1
𝑃= + − = + + = + + =0+ =
𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦
𝑦 𝑦

Chú ý: Ta cũng có thể viết:
Tổng quát, trong các biểu thức ta có thể đổi chỗ các số hạng kèm theo dấu của nó.

Luyện tập 4
Giải

1 1 1 1 1
Rút gọn biểu thức 𝑃= + + − −
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦

 Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc
Câu hỏi 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc của các biểu thức sau:

Giải
Thực hiện bỏ dấu ngoặc, ta được:

Quy tắc dấu ngoặc
 Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và
giữ nguyên các số hạng.
 Nếu trước dấu ngoặc có dấu “–” thì bỏ dấu ngoặc và
đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc.

[

(

3
5
5
3
+
−
+
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức 𝑃=
2 𝑥 +1 4 𝑥 −1
4 𝑥 −1 2 𝑥 +1

)]

Giải

𝑃=

¿

[

(

3
5
5
3
+
−
+
2 𝑥 +1 4 𝑥 −1
4 𝑥 −1 2 𝑥 +1

[

3
5
5
3
+
−
−
2 𝑥 +1 4 𝑥 − 1 4 𝑥 −1 2 𝑥+ 1

]

)]
Trước dấu ngoặc có dấu “–”, đổi
dấu các số hạng trong ngoặc

3
5
5
3
¿
+
−
−
2 𝑥 +1 4 𝑥 −1 4 𝑥 − 1 2 𝑥 +1

¿

(

)(

Trước dấu ngoặc có dấu “+”

)

3
3
5
5
−
+
−
=0
2 𝑥+ 1 2 𝑥 +1
4 𝑥 −1 4 𝑥 −1

Sử dụng tính chất giao hoán,
kết hợp

Luyện tập 5

Em hãy giải thích cách làm của Vuông trong
tình huống mở đầu.

Giải
Sử dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta được:

Vận dụng
Chú Đức lái ô tô từ Hà Nội về quê. Từ nhà chú đến đường cao tốc dài
khoảng 20 km, xe chạy trong thành phố với vận tốc (km/h) (). Trên 50
km đường cao tốc, xe tăng vận tốc thêm 55 km/h. Ra khỏi cao tốc, xe
còn phải chạy thêm 15 phút thì về đến quê.
a) Viết các phân thức biểu thị thời gian xe chạy trong thành phố và
thời gian xe chạy trên đường cao tốc.
b) Viết phân thức biểu thị tổng thời gian chú Đức đi từ Hà Nội về quê.

Giải

a) Ô tô chạy trong thành phố với vận tốc (km/h) thì


20
(𝑔𝑖ờ
).
Thời gian ô tô chạy trong thành phố là: 𝑥

 Tương tự, thời gian xe chạy trên cao tốc là

50
(𝑔𝑖ờ).
𝑥+55

15 1
= (𝑔𝑖ờ).
20 50 60 1 4
+ + (𝑔𝑖ờ)
𝑥 𝑥+55 4
2
80 ( 𝑥+55 )+ 200 𝑥+𝑥 ( 𝑥+55 ) 𝑥 +335𝑥+4400
=
4𝑥 ( 𝑥+55 )
4 𝑥 ( 𝑥+55 )
Giải

b) Thời gian chạy thêm sau khi ra khỏi cao tốc là:
Tổng thời gian đi từ Hà Nội về quê là:
Viết tổng trên thành một phân thức:

LUYỆN TẬP

Bắn Cung Tên

Câu 1: Phân thức đối của phân thức là ?

Đúng rồi

Sai rồi

Sai rồi
Sai rồi

Câu 2: Thực hiện phép tính sau được kết
quả là ?

Đúng rồi

Sai rồi

−𝑥

𝑥
Sai rồi

Sai rồi

Câu 3. Kết quả của tổng là ?

Sai rồi

Sai rồi

Đúng rồi
Sai rồi

Câu 4: Phép tính có kết quả là ?

Đúng rồi

Sai rồi

Sai rồi
Sai rồi

Câu 5: Giá trị của biểu thức: với là ?

