Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm
Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác
Bài 4: Vi phân
Bài 5: Đạo hàm cấp 2
Đại Số và Giải Tích 11
Bài 1: ĐỊNH NGHĨA
VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
4. QH giữa sự tồn tại của ĐH và tính LT của HS.
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
6. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm.
II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG
I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.
Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ 1 nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là 1 hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [ t; to ] với:
to = 3
t = 2.99
t = 2.9
t = 2.5
t = 2
Khi t càng gần to thì vtb càng gần 2to = 6
vtb = 5.99
vtb = 5.9
vtb = 5.5
vtb = 5

vtb =
= t + to
a. Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên s’Os
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t
s = s(t)
Hãy tìm một đại lượng đặt trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to ?
Trong khoảng thời gian từ to đến t, chất điểm đi được quãng đường:
Nếu chất điểm chuyển động đều thì
là một hằng số với mọi t
Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm
s = s(t)
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số
vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to.
* Định nghĩa
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to
Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to
b. Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t:
tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm to
* Định nghĩa
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và xo  (a ; b)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí hiệu là f’(xo) (hoặc y’(xo)), tức là
Đại lượng x = x – xo
được gọi là số gia tương ứng của hàm số (số gia hàm)
y’(xo) =
được gọi là số gia của đối số tại xo (số gia biến)
y = f(x) – f(xo)
Đại lượng
Như vậy
= f(xo + x) – f(xo)
Chú ý :
3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.
Cho hàm số y = x2. Hãy tính y’(xo) bằng định nghĩa.
* Quy tắc
Bước 1:
y = f(xo + x) – f(xo)
Bước 2:
Bước 3:
Giả sử x là số gia đối số tại xo, tính
Lập tỉ số
Tìm
Gọi x là số gia của đối số tại xo
Ví dụ 1
Tính đạo hàm của hàm số
tại xo = 2
– Gọi x là số gia của đối số tại xo = 2
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
* Định lí 1
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó.
* Chú ý
+ Nếu y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Ví dụ
Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0
Cho hàm số
Tính đạo hàm của hàm số x = 0
– Tính liên tục:
Vậy f(x) liên tục tại x = 0
– Đạo hàm:
Như vậy không tồn tại
Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 0
5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Đồ thị của hàm số
1
Đường thẳng d qua
có hệ số góc là f’(1)

tan = f’(1)
M
a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng.
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại điểm xo  (a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.
* Định lí 2
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến MoT của (C) tại điểm Mo(xo; f(xo))
y – yo = k.(x – xo)
Phương trình đường thẳng qua Mo(xo ; yo) và có hệ số góc k
c. Phương trình tiếp tuyến
k = f’(xo)
Theo định lí 2
y – yo = f’(xo).(x – xo)
* Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm Mo(xo; f(xo)) là
trong đó yo = f(xo)
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol
tại điểm có hoành độ là xo = 1
Ví dụ
– Gọi x là số gia của đối số tại xo = 1
+ Theo định nghĩa tính được:
hay
f (1) = 0
+ Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm Mo(1;0) là
f’(1) = 1
y = x – 1
I(to) = Q’(to)
6. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
a. Vận tốc tức thời
v(to) = s’(to)
b. Cường độ tức thời
II. ĐẠO HÀM TRÊN 1 KHOẢNG
Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2
tại điểm t bất kì
Tính đạo hàm của hàm số
tại điểm t bất kì
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x)
* Định nghĩa
Khi đó ta gọi hàm số: