CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Thực hiện:
TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ
(Kính đề nghị bạn đọc và đồng nghiệp xém xét và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thiện tốt hơn trong các chuyên đề tiếp theo)
Tài liệu có sử dụng tư liệu của đồng nghiệp
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
- Tìm nhân tử chung của tất cả các hạng tử.
- Đặt nhân tử chung
* Chú ý đôi khi phải đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
2x(y – z) + 5y(z –y )
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức cho phù hợp.
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
9x2 – 4
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x2 – 2xy + y2 – 16
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
4. Phối hợp nhiều phương pháp
Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
Đặt nhân tử chung.
Dùng hằng đẳng thức.
Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
4. Phối hợp nhiều phương pháp
Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
Đặt nhân tử chung.
Dùng hằng đẳng thức.
Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
CƠ SỞ ĐỂ TÁCH CÁC HẠNG TỬ
Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = x0 thì f(x0) = 0.
Khi đó, f(x) có một nhân tử là x – x0 và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – x0).q(x)
Chú ý: (Người ta đã chứng minh được phương pháp nhẩm nghiệm dưới đây)
* Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là một ước của hệ số tự do.
* Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm hữu tỉ đó có dạng x=p/q (tối giản), với p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
Cách 1 (Phương pháp cơ bản cho đa thức bậc hai)
Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai hạng tử thích hợp để phân tích tiếp
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
Cách 1:
f(x) = x2 + 6x + 8
a.c = … =ai.ci=
f(x)= x2 + aix + cix + 8
b = 6 = ai + ci
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK

II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
Cách 2: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Nhẩm tìm nghiệm x=x0 rồi tách hạng tử bx =b1x+b2x sao cho nhóm ax2 và b1x để có nhân tử là x-x0 và nhóm các hạng tử còn lại cho phù hợp



CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
Cách 2: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Bằng cách nhẩm nghiệm ta thấy f(x) có 1 nghiệm là x=-2
=> f(x) = (x+2).q(x)
Ta có: Cách tìm b1 và b2
f(x) = x2 + 6x + 8 = x2 + b1x + b2x + 8
? (x + 2)
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK

II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
b) Phương pháp tách hạng tử bậc hai ax2:
Cách 3: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Nhẩm tìm nghiệm x=x0 rồi tách hạng tử ax2 =a1x2 +a2x2 sao cho nhóm a1x2 và bx để có nhân tử là x-x0 và nhóm các hạng tử còn lại cho phù hợp
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
Cách 3: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Bằng cách nhẩm nghiệm ta thấy f(x) có 1 nghiệm là x=-2
=> f(x) = (x+2).q(x)
Ta có: Cách tìm a1 và a2
f(x) = x2 + 6x + 8 = a1x2 + a2x2 + 6x + 8
? (x + 2)
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
b) Phương pháp tách hạng tử bậc hai ax2:
Cách 4: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Nhẩm tìm nghiệm x=x0 rồi tách hạng tử ax2 =a1x2 +a2x2 sao cho nhóm a1x2 và c để có nhân tử là x-x0 (Thường tạo ra hằng đẳng thức số 3) và nhóm các hạng tử còn lại cho phù hợp
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
Cách 4: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Bằng cách nhẩm nghiệm ta thấy f(x) có 1 nghiệm là x=-2
=> f(x) = (x+2).q(x)
Ta có: Cách tìm a1 và a2
f(x) = x2 + 6x + 8 = a1x2 + a2x2 + 6x + 8
? (x2 - 22)
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
b) Phương pháp tách hạng tử bậc hai ax2:
c) Phương pháp tách hạng tử tự do c:
Cách 5: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Nhẩm tìm nghiệm x=x0 rồi tách hạng tử c =c1 +c2 sao cho nhóm bx và c1 có nhân tử là x-x0 và nhóm các hạng tử còn lại cho phù hợp.
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
b) Phương pháp tách hạng tử bậc hai ax2:
c) Phương pháp tách hạng tử tự do c:
Cách 6: Tách dựa vào nhẩm tìm nghiệm của đa thức
Nhẩm tìm nghiệm x=x0 rồi tách hạng tử c =c1 +c2 sao cho nhóm ax2 và c1 có nhân tử là x-x0 (Thường tạo ra hằng đẳng thức số 3) và nhóm các hạng tử còn lại cho phù hợp.
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK

II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
b) Phương pháp tách hạng tử bậc hai ax2:
c) Phương pháp tách hạng tử tự do c:
Cách 7: (Áp dụng cho tùy bài)
Tách hạng tử c =c1 +c2 sao cho nhóm ax2 +bx và c1 tạo ra được hằng dẳng thức (Thường là Hằng đẳng thức số 1,2) và nhóm các hạng tử còn lại cho phù hợp.
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Ví dụ 5. Phân tích đa thức f(x) = x2 + 6x + 8 thành nhân tử.
a) Phương pháp tách hạng tử bậc nhất bx:
b) Phương pháp tách hạng tử bậc hai ax2:
c) Phương pháp tách hạng tử tự do c:
*ĐẶC BIỆT
Bằng cách nhẩm nghiệm ta thấy f(x) có 1 nghiệm là x=-2
=> f(x) = (x+2).q(x)
=> Ta sẽ tìm được q(x) = f(x): (x+2)
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
Đối với đa thức bậc ba (Bậc cao)
Đối với đa thức từ bậc ba trở lên ta nên (Nếu có nghiệm) sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm để tách liên tiếp các hạng tử rất phù hợp và hiệu quả
Ví dụ 6. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) f(x) = x3 + x2 + 4.
b) f(x) = x4+3x3 + x2 -5x -4
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Áp dụng:
Bài tập 74 SGK (T32): Tìm a để đa thức 2x2-3x+x+a chia hết cho đa thức x+2.
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÃ HỌC TRONG SGK
II. PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ
Ngoài các phương pháp trên ta còn một số phương pháp khác như:
* Phương pháp nhẩm nghiêm rồi chia đa thức (Ở trên đã nêu)
* Phương pháp thêm bớt cùng 1 hay nhiều hạng tử
* Phương pháp đổi biến.
* Phương pháp hệ số bất định
* Phương pháp xét giá trị riêng
* Phương pháp đưa về một đa thức đặc biệt …