PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
BÀI 3:
1. Định nghĩa đường elip
* Cách vẽ: Đóng hai chiếc đinh cố định tại 2 điểm F1 và F2. Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn 2F1F2. Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Đặt đầu bút chì tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch nên một đường mà ta gọi là đường elip.
Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho
F1M + F2M = 2a
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip
ĐỊNH NGHĨA
2. Phương trình chính tắc của elip
x
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho và . Khi đó người ta chứng minh được:
Trong đó:
Phương trình (*) gọi là phương trình chính tắc của elip
VÍ DỤ 1
NHÓM 1: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a = 6 ; b = 3
NHÓM 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a = 7 ; c = 6
NHÓM 3: Hãy xác định a, b, c. Khi biết phương trình elip:
NHÓM 4: Hãy xác định a, b, c. Khi biết phương trình elip:
GIẢI
GIẢI
GIẢI
GIẢI
3. Hình dạng của elip
M(x;y)
M1(-x;y)
M2(x;-y)
M3(-x;-y)
y
x
A1
A2
B1
B2
F1
F2
Xét elip (E) có phương trình:
(E) có trục đối xứng
là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O.
Các điểm A1, A2, B1 và B2 gọi là các đỉnh của elip
Đoạn thẳng A1A2 = 2a gọi là trục lớn, đoạn thẳng
B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của elip
VÍ DỤ 2
Xác định tọa độ các đỉnh, độ dài các trục của elip có phương trình sau:
NHÓM 1:
NHÓM 2:
GIẢI
GIẢI
4. Liện hệ giữa đường tròn và đường elip
a) Từ hệ thức b2 = a2 – c2 ta thấy nếu tiêu cực của elip càng nhỏ thì b càng gần bằng a, tức là trục nhỏ của elip càng gần bằng trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
b) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
Thì tập hợp những điểm M’ có tọa độ thỏa mãn phương trình
là một elip (E)
Khi đó ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E)