Sai rồi

Đúng rồi

Sai rồi
Sai rồi

Bài 6.20 (SGK – tr.19)

Thực hiện các phép tính sau:

𝑥 2 − 3 𝑥+1+ 5 𝑥 −1− 𝑥2 2 𝑥
1
¿
=
=
2 𝑥2
2 𝑥2 𝑥

𝑦 (𝑥 + 𝑦 )+ 𝑥 ( 𝑥 − 𝑦 )
𝑥2+ 𝑦 2
¿
=
( 𝑥 − 𝑦 ) (𝑥 +𝑦 )
( 𝑥 − 𝑦 )( 𝑥+ 𝑦 )

2

𝑥
−9
𝑥 −9 𝑥+3
¿
+
=
=
2 ( 𝑥−3 ) 2𝑥 ( 𝑥−3 ) 2𝑥 ( 𝑥 −3 ) 2 𝑥

Bài 6.21 (SGK – tr.19)
¿

Thực hiện các phép tính sau:

5− 3 𝑥 − ( − 2+5 𝑥 ) − 8 𝑥 +7
=
𝑥+ 1
𝑥 +1

𝑥 (𝑥 + 𝑦 )− 𝑦 ( 𝑥 − 𝑦 )
𝑥 2+ 𝑦 2
¿
=
( 𝑥 − 𝑦 ) ( 𝑥+ 𝑦 )
( 𝑥 − 𝑦 ) ( 𝑥+ 𝑦 )

3 3𝑥+2 3 ( 𝑥 −𝑥+1) −3𝑥−2 3𝑥 −6𝑥+1
¿ − 2 =
=
2
2
𝑥+1 ( 𝑥+1) ( 𝑥 −𝑥+1 ) ( 𝑥+1) ( 𝑥 −𝑥+1) (𝑥 +1) ( 𝑥 −𝑥+1)
2

2

Bài 6.22 (SGK – tr.19)

Thực hiện các phép tính sau:

¿−

4
2
𝑥 −1

−3 𝑥+12
¿ 2
𝑥 −9

Bài 6.23 (SGK – tr.19)

Thực hiện các phép tính sau:

2

𝑥 +4 𝑥+4
𝑥
4 −𝑥
𝑎¿
+
+
2
2− 𝑥 5 𝑥 − 10
𝑥 −4

(

)[

(

𝑥
3
𝑥−2
3
1
𝑥−2
𝑏¿ 2 −
+
+
− 2 −
𝑥 +6 𝑥 +1 𝑥+ 4
𝑥 +1 𝑥+ 6 𝑥 +4
𝑥 −1
¿ 2
𝑥 +1

)]

Bài 6.24 (SGK – tr.19)

Thực hiện các phép tính sau:

𝑥 − 𝑦 ( 𝑥 −𝑦
𝑦) 𝑧+
−( 𝑦𝑧
−𝑧 ) 𝑥+ ( 𝑧
𝑧 −𝑥−
)𝑦 𝑥
𝑎¿
+
¿+
=0
𝑥𝑦
𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧
𝑧𝑥

𝑥
𝑦
𝑏¿
+ 2
2
2
(𝑥 − 𝑦 )
𝑦 −𝑥

𝑥 𝑦 𝑥 ( 𝑦 +𝑥)+ 𝑦 ( 𝑦 −𝑥) 𝑥 +𝑦
¿ 2+ = 2 = 2
( 𝑦 −𝑥 ) ( 𝑦 −𝑥 )( 𝑦+𝑥) ( 𝑦 −𝑥 ) ( 𝑦 +𝑥 ) ( 𝑦 −𝑥 ) ( 𝑦 +𝑥 )
2 2

VẬN DỤNG

Bài 6.25 (SGK – tr.19)
Một tàu du lịch chạy xuôi dòng 15 km, sau đó quay ngược lại để trở về
điểm xuất phát và kết thúc chuyến du lịch. Biết rằng vận tốc của tàu
khi nước yên lặng là 10 km/h và vận tốc của dòng nước là (km/h).
a) Hãy viết các phân thức biểu thị theo thời gian xuôi dòng, thời gian
ngược dòng và tổng thời gian tàu chạy.
b) Tính tổng thời gian tàu chạy khi vận tốc dòng nước là 2 km/h.