NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC THẦY CÔ
Dự giờ với thày và trò 10Toán
Ôn tập tổng hợp: Định lý Cosin và Bài toán giải tam giác
Hai câu hỏi mở đầu:
A.Một tam giác được coi là xác định trong các trường hợp cơ bản nào?
B.Tam giác đã xác định khi đó hãy tìm các yếu tố cơ bản còn lại ? (bài toán giải tam giác)
Trả lời câu hỏi A


I. Biết độ dài hai cạnh và một góc xen giữa.
II. Biết độ dài ba cạnh.
III. Biết hai góc và một cạnh.
Ba trường hợp kể trên tương ứng với ba trường hợp bằng nhau của tam giác.
Ta khẳng định ba trường hợp đó là tương đương:




Bài giảng:

Định lý Cosin trong tam giác
Và các ứng dụng
?
b
a
Ví dụ bài toán thực tế
Bài toán 1
Người ta muốn đo khoảng cách hai điểm A,B mà không thể đến trực tiếp được vì ở hai bên đầm lầy ( hình vẽ).
Câu hỏi:
Người ta phải làm gì để thực hiện được ý đồ?







Đây là bài toán thực tế. Để giải người ta chọn một điểm C sao cho
tam giác ABC xác định. Cụ thể là:
+) Xác định: AC=b; BC=a và số đo góc ACB?
+) Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có AB=?
*C
b
a
?
1. Định lý côsin
Bài toán 2: Hai tàu thuỷ cùng xuất phát từ một vị trí với vận tốc v1=30km/h,v2=50km/h theo hai hướng hợp với nhau một góc (như hình vẽ). Hỏi sau một giờ hai tàu cách nhau bao xa?
30Km/h
50Km/h
A
B
C
30Km
50Km
?
30Km/h
50Km/h
A
B
C
30Km
50Km
?
Trả Lời:
Áp dụng Định lý Cosin cho tam giác ABC ta có:
Từ trên ta thấy trong một tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa ta sẽ tính được cạnh còn lại đó chính là nội dung của định lý cosin.
Như vậy (I) và (II) là tương đương.
Định Lý Cosin
Trong tam giác ABC bất kỳ với BC=a, AB=c, CA=b
Ta có:
Hãy sử dụng định lý vừa tìm được để tìm lời giải bài toán đo khoảng cách giữa các điểm mà không đến trực tiếp được (hình vẽ).
Ta chọn điểm C sao cho từ đó có thể nhìn thấy điểm A,B và đo độ dài AC, BC và góc ACB
Giả sử các số liệu đo được như hình vẽ .

A
B
C
Hướng dẫn:
20m
23m
Trở lại bài toán thực tế ban đầu
……………………………………………………………………………….
Tính được các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh :
A
B
C
a
b
c
?
Từ đẳng thức


Tương tự:
Ta có:
Ứng dụng khác………………………………….
Hơn nữa ta có thể định dạng tam giác nhọn, vuông, tù
A Vuông


A Nhọn
A Tù
Người ta còn coi Định lý cosin cho tam giác như là
một mở rộng của Định lý Pitago
Và có thể xây dựng các hệ thức khác.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC chứng minh rằng
Trả lời: Từ hệ quả ta có

Suy ra:
Liên hệ với một kết quả đã biết…?
Đặc biệt: nếu xyz>0:

Với mọi tam giác ABC; với mọi số thực x,y,z ta đều có:

Dấu bằng có khi x:y:z = a:b:c
Mở rộng định lý cosin
Trong mọi tam giác ta đều có:
Vậy mọi tam giác ABC:
Dấu bằng chỉ có khi chỉ khi tam giác đều
Chúng ta còn câu hỏi: (I) tương đương với (III)?
Trong mọi tam giác ta đều có:

Do đó nếu tam giác ABC ta biết độ dài một cạnh và hai góc, chẳng hạn biết:

;Góc ABC=
BAC=
BC=a
Và các góc:
Khi đó ta hoàn toàn có thể tính được các cạnh
và các yếu tố còn lại của tam giác!
Định lý Sin trong tam giác:
Mặt khác ta có hệ quả: a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC
Hệ quả này giúp ta lượng giác hoá các yếu tố độ dài.
Bài toán: Cho tam giác có các cạnh BC=a, CA=b, AB= c
Gọi M là trung điểm của BC. Hãy tính
A
B
C
M
b
c
a
2
Trả lời:
Áp dụng định lý Côsin cho tam giác AMB ta có
Mà
Thay vào đẳng thức trên ta có
CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
………………………………………………………………………………
Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, AC=b,AB=c. Gọi là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A,B,C của tam giác. Ta có:
Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Và bạn Long đã chứng minh kết quả:
Dấu bằng chỉ có khi chỉ khi tam giác đều!
Bằng cách tương tự ta có thể thực hiện việc xây dựng
công thức đường phân giác trong của tam giác:
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có a=3, b=5, c=7. Hãy tính độ dài đường trung tuyến
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC chứng minh rằng
Trả lời:
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến ta có
Bài toán giải tam giác
Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1: Cho tam giác ABC có , AC=1cm, AB=2cm, Độ dài cạnh BC bằng

(A)
(B)
(C) 3cm
(D)
Câu 2: Cho tam giác ABC có AB=7 cm, BC=5cm, AC= 6cm Giá trị CosC bằng:
(A):
(B):
(C):
(D):

Câu 3: Cho tam giác ABC có AB=2cm,BC=6cm,AC=5cm.Khi đó độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác có độ dài là:
Câu 4: Cho tam giác ABC có AB=7cm, BC=6cm, AC=3cm khẳng định nào sau đây đúng:
(A): cm
(B):
(C):
(D):
(A): Tam giác ABC nhọn
(B): Tam giác ABC tù
(C): Tam giác ABC vuông
Câu hỏi trắc nghiệm
Bài tập về nhà:
Cho tam giác ABC như hình vẽ sau.
Em hãy cho biết:
1) Độ dài AB=?
2) Độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A?
3) Độ dài đường phân giác trong kẻ từ đỉnh B?
4) Diện tích tam giác ABC?
5) Độ dài các loại bán kính: r;R;




A
B
C
?
4
3
Chứng minh các hệ thức
(b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC=2p
R(acosA+bcosB+ccosC)=2S

Tổng kết
Hãy làm rõ sơ đồ trên!
a,b,C
Sau khi có tích vô hướng
Ta có những kết quả gì?
Về vấn đề giải tam giác?!
Cần nhìn lại các kết quả sau:
1. Định lý Cosin trong tam giác
2. Định lý sin trong tam giác
3. Công thức độ dài đường trung tuyến
4. Công thức độ dài đường phân giác
5. Các công thức tính diện tích
6. Sơ đồ bài toán giải tam giác
Xin cảm ơn các thầy cô!
Giờ học kết thúc.